自动控制数学模型.ppt

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1、05.04.2023第二章数学模型 关于自动控制数学模型现在学习的是第1页，共94页05.04.2023第二章数学模型 2.1数学模型数学模型概述概述为了从理论上对自动控制系统进行定性分析和定量计算，首先需要建为了从理论上对自动控制系统进行定性分析和定量计算，首先需要建立系统的数学模型。立系统的数学模型。系统的数学模型：描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系系统的数学模型：描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。的数学表达式。常用的动态数学模型有常用的动态数学模型有微分方程、传递函数及动态结微分方程、传递函数及动态结构图。构图。系统数学模型的建立，一般采用解析法或实验法

2、。系统数学模型的建立，一般采用解析法或实验法。解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律，列写解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律，列写出变量间的数学表达式，从而建立数学模型。出变量间的数学表达式，从而建立数学模型。本章仅讨论解析法，关于实验法将在后面的章节进行介绍。本章仅讨论解析法，关于实验法将在后面的章节进行介绍。现在学习的是第2页，共94页05.04.2023第二章数学模型 2.1.1线性系统的微分方程模型线性系统的微分方程模型很很多多常常见见的的元元件件或或系系统统的的输输出出量量和和输输入入量量之之间间的的关关系系都都可可以以用用一一个个微微分分方方程程

3、表表示示。微微分分方方程程的的阶阶数数一一般般是是指指方方程程中中最最高高导导数数项的阶数项的阶数,又称为系统的阶数。又称为系统的阶数。如图机械系统，由牛顿定理得到以下关系：如图机械系统，由牛顿定理得到以下关系：现在学习的是第3页，共94页05.04.2023第二章数学模型 如图如图RLC网络，由电路定律可得网络，由电路定律可得:不同的物理系统可能得到相似的数学表达式。如果它们对应的系数不同的物理系统可能得到相似的数学表达式。如果它们对应的系数和初始条件相同，则它们的解将完全相同。这样和初始条件相同，则它们的解将完全相同。这样就可以撇开系统的就可以撇开系统的具体物理属性，研究这些系统的运动过程

4、的共同规律。具体物理属性，研究这些系统的运动过程的共同规律。有了数学表达式，就可从理论上进行普遍意义上的分析。有了数学表达式，就可从理论上进行普遍意义上的分析。现在学习的是第4页，共94页05.04.2023第二章数学模型 机械系统中，设外力机械系统中，设外力F1，质量质量m2，弹性系数，弹性系数k1，若，若阻尼系数较小阻尼系数较小1，则发生震荡，则发生震荡，若阻尼系数较大若阻尼系数较大10，不会产，不会产生震荡。但无生震荡。但无论阻尼大小如何，最终物体将下降一个单位长度，新增的弹力正好和论阻尼大小如何，最终物体将下降一个单位长度，新增的弹力正好和外力相抵，系统进入一个新的平衡点。外力相抵，系

5、统进入一个新的平衡点。总之，建立合理的数学模型，是至关重要的问题。许多系统，事总之，建立合理的数学模型，是至关重要的问题。许多系统，事件及项目就是因为无法建立合理的数学模型而不能加以预测和控件及项目就是因为无法建立合理的数学模型而不能加以预测和控制。制。现在学习的是第5页，共94页05.04.2023第二章数学模型 2.1.2 2.1.2 列写微分方程的一般方法列写微分方程的一般方法用解析法列写系统或元件微分方程的一般步骤是：用解析法列写系统或元件微分方程的一般步骤是：1 1根根据据实实际际工工作作情情况况，将将系系统统划划分分为为多多个个独独立立的的环环节节，标标出出各各环环节节的输入、输出

6、变量。的输入、输出变量。各环节之间无负载效应。各环节之间无负载效应。2从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各环节所遵循从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各环节所遵循的物理定律，列写的动态方程，一般为微分方程组。的物理定律，列写的动态方程，一般为微分方程组。3消去中间变量，写出系统输入、输出变量的微分方程。消去中间变量，写出系统输入、输出变量的微分方程。4标准化。即将与输入有关的各项放在等号右侧，与输出有关的各标准化。即将与输入有关的各项放在等号右侧，与输出有关的各项放在等号左侧，并按降幂排列。最后将系数归化为具有一定物理意义的项放在等号左侧，并按降幂排列。最后将系数归化为具有一定物理意义

