A第节学习教程.pptx

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1、1 1 1 1 向量及其线性运算向量及其线性运算向量及其线性运算向量及其线性运算一、向量概念一、向量概念有向线段有向线段箭头所指的方向就是向量的方向。箭头所指的方向就是向量的方向。向量：向量：向量：向量：向量：向量：有大小也有方向的量。有大小也有方向的量。一向量起点一向量起点 M1，终点终点 M2，M1M2aM1M2则则向量可向量可用有向线段用有向线段或或 a 表示。表示。有向线段有向线段的长度表示的长度表示 M1M2 的大小的大小，称为称为记为记为 M1M2 或或 向量的模向量的模,第1页/共96页零向量零向量零向量零向量零向量零向量：单位向量单位向量单位向量单位向量单位向量单位向量：平行向

2、量平行向量平行向量平行向量平行向量平行向量：相等向量相等向量相等向量相等向量相等向量相等向量：自由向量自由向量自由向量自由向量自由向量自由向量：模为模为 1 的向量的向量，记为记为 a 0 或或 M1M20。模为模为 0 的向量，的向量，记为记为 0.与始点位置无关的向量。与始点位置无关的向量。可保持大小、方向不变进行平移。可保持大小、方向不变进行平移。以下研究的向量均为自由向量。以下研究的向量均为自由向量。两向量的方向相同或相反。两向量的方向相同或相反。a/b .且方向一致且方向一致。同理可定义多个同理可定义多个向量共面向量共面向量共面向量共面。平行向量也称平行向量也称平行向量也称平行向量也

3、称共线向量共线向量共线向量共线向量。第2页/共96页向量夹角向量夹角向量夹角向量夹角向量夹角向量夹角：s把其中一向量绕把其中一向量绕 s 旋转，使其方向旋转，使其方向与另一向量的方向重合，这个旋转与另一向量的方向重合，这个旋转的角度的角度 ，显然，显然，记作记作或或若把一条轴若把一条轴 u 看作向量看作向量，类似可定义向量与轴类似可定义向量与轴 u 的夹角的夹角或空间两轴或空间两轴 u1,u2 的夹角的夹角第3页/共96页空间一点空间一点空间一点空间一点空间一点空间一点 A A A 在轴在轴在轴在轴在轴在轴 u u u 上的投影上的投影上的投影上的投影上的投影上的投影:过点过点 A 作垂直于轴

4、作垂直于轴 u 的平面的平面,则平面与轴则平面与轴 u 的交点的交点 A称为点称为点 A 在轴在轴 u 上的投影上的投影。.A.Au向量向量向量向量向量向量 ABABAB 在轴在轴在轴在轴在轴在轴 u u u 上的投影上的投影上的投影上的投影上的投影上的投影:向量向量 AB 的起点的起点 A 与终点与终点 B 在轴在轴 u 上的投影上的投影AB 在轴在轴 u 上的投影向量上的投影向量。u.A.B为为 A 与与 B,则则 AB 称为称为记为记为AB 的值称为的值称为 AB 在轴在轴 u上的投影上的投影。第4页/共96页取正；取正；取负。取负。记作记作,轴轴 u 称为称为投影轴投影轴投影轴投影轴。

5、定理定理定理定理定理定理1 1 1 1 1 1：uA.B 投影定理投影定理投影定理投影定理投影定理投影定理u第5页/共96页 与与平行四边形法则平行四边形法则平行四边形法则平行四边形法则。二、向量的线性运算二、向量的线性运算1.加减法加减法加减法加减法三角形法则三角形法则三角形法则三角形法则第6页/共96页向量的加法运算满足交换律与结合律。向量的加法运算满足交换律与结合律。n 个向量的相加可记为个向量的相加可记为如三个如三个向量的相加向量的相加 类似方法可以定义类似方法可以定义类似方法可以定义类似方法可以定义两个向量的减法两个向量的减法两个向量的减法两个向量的减法。第7页/共96页2.数乘数乘

