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1、一、一、有理函数的积有理函数的积分分有理函数:时,为假分式;时,为真分式有理函数相除多项式+真分 式分解其中部分分式的形式为若干部分分式之和机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共28页例例1.将下列真分式分解为部分分式将下列真分式分解为部分分式:解:(1)用拼凑法机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共28页(2)用赋值法用赋值法故机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共28页(3)混合法混合法机动 目录 上页 下页 返回 结束 原式=第4页/共28页四种典型部分分式的积分四种典型部分分式的积分:机动 目录 上页 下页 返回 结束 变分子为 再分项积分 第5页/共28页例例
2、2.求求解:已知例1(3)目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共28页例例3.求求解:原式思考:如何求机动 目录 上页 下页 返回 结束 提示:变形方法同例3,并利用 P209 例9.第7页/共28页例例4.求求解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法.第8页/共28页例例5.求求解:原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共28页常规 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.求求解:原式(见P348公式21)注意本题技巧按常规方法较繁第10页/共28页二二、可化为有理函数的积分举、可
3、化为有理函数的积分举例例设表示三角函数有理式,令万能代换t 的有理函数的积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.三角函数有理式的积分则第12页/共28页例例7.求求解:令则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共28页机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共28页例例8.求求解:说明:通常求含的积分时,往往更方便.的有理式用代换机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共28页例例9.求求解法 1 令原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共28页例例9.求求解法 2 令原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共28页例例10.求求解:因被积函数关于
4、 cos x 为奇函数,可令原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共28页2.简单无理函数的积分简单无理函数的积分令令被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换 化为有理函数的积分.例如:机动 目录 上页 下页 返回 结束 令第19页/共28页例例11.求求解:令则原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共28页例例12.求求解:为去掉被积函数分母中的根式,取根指数 2,3 的最小公倍数 6,则有原式令机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共28页例例13.求求解:令则原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共28页内容小结内容小结1.可积函数的特殊类型
5、有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定 要注意综合使用基本积分法,简便计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 简便,第23页/共28页思考与练习思考与练习如何求下列积分更简便?解:1.2.原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共28页作业作业P218 3,6,8,9,13,15,17,18,20,21第五节 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共28页备用题备用题 1.求不定积分解：令则,故机动 目录 上页 下页 返回 结束 分母次数较高,宜使用倒代换.第26页/共28页2.求不定积求不定积分分解：原式=前式令;后式配元机动 目录 上页 下页 返回 结束 第27页/共28页感谢您的观看！第28页/共28页