7、的形式。形式。现在学习的是第6页，共94页05.04.2023第二章数学模型 例例2.1 2.1 列写如图所示列写如图所示RCRC滤波电路的微分方程。（假设电路的输入电源滤波电路的微分方程。（假设电路的输入电源的内阻为零，输出接的负载具有无限大阻抗）的内阻为零，输出接的负载具有无限大阻抗）解解 根据基尔霍夫定律得：根据基尔霍夫定律得：消除中间变量，得到滤波网络的微分方程式为消除中间变量，得到滤波网络的微分方程式为 ：现在学习的是第7页，共94页05.04.2023第二章数学模型 若若撇撇开开具具体体系系统统的的物物理理属属性性，令令r(t)r(t)为为输输入入，c(t)c(t)为为输输出出。线

8、线性性n阶阶系统的输入输出微分方程式的一般表达式可写为系统的输入输出微分方程式的一般表达式可写为 式中式中均为由系统结构参数决定的常均为由系统结构参数决定的常系数，且有系数，且有nm。令令 则上式可改写为：则上式可改写为：现在学习的是第8页，共94页05.04.2023第二章数学模型 2.1.3 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化 在在建建立立控控制制系系统统的的数数学学模模型型时时，常常常常遇遇到到非非线线性性的的问问题题。严严格格地地讲讲，实实际际的的物物理理系系统统都都包包含含着着不不同同程程度度的的非非线线性性因因素素。但但是是，许许多多非非线线性性系系统统在在一一定定的的条

9、条件下可以近似地视作线性系统。件下可以近似地视作线性系统。若若控控制制系系统统在在工工作作点点的的附附近近微微小小运运动动，则则可可将将非非线线性性函函数数展展开开为为泰泰勒勒级级数数，并并忽忽略略级级数数展展开开式式中中的的高高次次项项，从从而而得得到到只只含含一一次次项项的的线线性性化化方方程。即用工作点的切线代替非线性曲线。程。即用工作点的切线代替非线性曲线。对对于于一一般般的的非非线线性性系系统统，假假设设其其输输入入量量为为r r，输输出出量量为为c c，并并设设在在给给定定工工作作点点处处c0 0=f(r 0 0)，各各阶阶导导数数均均存存在在，则则可可在在 的的邻邻域展开泰勒级数

10、，即域展开泰勒级数，即现在学习的是第9页，共94页05.04.2023第二章数学模型 当当(rr 0 0)，很小时，可以忽略上式中二阶以上各项，得很小时，可以忽略上式中二阶以上各项，得 或或 在处理非线性问题时，应注意以下几点：在处理非线性问题时，应注意以下几点：1 1线线性性化化是是在在输输入入、输输出出量量围围绕绕平平衡衡点点作作小小范范围围变变化化的的假假设设下进行的。一般取零误差状态作为平衡工作状态。下进行的。一般取零误差状态作为平衡工作状态。2 2线线性性化化以以切切线线代代替替曲曲线线，是是一一种种近近似似处处理理。系系统统的的实实际际变变化化量量如果很大，则采用小偏差线性模型将会

11、带来较大的计算误差。如果很大，则采用小偏差线性模型将会带来较大的计算误差。3.3.对对于于某某些些严严重重的的典典型型非非线线性性，不不能能进进行行求求导导运运算算，因因此此原原则则上上不不能用小偏差法进行线性化能用小偏差法进行线性化现在学习的是第10页，共94页05.04.2023第二章数学模型 例例2.22.2 图图示示为为一一个个单单摆摆系系统统,输输入入量量M为为零零(不不加加外外力力矩矩),),输输出出量量为为摆摆幅幅(t)。摆摆锤锤的的质质量量为为m,摆摆杆杆长长度度为为l,l,空空气气阻阻尼尼系系数数为为,重力加速度为重力加速度为g。试建立系统的近似线性运动方程。试建立系统的近似

12、线性运动方程。解解 对对于于图图示示的的单单摆摆系系统统,根根据据牛牛顿顿运运动动定定律律可可以以直直接接推推出出如如下下系系统运动方程统运动方程:显显然然方方程程是是一一个个二二阶阶的的非非线线性性微微分分方方程程(因因为为含含有有sinsin),),但但是是在在摆摆幅幅较较小小的的情况下情况下,将其线性化处理：将其线性化处理：现在学习的是第11页，共94页05.04.2023第二章数学模型 令非线性函数令非线性函数sin()=f，则，则工作点在工作点在0=0，f0=0。线线性化：性化：即单摆系统的近似线性化动态方程为：即单摆系统的近似线性化动态方程为：现在学习的是第12页，共94页05.0