6、数乘数乘(仍是一向量仍是一向量)向量数乘满足结合律与分配律。向量数乘满足结合律与分配律。第8页/共96页三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，点点 M1(x1,y1),xyM1(x1,y1).M2(x2,y2).M1M2x2 x1 为为 在在 x 轴上的轴上的投影投影投影投影或或坐标坐标坐标坐标 M1M2y2 y1 为为 在在 y 轴上的轴上的投影投影投影投影或或坐标坐标坐标坐标 M1M2x1x2y1y2 M2(x2,y2),第9页/共96页M1M2 平面两点间的距离公式平面两点间的距离公式平面两点间的距离公式平面两点间的距离公式平面两点间的距离公式平面两

7、点间的距离公式称为称为向量向量向量向量 的坐标表达式的坐标表达式的坐标表达式的坐标表达式，M1M2称为称为向量向量向量向量 按按按按基本单位基本单位向量向量向量向量的分解式的分解式的分解式的分解式。M1M2第10页/共96页由三条互相垂直的数轴按右手由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系规则组成一个空间直角坐标系.坐标原点坐标原点 坐标轴坐标轴x轴轴(横轴横轴)y轴轴(纵轴纵轴)z 轴轴(竖轴竖轴)过空间一定点过空间一定点 o,坐标面坐标面 卦限卦限(八个八个)zox面面 空间直角坐标系空间直角坐标系 第11页/共96页向径向径在直角坐标系下在直角坐标系下坐标轴上的点坐标轴上的点

8、 P,Q,R;坐标面上的点坐标面上的点 A,B,C点点 M特殊点的坐标特殊点的坐标:有序数组有序数组(称为点称为点 M 的坐标的坐标)原点原点 O(0,0,0);第12页/共96页在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中:向量向量 M1M2点点 M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)在在 x 轴上的投影为轴上的投影为:在在 y 轴上的投影为轴上的投影为:在在 z 轴上的投影为轴上的投影为:M1M2xyz0M2(x2,y2,z2)M1(x1,y1,z1)M1M2第13页/共96页坐标坐标坐标坐标。分向量分向量分向量分向量或或或或投影向量投影向量投影向量投影向量。数量数量数量数量 向量向量

9、向量向量方向角方向角方向角方向角。方向余弦方向余弦方向余弦方向余弦。第14页/共96页 方向余弦方向余弦方向余弦方向余弦：由投影定理，由投影定理，为方向余弦的坐标表示式。为方向余弦的坐标表示式。为方向余弦的坐标表示式。为方向余弦的坐标表示式。满足：满足：满足：满足：第15页/共96页利用坐标进行向量的加减法和数乘运算：利用坐标进行向量的加减法和数乘运算：第16页/共96页定义了向量的加法和数乘运算后，定义了向量的加法和数乘运算后，可以证明可以证明投影定理投影定理投影定理投影定理的推广形式：的推广形式：的推广形式：的推广形式：定理定理定理定理定理定理2 2 2 2 2 2：定理定理定理定理定理定

10、理3 3 3 3 3 3：第17页/共96页有关向量的一些结论：有关向量的一些结论：有关向量的一些结论：有关向量的一些结论：有关向量的一些结论：有关向量的一些结论：(1)向量数乘满足消去律向量数乘满足消去律：(3)第18页/共96页例例 题题例例例例1 1：解：解：解：解：记为记为第19页/共96页例例2：已知两点：已知两点 和和以及实数以及实数 在直线在直线 AB 上求点上求点 M，使使xyzAMB0解：解：解：解：如图所示，如图所示，因此因此从而从而由于由于第20页/共96页因为因为所以所以即即M点坐标为点坐标为定比分点定比分点定比分点定比分点第21页/共96页课课课课 外外外外 作作作作

