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1、1类似可以定义更高阶的偏导数类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)关于 x 的三阶偏导数为z=f(x,y)关于 x 的 n 1 阶偏导数,再关于 y 的一阶偏导数为第1页/共65页2例例1.求函求函数数解:注意:此处但这一结论并不总成立.的二阶偏导数及 第2页/共65页3例如例如,二者不等第3页/共65页4例例2.证明函数证明函数满足拉普拉斯证：利用对称性,有方程第4页/共65页5则定理定理.例如,对三元函数 u=f(x,y,z),说明:本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函
2、数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有而初等第5页/共65页8为简便起见,引入记号例例3.设设 f 具有二阶连续偏导数,求解:令则第8页/共65页9例例4:已已知知解:第9页/共65页10注意:熟记常用导数符号.称为混合偏导数在计算时注意合并同类项!设第10页/共65页11二、中值定理与泰勒公式二、中值定理与泰勒公式一元函数的泰勒公式:推广多元函数泰勒公式 第11页/共65页12记号(设下面涉及的偏导数连续):一般地,表示表示第12页/共65页13定理定理1 1.的某一邻域内有直到 n+1 阶连续偏导数,为此邻域内任 一点,则有其中 称为f 在点(x0,y0)的 n 阶泰勒公式,称为
3、其拉格朗日型余项.第13页/共65页14证证:令令则 利用多元复合函数求导法则可得:第14页/共65页15一般地,由 的麦克劳林公式,得 将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.第15页/共65页16说明说明:(1)余项估计式.因 f 的各 n+1 阶偏导数连续,在某闭邻域其绝对值必有上界 M,则有第16页/共65页17(2)式中若只要求的某一邻域内有直到 n 阶连续偏导数,便有第17页/共65页18(3)当当 n=0 时时,得二元函数在得二元函数在凸域上凸域上的拉格朗日的拉格朗日中值公式中值公式:(4)若函数在区域D 上的两个一阶偏导数恒为零,由中值公式可知在该区域上 见教材P133-TH1
4、7.8(中值定理),凸域概念介绍.并注意与P112-TH17.3比较第18页/共65页19例例1.求函求函数数解:的三阶泰勒公式.因此,第19页/共65页20其中第20页/共65页21回顾一元函数极值概念及存在条件(必要,充分).三、极值问题三、极值问题 第21页/共65页22实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1 1元，外地牌子每瓶进价1.21.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的每瓶卖 元，则每天可卖出 瓶本地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁.问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？每天的收益为求最大收益即为求二元函数的最大值.问题的提出问题的提出第22
5、页/共65页231、多元函数的极值概念多元函数的极值概念 及必要条件及必要条件定义:若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有第23页/共65页24第24页/共65页34说明:使偏导数都为 0 的点称为驻点.例如,定理定理1(必要条必要条件件)函数偏导数,证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值,取得极值取得极值 但驻点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.且在该点取得极值,则有存在故第34页/共65页352、极值充分条件、
6、极值充分条件定理2(充分条件)的某邻域内具有二阶连续偏导数,且若函数令则(1)当是正定矩阵时,f 在 P0具有极小值;(2)当是负定矩阵时,f 在 P0具有极大值;(3)当是不定矩阵时,f 在 P0不取极值.第35页/共65页39时,具有极值的某邻域内具有二阶连续偏导数,且令则:1)当A 0 时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数定理定理2(充分条件充分条件)第39页/共65页45例例1.1.求函数解:第一步 求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).第二步 判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数第45页/共65页46
7、在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是极值;第46页/共65页47例例2.讨论函讨论函数数及是否取得极值.解:显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此 z(0,0)不是极值.因此为极小值.正负0在点(0,0)并且在(0,0)都有 可能为第47页/共65页483、最值应用问题、最值应用问题函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P 时,为极小 值为最小 值(大)(大)依据第48页/共65页49解:如图,第49页/共65页50第50页/共65页51第51页/共
8、65页52解由第52页/共65页53无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.第53页/共65页54例例5 5.解:设水箱长,宽分别为 x,y m,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水箱问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.第54页/共65页554.4.最小二乘最小二乘法法问题的提出:已知一组实验数据求它们的近似函数关系 yf(x).需要解决两个问题:1.确定近似函数的类型 根据数据点的分布规律 根据问题的实际背景2.
9、确定近似函数的标准 实验数据有误差,不能要求第55页/共65页56 偏差有正有负,值都较小且便于计算,可由偏差平方和最小 为使所有偏差的绝对来确定近似函数 f(x).最小二乘法原理最小二乘法原理:设有一列实验数据分布在某条曲线上,通过偏差平方和最小求该曲线的方法称为最小二乘法,找出的函数关系称为经验公式.,它们大体 第56页/共65页57特别特别,当数据点分布近似一条直线当数据点分布近似一条直线时时,问题为确定 a,b 令满足:使得解此线性方程组即得 a,b称为法方程组第57页/共65页58例例1.为了测定刀具的磨损速度,每隔 1 小时测一次刀具的厚度,得实验数据如下:找出一个能使上述数据大体
10、适合的经验公式.解:通过在坐标纸上描点可看出它们大致在一条直线上,列表计算:故可设经验公式为27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7第58页/共65页59得法方程组解得 故所求经验公式为0 0 27.0 07 49 24.8 137.628 140 208.5 717.0为衡量上述经验公式的优劣,计算各点偏差如下:第59页/共65页60称为均方误差,对本题均方误差它在一定程度上反映了经验函数的好坏.偏差平方和为27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 0
11、1 2 3 4 5 6 727.125 26.518 25.911 25.30326.821 26.214 25.607 25.000 0.125 0.018 0.189 0.0030.021 0.086 0.093 0.200 第60页/共65页61例例2.在研究某单分子化学反应速度时在研究某单分子化学反应速度时,得到下列得到下列数据数据:57.6 41.9 31.0 22.7 16.6 12.2 8.9 6.5 3 6 9 12 15 18 21 241 2 3 4 5 6 7 8其中 表示从实验开始算起的时间,y 表示时刻 反应 物的量.试根据上述数据定出经验公式解:由化学反应速度的理论知,经验公式应取其中k,m 为待定常数.对其取对数得(线性函数)(书中取的是常用对数)第61页/共65页62因此因此 a,b 应满足法方应满足法方程组程组:经计算得 解得:所求经验公式为其均方误差为第62页/共65页63观测数据:用最小二乘法确定a,b 通过计算确定某些经验公式类型的方法通过计算确定某些经验公式类型的方法:第63页/共65页64作业作业P140 1(1),(3),(5),(7);2;7(1);8(2);9(1);11;12;15.第64页/共65页65感谢您的欣赏！第65页/共65页