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1、2023/3/23说明：1.1.这些线性二阶常微分方程常常不能用通常的解法解出，这些线性二阶常微分方程常常不能用通常的解法解出，但可用幂级数解法解出但可用幂级数解法解出2.2.所谓幂级数解法，就是在某个任意点所谓幂级数解法，就是在某个任意点Z0 0的邻域上，把待的邻域上，把待求的解表为系数待定的幂级数，代入方程以逐个确定系求的解表为系数待定的幂级数，代入方程以逐个确定系数数3.3.幂级数解法是一个比较普遍的方法，适用范围较广，可幂级数解法是一个比较普遍的方法，适用范围较广，可借助于解析函数的理论进行讨论借助于解析函数的理论进行讨论4.4.求得的解既然是级数，就有是否求得的解既然是级数，就有是否
2、收敛以及收敛范围收敛以及收敛范围的问的问题题.5.尽管幂级数解法较为繁琐，但它可广泛应用于微分方尽管幂级数解法较为繁琐，但它可广泛应用于微分方程的求解问题中程的求解问题中第1页/共47页2023/3/23如果方程（9.1.1）的系数函数 和在选定的点的邻域 中是解析的，则点方程（9.1.1）的常点.如果选定的点 是或的奇点，则点 叫作方程（9.1.1）的奇点 叫作1方程的常点和奇点概念第2页/共47页2023/3/232.常点邻域上的幂级数解定理定理9.1.1 若方程（9.1.1）的系数 和为点的邻域中的解析函数，则方程在这圆中存在唯一的解析解 满足初始条件，其中是任意给定的复常数，第3页/共
3、47页2023/3/23故可以把它表示为此邻域上的泰勒级数.既然线性二阶常微分方程在常点的邻域上存在唯一的解析解，（9.1.2）其中为待定系数 第4页/共47页2023/3/23为了确定级数解（9.1.2）中的系数，具体的做法是以（9.1.29.1.2）代入方程（）代入方程（9.1.19.1.1），合并同幂项，令合并后的），合并同幂项，令合并后的系数系数分别为零，找出系数之间的递推关系，最后用已给的初值，来确定各个系数 从而求得确定的级数解 下面以阶勒让德方程为例，具体说明级数解法的步骤 第5页/共47页2023/3/239.1.29.1.2常点邻域上的幂级数解法常点邻域上的幂级数解法 勒让德
4、方程的求解勒让德方程的求解注注：（参考书上9.1节内容，特别是书上226-228页内容由分离变量法得到了勒让德方程，下面讨论在 邻域上求解阶勒让德方程 第6页/共47页2023/3/23故方程的系数 在，单值函数，均为有限值，它们必然在解析 第7页/共47页2023/3/23是方程的常点根据常点邻域上解的定理，解具有泰勒级数形式：（9.1.3）泰勒级数形式的解，将其代入勒氏方程可得系数间的递推关系（9.1.4）第8页/共47页2023/3/23因此，由任意常数因此，由任意常数 可计算出任一系数可计算出任一系数 偶次项的系数:奇次项的系数 第9页/共47页2023/3/23将它们代入解的表达式中
5、，得到勒让德方程解的形式(9.1.7)其中分别是偶次项和奇次项组成的级数第10页/共47页2023/3/23不是整数时 无穷级数，容易求得其收敛半径均为1 时，发散于无穷 是非负整数 递推公式（9.1.4）是偶数时，是一个n次多项式，但函数 为在 处发散至无穷的无穷级数 是奇数时，是次多项式，而仍然是在处无界的无穷级数 l 是负整数时 一个是多项式，另一个是无界的无穷级数 第11页/共47页2023/3/23所以不妨设 导出这个多项式的表达式,是非负整数（因在实际问题中一般总要求有界解）把系数递推公式（9.1.4）改写成 (9.1.8)于是可由多项式的最高次项系数来表示其它各低阶项系数第12页
6、/共47页2023/3/23取多项式最高次项系数为(9.1.9)第13页/共47页2023/3/23这样取主要是为了使所得多项式在 处取值为1，即实现归一化.可得系数的一般式为(9.1.10)因此，我们得出结论：第14页/共47页2023/3/23是非负偶数时，勒让德方程有解 （9.1.11）是正奇数时，勒让德方程有解第15页/共47页2023/3/23(9.1.12)对上述讨论进行综合，若用 表示不大于 的整数部分，用大写字母写成统一形式解（9.1.13）第16页/共47页2023/3/23是非负整数时，勒让德方程的基本解组 中只有一个多项式，这个多项式勒让德多项式，也称为第一类勒让德函数；
7、另一个是无穷级数，这个无穷级数称为第二类勒让德函数，记为大写的 可以得出它们的关系（9.1.14）第17页/共47页2023/3/23经过计算后，可以通过对数函数及勒让德多项式 表示出，所以第二类勒让德函数的一般表达式为 (9.1.15)特别地第18页/共47页2023/3/23可以证明这样定义的，其递推公式和 的递推公式具有相同的形式而且在一般情况下勒让德方程的通解为两个独立解的线性叠加第19页/共47页2023/3/23但是在满足自然边界（即要求定解问题在边界上有限）的形式容易看出，它在端点 处是无界的，故必须取常数 从而勒让德方程的解就只有 第一类勒让德函数即勒让德多项式：第20页/共4
