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1、面积表示为定积分的步骤如下（3）求和，得A的近似值第1页/共89页ab xyo（4）求极限，得A的精确值提示提示面积元素第2页/共89页第3页/共89页元素法的一般步骤：第4页/共89页这个方法通常叫做这个方法通常叫做元素法元素法应用方向：应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等第5页/共89页元素法的提出、思想、步骤.（注意微元法的本质）（注意微元法的本质）二、小结第6页/共89页思考题思考题微元法的实质是什么？第7页/共89页思考题解答思考题解答微元法的实质仍是“和式”的极限.第8页/共89页第二节 平面图形的面积平面图形的面积一、直角坐标系情形一、直角坐
2、标系情形二、极坐标系情形二、极坐标系情形三、小结三、小结第9页/共89页曲边梯形的面积曲边梯形的面积一、直角坐标系情形第10页/共89页解解两曲线的交点面积元素选 为积分变量第11页/共89页解解两曲线的交点选 为积分变量第12页/共89页于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数的形式说明：注意各积分区间上被积函数的形式问题：问题：积分变量只能选 吗？第13页/共89页解解两曲线的交点选 为积分变量第14页/共89页如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积第15页/共89页解解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积第16页/共89页面积元素曲边扇形的面积二、极坐标系情形第1
3、7页/共89页解解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积第18页/共89页解解利用对称性知第19页/共89页求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）三、小结第20页/共89页思考题思考题第21页/共89页思考题解答思考题解答xyo两边同时对 求导第22页/共89页积分得所以所求曲线为第23页/共89页练练 习习 题题第24页/共89页第25页/共89页第26页/共89页练习题答案练习题答案第27页/共89页第三节 体积体积一、旋转体的体积一、旋转体的体积二、平行截面面积为已知的立二、平行截面面积为已知的立 体的体积体的体积三、小结
4、三、小结第28页/共89页 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆锥圆台一、旋转体的体积第29页/共89页xyo旋转体的体积为第30页/共89页解解直线 方程为第31页/共89页第32页/共89页解解第33页/共89页第34页/共89页解解第35页/共89页第36页/共89页补充补充利用这个公式，可知上例中第37页/共89页解解体积元素为第38页/共89页二、平行截面面积为已知的立体的体积二、平行截面面积为已知的立体的体积 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴
5、的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积第39页/共89页解解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积第40页/共89页解解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积第41页/共89页旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积绕 轴旋转一周绕 轴旋转一周绕非轴直线旋转一周三、小结第42页/共89页思考题思考题第43页/共89页思考题解答思考题解答交点立体体积第44页/共89页练练 习习 题题第45页/共89页第46页/共89页第47页/共89页练习题答案练习题答案第48页/共89页第四节 平面曲线的弧长平面曲线的弧长一、平面曲线弧长的概念一、平面曲线弧长的概念二、直角坐标情形
6、二、直角坐标情形三、参数方程情形三、参数方程情形四、极坐标情形四、极坐标情形五、小结五、小结第49页/共89页一、平面曲线弧长的概念第50页/共89页弧长元素弧长二、直角坐标情形第51页/共89页解解所求弧长为第52页/共89页解解第53页/共89页曲线弧为弧长三、参数方程情形第54页/共89页解解 星形线的参数方程为根据对称性第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长第55页/共89页证证第56页/共89页根据椭圆的对称性知故原结论成立.第57页/共89页曲线弧为弧长四、极坐标情形第58页/共89页解解第59页/共89页解解第60页/共89页平面曲线弧长的概念直角坐标系下参数方程情形下极坐标系下弧
7、微分的概念求弧长的公式五、小结第61页/共89页思考题思考题第62页/共89页思考题解答思考题解答不一定仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长第63页/共89页练练 习习 题题第64页/共89页第65页/共89页练习题答案练习题答案第66页/共89页第五节第五节 功功 水压力和引力水压力和引力一、变力沿直线所作的功一、变力沿直线所作的功二、水压力二、水压力三、引力三、引力四、小结四、小结第67页/共89页一、变力沿直线所作的功第68页/共89页第69页/共89页解解功元素所求功为如果要考虑将单位电荷移到无穷远处第70页/共89页点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停解解建立坐标系
8、如图第71页/共89页这一薄层水的重力为功元素为(千焦)第72页/共89页解解 设木板对铁钉的阻力为第一次锤击时所作的功为例例3 3 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第 次锤击时又将铁钉击入多少？设 次击入的总深度为 厘米次锤击所作的总功为第73页/共89页依题意知，每次锤击所作的功相等次击入的总深度为第 次击入的深度为第74页/共89页二、水压力第75页/共89页解解 在端面建立坐标系如图第76页/共89页第77页/共89页解解 建立坐标系如图面积微元第78页/共89页三、引力第79页/共89页
9、解解 建立坐标系如图将典型小段近似看成质点小段的质量为第80页/共89页小段与质点的距离为引力水平方向的分力元素由对称性知，引力在铅直方向分力为第81页/共89页利用“微元法微元法”思想求变力作功、水压力和引力等物理问题（注意熟悉相关的物理知识）四、小结第82页/共89页思考题思考题 一球完全浸没水中，问该球面所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与它在水中受到的浮力有何关系？第83页/共89页思考题解答思考题解答 该球面所受的总压力方向向上（下半球面所受的压力大于上半球面），其值为该球排开水的重量，即球的体积，也就是它在水中受到的浮力因此该球面所受的总压力与球浸没的深度无关第84页/共89页练练 习习 题题第85页/共89页第86页/共89页第87页/共89页练习题答案练习题答案第88页/共89页感谢您的欣赏！第89页/共89页