11、 业业业业 习题习题习题习题 9 1(A)9 1(A)3,5,8,9,11 习题习题习题习题 9 1(B)9 1(B)2,3第22页/共96页一、向量的数量积一、向量的数量积 向量的数量积与向量积是向量特有的运算向量的数量积与向量积是向量特有的运算,它们并不是凭空想象出来的它们并不是凭空想象出来的,而是从物理模型中而是从物理模型中抽象出来的抽象出来的,有它们各自的实际意义。有它们各自的实际意义。例：例：例：例：力对物体所作的功力对物体所作的功2 2 2 2 向量的数量积向量的数量积向量的数量积向量的数量积 向量积向量积向量积向量积 混合积混合积混合积混合积W=第23页/共96页1.定义定义定义

12、定义，数量积又称为数量积又称为点积点积点积点积或或内积内积内积内积。的乘积，的乘积，数量积数量积数量积数量积。记作记作即即说明：说明：说明：说明：数量积是一个数量数量积是一个数量（而不是向量而不是向量）。(1)(2)数量积的正负取决于数量积的正负取决于(3)前例中的功可表示为前例中的功可表示为第24页/共96页2.几何意义几何意义几何意义几何意义由此又得到由此又得到投影公式投影公式投影公式投影公式：同理，同理，第25页/共96页 一个向量的模和另一个向量在这个向一个向量的模和另一个向量在这个向一个向量的模和另一个向量在这个向一个向量的模和另一个向量在这个向数量积的几何意义：数量积的几何意义：数

13、量积的几何意义：数量积的几何意义：量方向上的投影的乘积。量方向上的投影的乘积。量方向上的投影的乘积。量方向上的投影的乘积。第26页/共96页3.基本性质及其运算规律基本性质及其运算规律基本性质及其运算规律基本性质及其运算规律性质性质性质性质性质性质：(1)(2)注：注：零向量方向任意零向量方向任意,可省略可省略。(3)基本单位向量的基本单位向量的正交性正交性正交性正交性=1，=0.记为记为第27页/共96页运算规律运算规律运算规律运算规律运算规律运算规律交换律交换律交换律交换律交换律交换律分配律分配律分配律分配律分配律分配律结合律结合律结合律结合律结合律结合律第28页/共96页注意注意注意注意

14、注意注意：数量积运算不满足消去律数量积运算不满足消去律数量积运算不满足消去律数量积运算不满足消去律数量积运算不满足消去律数量积运算不满足消去律。也不一定有也不一定有下例就可以说明这种情况：下例就可以说明这种情况：第29页/共96页4.数量积的坐标表示法数量积的坐标表示法数量积的坐标表示法数量积的坐标表示法第30页/共96页由此可得：由此可得：=第31页/共96页=的三个方向角，的三个方向角，的三个方向角，的三个方向角，显然，显然，第32页/共96页例例 题题例例1 1.已知已知求向量求向量与与的夹角。的夹角。解：解：解：解：第33页/共96页第34页/共96页例例2.应用向量证明不等式应用向量

15、证明不等式：的条件。的条件。证：证：证：证：即：即：并指出等号成立并指出等号成立第35页/共96页当且仅当当且仅当时等号成立时等号成立。即即第36页/共96页课课课课课课 外外外外外外 作作作作作作 业业业业业业 习题习题习题习题 9 2(A)9 2(A)1,3,4 习题习题习题习题 9 2(B)9 2(B)5,8,11第37页/共96页二、向量的向量积二、向量的向量积二、向量的向量积二、向量的向量积向量积是两个向量的又一种乘积，也是向量积是两个向量的又一种乘积，也是向量特有的运算向量特有的运算,也有其物理模型：也有其物理模型：设设 O 为杠杆为杠杆 L 的支点的支点，L有一个力有一个力 F