8、7页2023/3/23综合可得如下结论：（1）当 不是整数时，勒让德方程在区间上无有界的解（2）当 为整数时，勒让德方程的通解为，其中 称为第一类勒让德函数（即勒让德多项式），称为第二类勒让德函数.第21页/共47页2023/3/23为整数，且要求在自然边界条件下(即要求在 有界解的情况下)求解，则勒让德方程的解只有第一 类勒让德函数即勒让德多项式因为第二类勒让德函数 在闭区间 上是无界的第22页/共47页2023/3/239.1.3 奇点邻域的级数解法：贝塞尔方程的求解前一章分离变量法中，我们引出了贝塞尔方程，本节我我们来讨论这个方程的幂级数解法按惯例，仍以 表示自变量，以 表示未知函数，则
9、 阶贝塞尔方程为(9.1.18)第23页/共47页2023/3/23其中，为任意复数，但在本节中 由于方程的系数中出现 只限于取实数。项，不妨暂先假定 故 为 的奇点。下面介绍奇点邻域的幂级数解法：贝塞尔方程的求解第24页/共47页2023/3/23设方程（9.1.18）的一个特解具有下列幂级数形式：(9.1.19）其中，常数 和 可以通过把 和它的导数 代入（9.1.18）来确定 第25页/共47页2023/3/23将（9.1.19）及其导数代入（9.1.18）后，得化简后写成要使上式恒成立，必须使得各个 次幂的系数为零，从而得下列各式：第26页/共47页2023/3/23 (9.1.20)
10、(9.1.21)(9.1.22)由（9.1.20）得；代入（9.1.21），得 现暂取，代入（9.1.22）得 第27页/共47页2023/3/23 (9.1.23)因为，由（9.1.23）知：都可以用 表示，即第28页/共47页2023/3/23第29页/共47页2023/3/23由此知（9.1.19）的一般项为是一个任意常数，令 取一个确定的值，就得（9.1.18）的一个特解我们把 取作 这样选取 与后面将介绍的贝塞尔函数的母函数有关。第30页/共47页2023/3/23 运用下列恒等式 使分母简化，从而，使（9.1.19）中一般项的系数变成 （9.1.24）以（9.1.24）代入（9.1
11、.19）得到贝塞尔方程（9.1.18）的一个特解第31页/共47页2023/3/23用级数的比值判别式（或称达朗贝尔判别法）可以判定 这个级数在整个数轴上收敛这个无穷级数 所确定的函数，称为 阶第一类贝塞尔函数，记作 (9.1.25）第32页/共47页2023/3/23至此，就求出了贝塞尔方程的一个特解 另外，当 即取负值时，用同样方法可得贝塞尔方程（9.1.18）的另一特解 （9.1.26）比较（9.1.25）与（9.1.26）可见，只需在（9.1.25）的右端把 换成，即可得到（9.1.26）故不论 是正 数还是负数，总可以用（9.1.25）统一地表达第一类贝塞尔函数第33页/共47页20
12、23/3/23讨论：(1)当 不为整数时，例如 为分数阶贝塞尔函数：等,当 时，第34页/共47页2023/3/23故这两个特解 与 是线性无关的，由齐次线性常微分方程的通解构成法知道，（9.1.18）的通解为 （9.1.28）其中，为两个任意常数 根据系数关系，且由达朗贝尔比值法故级数 和 的收敛范围为 第35页/共47页2023/3/23(2)当 为正整数或零时（注:以下推导凡用 即表整数），故有（9.1.27）称 为整数阶贝塞尔函数易得 第36页/共47页2023/3/23需注意在取整数的情况下，和 线性相关，这是因为:可见正、负 阶贝塞尔函数只相差一个常数因子 这时贝塞尔方程的通解需要
13、求出与之线性无关的另一个特解 第37页/共47页2023/3/23我们定义第二类贝塞尔函数（又称为诺依曼函数）为 是一个特解，它既满足贝塞尔方程，又与 线性无关 第38页/共47页2023/3/23其中，为欧拉常数可以证明是贝塞尔方程的特解，且与 线性无关的.第39页/共47页2023/3/23综述：（1）当，即不取整数时，其贝塞尔方程的通解可表示为（2）不论 是否为整数，贝塞尔方程的通解都可表示为其中 为任意常数，为任意实数 第40页/共47页2023/3/239.2 施图姆刘维尔本征值问题 从数学物理偏微分方程分离变量法引出的常微分方程往往还附有边界条件，这些边界条件可以是明确写出来的，也
14、可以是没有写出来的所谓自然边界条件满足这些边界条件的非零解使得方程的参数取某些特定值这些特定值叫做本征值（或特征值、或固有值），相应的非零解叫做本征函数（特征函数、固有函数求本征值和本征函数的问题叫做本征值问题.第41页/共47页2023/3/23常见的本征值问题都可以归结为施图姆(J.C.F.Sturm)刘维尔(J.Liouville)本征值问题，本节就讨论具有普遍意义的施图姆刘维尔本征值问题1521施图姆刘维尔本征值问题定义 9.2.1施图姆刘维尔型方程 通常把具有形式（9.2.1）第42页/共47页2023/3/23的二阶常微分方程叫作施图姆刘维尔型方程，简称施刘型方程 研究二阶常微分方
15、程的本征值问题时，对于一般的二阶常微分方程 通常乘以适当的函数，就可以化成施图姆刘维尔型方程(9.2.2)第43页/共47页2023/3/23 施图姆刘维尔型方程（9.2.1）附加以齐次的第一类、第二类或第三类边界条件，或自然边界条件，就构成施图姆刘维尔本征值问题.讨论(1)或 第44页/共47页2023/3/23再加上自然边界条件：有界.就构成了勒让德方程本征值问题或（9.2.3）(2)第45页/共47页2023/3/23或 再加上自然边界条件：有界.即构成连带勒让德方程本征值问题（9.2.）第46页/共47页2023/3/23Chang-Kui Duan,Institute of Modern Physics,CUPT感谢您的欣赏！第47页/共47页