16、作用于杆上作用于杆上 P 点点，PO则力则力 F 对支点对支点 O 所产生所产生的力矩为一向量的力矩为一向量 M，H的大小的乘积的大小的乘积的大小的乘积的大小的乘积。其大小等于其大小等于其大小等于其大小等于其大小等于其大小等于O OO点到点到点到点到点到点到 F F F 的的的的的的作用线作用线作用线作用线的距离的距离的距离的距离的距离的距离 OH OH OH 与力与力与力与力与力与力 F F F第38页/共96页在实际中是非常有用的在实际中是非常有用的在实际中是非常有用的在实际中是非常有用的。即右手四指从即右手四指从 OP 握向握向 F 时时,大拇指的指向大拇指的指向为为 M 的正向的正向。

17、显然，力矩向量显然，力矩向量 M 由由 OP 与与 F 完全确定完全确定。这样由两个向量来确定另一个向量的法则这样由两个向量来确定另一个向量的法则这样由两个向量来确定另一个向量的法则这样由两个向量来确定另一个向量的法则FPM第39页/共96页1 1 1 1、定义定义定义定义定义定义按下列规则确定新向量按下列规则确定新向量 c:(1)(2)向量积向量积向量积向量积，记作记作,向量积又称为向量积又称为叉积叉积叉积叉积或或外积外积外积外积。按按“右手法则右手法则”垂直于垂直于 所在平面的所在平面的单位向量。单位向量。第40页/共96页2 2 2 2、几何意义几何意义几何意义几何意义几何意义几何意义(

18、1)向量积向量积平行四边形的面积。平行四边形的面积。显然，显然，第41页/共96页(2)按按“右手法则右手法则”垂直于垂直于 所在平面所在平面，若一向量若一向量 c 同时垂直同时垂直 a 与与 b，则必有：则必有：(3)第42页/共96页3 3、性质与运算规律性质与运算规律性质与运算规律性质与运算规律性质：性质：性质：性质：性质：性质：(1)=0(2)零向量方向任意零向量方向任意,可省略。可省略。当当时时，第43页/共96页(3)基本单位向量的向量积基本单位向量的向量积基本单位向量的向量积基本单位向量的向量积第44页/共96页运算规律：运算规律：运算规律：运算规律：运算规律：运算规律：(1)不

19、满足交换律不满足交换律不满足交换律不满足交换律不满足交换律不满足交换律(2)满足分配律满足分配律满足分配律满足分配律满足分配律满足分配律(3)满足结合律满足结合律满足结合律满足结合律满足结合律满足结合律满足反交换律满足反交换律满足反交换律满足反交换律满足反交换律满足反交换律第45页/共96页注：向量的向量积不满足消去律注：向量的向量积不满足消去律例如，例如，但但第46页/共96页4 4 4 4、向量积的坐标表示法向量积的坐标表示法向量积的坐标表示法向量积的坐标表示法向量积的坐标表示法向量积的坐标表示法 第47页/共96页补充：有关行列式的计算补充：有关行列式的计算补充：有关行列式的计算补充：有

20、关行列式的计算法法 1：第48页/共96页法法 2：第49页/共96页行列式的有关性质：行列式的有关性质：_第50页/共96页例例例例 题题题题 例例1:(4)以以 a,b 为邻边的平行四边形的面积为邻边的平行四边形的面积 S。解：解：解：解：(1)1 0 -1-1 -2 1(2)第51页/共96页(3)(4)第52页/共96页求此三角形的面积求此三角形的面积,AB 上的高及上的高及 A 的正弦的正弦。例例2:已知三角形已知三角形 ABC 的顶点坐标为的顶点坐标为A(1,2,0),B(3,0,-3),C(5,2,6)，解：解：解：解：ABC？第53页/共96页ABC求求 AB上的高及上的高及

21、A的正弦的正弦。AB上的高上的高 hh=14，第54页/共96页例例3：解：解：解：解：第55页/共96页例例4：求证求证：A,B,D 共线共线。证：证：证：证：分析：分析：分析：分析：即即 A,B,D 共线共线。第56页/共96页思思思思 考考考考 题题题题2.下列各式中下列各式中，哪些是向量哪些是向量，哪些是数量哪些是数量，哪些无意义哪些无意义？4.向量向量 0,0,5 与与 2,0,10 是否共线是否共线？否否否否否否否否否否否否否否否否否否否否否否否否否否否否否否是是是是是是第57页/共96页三、向量的混合积三、向量的混合积三、向量的混合积三、向量的混合积1.1.定义定义定义定义定义定

22、义所得数量称为所得数量称为混合积混合积混合积混合积，或或数量三重积数量三重积数量三重积数量三重积，记作，记作第58页/共96页2.2.坐标表示式坐标表示式坐标表示式坐标表示式坐标表示式坐标表示式第59页/共96页第60页/共96页3.几何意义几何意义几何意义几何意义为棱的为棱的平行六面体的体积平行六面体的体积平行六面体的体积平行六面体的体积。h=一般地，有一般地，有一般地，有一般地，有一般地，有一般地，有第61页/共96页定理定理定理定理1 1 1 1：三个向量中如果有一个为零向量，：三个向量中如果有一个为零向量，：三个向量中如果有一个为零向量，：三个向量中如果有一个为零向量，或者有两个共线，

23、或者三个共面，或者有两个共线，或者三个共面，或者有两个共线，或者三个共面，或者有两个共线，或者三个共面，则其混合积必为零；反之亦然。则其混合积必为零；反之亦然。则其混合积必为零；反之亦然。则其混合积必为零；反之亦然。定理定理定理定理2 2 2 2：假定三个非零向量中任何两个都：假定三个非零向量中任何两个都：假定三个非零向量中任何两个都：假定三个非零向量中任何两个都 不共线，则其共面的充要条件是不共线，则其共面的充要条件是不共线，则其共面的充要条件是不共线，则其共面的充要条件是 它们的混合积为零。它们的混合积为零。它们的混合积为零。它们的混合积为零。第62页/共96页4.混合积的混合积的混合积的

24、混合积的性质性质性质性质(1)(2)(3)(4)(5)轮换对称性轮换对称性第63页/共96页例例：已知不在一平面上的四点已知不在一平面上的四点求四面体求四面体 ABCD 的体积。的体积。解：解：解：解：由立体几何知识知道由立体几何知识知道，四面体的体积四面体的体积 V 等于以向量等于以向量 AB、AC 和和 AD 为棱的平行为棱的平行六面体的体积的六分之一六面体的体积的六分之一。所以有所以有第64页/共96页上式中符号的选择必须和行列式的符号一致。上式中符号的选择必须和行列式的符号一致。第65页/共96页课课课课课课 外外外外外外 作作作作作作 业业业业业业 习题习题习题习题 9 2(A)9

25、2(A)6,9,13 习题习题习题习题 9 2(B)9 2(B)2,9,10,13第66页/共96页3.3.3.3.平平平平 面面面面 及及及及 其其其其 方方方方 程程程程第67页/共96页一一一一.平面的点法式方程平面的点法式方程平面的点法式方程平面的点法式方程法向量：法向量：法向量：法向量：由立体几何知识可知由立体几何知识可知：过一点可作且只能作一张平面垂直于一过一点可作且只能作一张平面垂直于一已知直线。已知直线。若一非零向量若一非零向量垂直垂直一平面一平面，则称则称该向量为这平面的法线向量。该向量为这平面的法线向量。所以已知一点与一法向量所以已知一点与一法向量（直线直线）就可就可唯一确

26、定一平面唯一确定一平面。注意：法向量不唯一注意：法向量不唯一注意：法向量不唯一注意：法向量不唯一简称法向量。简称法向量。第68页/共96页作向量作向量 已知平面已知平面 上一点上一点 M0(x0,y0,z0)及及平面的法向量平面的法向量建立建立 的方程的方程。xyz.M0在平面上任取一点在平面上任取一点 M(x,y,z),M.显然，显然，=0，即有即有 平面的点法式方程平面的点法式方程平面的点法式方程平面的点法式方程第69页/共96页例：一平面过点例：一平面过点 M(1,0,-1)且平行于向量且平行于向量试求这个试求这个解：解：解：解：所以所求平面方程为：所以所求平面方程为：即即平面方程。平面

27、方程。第70页/共96页二二二二.平面的一般式方程平面的一般式方程平面的一般式方程平面的一般式方程由平面的点法式方程的展开式可得由平面的点法式方程的展开式可得:其中其中 A，B，C 不同时为零不同时为零任一平面都可用点法式方程来表示任一平面都可用点法式方程来表示，反之反之,设有三元一次方程设有三元一次方程 第71页/共96页以上两式相减以上两式相减,得平面的点法式方程得平面的点法式方程程称为平面的一般式方程程称为平面的一般式方程.任取一组满足上述方程的数任取一组满足上述方程的数则则显然方程显然方程(*)与此点法式方程等价与此点法式方程等价,的平面的平面,此方此方因此方程因此方程(*)的图形是法

28、向量为的图形是法向量为 任意一个三元一次方程都表示一个平面。任意一个三元一次方程都表示一个平面。任意一个三元一次方程都表示一个平面。任意一个三元一次方程都表示一个平面。任意一个三元一次方程都表示一个平面。任意一个三元一次方程都表示一个平面。反之反之,设有三元一次方程设有三元一次方程 (*)第72页/共96页例：求过三点例：求过三点的平面方程。的平面方程。解一：解一：解一：解一：设所求平面方程为设所求平面方程为则则所以所以即即第73页/共96页解二：解二：解二：解二：所以所求平面方程为：所以所求平面方程为：即即先求平面的法向量先求平面的法向量第74页/共96页此平面的此平面的方程方程也可写成也可

29、写成 一般情况一般情况:过三点过三点的平面方程可表示为的平面方程可表示为说明说明说明说明:第75页/共96页平面一般式方程的几种特殊情形：平面一般式方程的几种特殊情形：平面一般式方程的几种特殊情形：平面一般式方程的几种特殊情形：若若 D=0，表示一通过原点的平面。表示一通过原点的平面。现在考虑现在考虑 A，B，C，D 中有一些为零的情形：中有一些为零的情形：第76页/共96页 若若 C=0，xyz 表示一平行于表示一平行于 z 轴的平面轴的平面同理，同理，B=0A=0第77页/共96页 若若 A=B=0，xyz 表示一平行于表示一平行于xoy 平平面的平面面的平面。同理，同理，/yoz 平面平

30、面/xoz 平面平面若若 B=C=0，若若 A=C=0，第78页/共96页平面过平面过 x 轴，轴，若若 A=D=0，若若 B=D=0，平面过平面过 y 轴，轴，若若 C=D=0，平面过平面过 z 轴，轴，若若 A=B=D=0，同理，同理，若若 A=C=D=0，若若 B=C=D=0，第79页/共96页归纳起来，得：归纳起来，得：（1）在平面的一般方程中，如果常数在平面的一般方程中，如果常数 项不是零，且缺一个变量，则平面一项不是零，且缺一个变量，则平面一 定平行于该变量所对应的坐标轴；如定平行于该变量所对应的坐标轴；如 果缺两个变量，则平面一定平行于该果缺两个变量，则平面一定平行于该 两个变量

31、所对应的坐标面。两个变量所对应的坐标面。（2）在平面的一般方程中，如果常数在平面的一般方程中，如果常数 项是零，且缺一个变量，则平面一定项是零，且缺一个变量，则平面一定 过该变量所对应的坐标轴；如果缺两过该变量所对应的坐标轴；如果缺两 个变量，则平面一定是这两个变量所个变量，则平面一定是这两个变量所 对应的坐标面。对应的坐标面。第80页/共96页例：例：例：例：已知一平面平行于已知一平面平行于 x 轴且经过两点轴且经过两点解：解：解：解：设所求平面方程为：设所求平面方程为：则则所以所以即即因为平面经过两点因为平面经过两点(4,0,-2)和和(5,1,7)，(4,0,-2)和和(5,1,7)，求

32、此平面方程求此平面方程。第81页/共96页例：例：例：例：求通过求通过 x 轴和点轴和点(4,-3,-1)的平面方程的平面方程。解：解：解：解：设所求平面方程为设所求平面方程为则则所以所以则则所以所求平面方程为所以所求平面方程为因为平面通过点因为平面通过点(4,-3,-1)，第82页/共96页 平面的截距式方程平面的截距式方程平面的截距式方程平面的截距式方程设一平面与设一平面与 x,y,z 三轴分别交于三轴分别交于求此平面方程。求此平面方程。abc分别将三点代入平面一般式方程分别将三点代入平面一般式方程xyzPQR第83页/共96页 平面的截距式方程平面的截距式方程平面的截距式方程平面的截距式

33、方程其中其中 a,b,c 分别称为平面在分别称为平面在 x,y,z 轴上的截距。轴上的截距。注意：注意：注意：注意：过原点或平行于坐标面的平面无截过原点或平行于坐标面的平面无截过原点或平行于坐标面的平面无截过原点或平行于坐标面的平面无截距式方程形式。距式方程形式。距式方程形式。距式方程形式。第84页/共96页例例例例 题题题题 例例例例：解一：解一：解一：解一：设平面上一点设平面上一点则三向量则三向量共面，共面，即为所求方程。即为所求方程。x y z1 1 12 4 -3第85页/共96页解二：解二：解二：解二：为平面上两向量，为平面上两向量，则平面上法向量则平面上法向量即为所求方程。即为所求

34、方程。第86页/共96页三、有关平面的一些问题三、有关平面的一些问题三、有关平面的一些问题三、有关平面的一些问题1.1.1.两平面的夹角两平面的夹角两平面的夹角两平面的夹角两平面的夹角两平面的夹角两平面的法向量的夹角称为两平面的夹角。两平面的法向量的夹角称为两平面的夹角。两平面的法向量的夹角称为两平面的夹角。两平面的法向量的夹角称为两平面的夹角。（通常指锐角通常指锐角通常指锐角通常指锐角，包括零度角或直角包括零度角或直角包括零度角或直角包括零度角或直角）第87页/共96页第88页/共96页例：例：例：例：求平面求平面与与 xoy 坐标面的夹角坐标面的夹角。解：解：解：解：所以所求夹角的余弦为所

35、以所求夹角的余弦为所以所以第89页/共96页两平面的位置关系：两平面的位置关系：两平面的位置关系：两平面的位置关系：但不重合。但不重合。第90页/共96页例：例：例：例：一平面通过两点一平面通过两点与与且垂直于平面且垂直于平面，求它的方程求它的方程。解：解：解：解：设所求平面的方程为设所求平面的方程为过点过点所以所以又与已知平面垂直，又与已知平面垂直，而已知平面的而已知平面的所以所以即即由由(1),(2)得得所以所以即即第91页/共96页例：例：例：例：求过点求过点且与平面且与平面平行的平面方程。平行的平面方程。解：解：解：解：设所求平面的法向量为设所求平面的法向量为因为与已知平面平行，因为与已知平面平行，取取则则则所求平面方程为则所求平面方程为即即第92页/共96页 2.2.点到平面的距离点到平面的距离点到平面的距离点到平面的距离第93页/共96页第94页/共96页课课课课课课 外外外外外外 作作作作作作 业业业业业业 习题习题习题习题 9 3(A)9 3(A)3,6,8(1,2),11(2,3)习题习题习题习题 9 3(B)9 3(B)3,4,6第95页/共96页感谢您的观赏！第96页/共96页