13、4.2023第二章数学模型 2.2传传递递函函数数2.2.1拉氏变换拉氏变换 1.1.拉氏变换的定义拉氏变换的定义 将时间函数将时间函数f(t)乘上指数函数乘上指数函数e-st(其中其中s=+j是一个复数是一个复数),),并且并且在在0,+0,+上对上对t积分积分,称为称为f(t)的拉氏变换的拉氏变换,并用并用L f(t)表示。表示。拉拉氏氏变变换换将将原原来来的的时时间间函函数数f(t)转转化化为为复复变变量量函函数数F(s)。通通常常将将F(s)称称作作f(t)的的象函数象函数,将将f(t)称作称作F(s)的的原函数原函数。传递函数是对微分方程取传递函数是对微分方程取拉氏变换后推导出来的概

14、念。拉氏变换后推导出来的概念。现在学习的是第13页，共94页05.04.2023第二章数学模型 2.2.拉氏变换的计算拉氏变换的计算1)1)根据定义积分计算，各典型函数的拉氏变换根据定义积分计算，各典型函数的拉氏变换见下表见下表。现在学习的是第14页，共94页05.04.2023第二章数学模型 2)MATLAB计算计算symsst;Ft=1-sin(t)Fs=laplace(Ft,t,s)执行结果：执行结果：Fs=1/s-1/(s2+1)3.拉氏反变换拉氏反变换已知时间函数的象函数通过拉氏反变换求出其时间函数：已知时间函数的象函数通过拉氏反变换求出其时间函数：现在学习的是第15页，共94页05

15、.04.2023第二章数学模型 1)部分分式法部分分式法将将F(s)展开成多个典型函数的象函数之代数和，查表。展开成多个典型函数的象函数之代数和，查表。例例2.3F(s)含单极点和重极点时的拉氏反变换。含单极点和重极点时的拉氏反变换。解解:现在学习的是第16页，共94页05.04.2023第二章数学模型 2)MATLAB拉氏反变换指令：拉氏反变换指令：ilaplace(Fs,s,t)例例2.3的的MATLAB求解程序：求解程序：symss,t;ilaplace(1/s*(s+3)*(s+1)2)计算结果与手算结果完全一样。计算结果与手算结果完全一样。现在学习的是第17页，共94页05.04.2

16、023第二章数学模型 例例2.4 F(s)含有共轭复极点时的反变换。解：解：用用MATLAB求解：求解：symsst;ft=ilaplace(s+1)/s*(s2+s+1);pretty(ft)%将符号表达式写成易读形式将符号表达式写成易读形式与手算结果一样与手算结果一样现在学习的是第18页，共94页05.04.2023第二章数学模型 4.4.拉氏变换的基本定理拉氏变换的基本定理1)1)线性定理线性定理两个函数和的拉氏变换两个函数和的拉氏变换,等于每个函数拉氏变换的和等于每个函数拉氏变换的和,即即函数放大函数放大k倍的拉氏变换等于该函数拉氏变换的倍的拉氏变换等于该函数拉氏变换的k倍倍,即即现在

17、学习的是第19页，共94页05.04.2023第二章数学模型 2)2)微分定理微分定理成立成立,则有则有如果初始条件如果初始条件现在学习的是第20页，共94页05.04.2023第二章数学模型 3)3)终值定理终值定理 函函数数 f(t)在在 t+时时的的函函数数值值(即即稳稳定定值值)可可以以通通过过 f(t)的的拉拉氏变换氏变换F(s)乘以乘以 s 取取 s0时的极限而得到时的极限而得到,即即总结：微分方程通过拉氏变换变成代数方程，解代数方程总结：微分方程通过拉氏变换变成代数方程，解代数方程可求出输出的象函数，对象函数取拉反变换，可求出微分方程可求出输出的象函数，对象函数取拉反变换，可求出

18、微分方程的解。的解。现在学习的是第21页，共94页05.04.2023第二章数学模型 2.2.2 2.2.2 传递函数的定义和特点传递函数的定义和特点 1.1.传递函数的定义传递函数的定义 线线性性定定常常系系统统的的传传递递函函数数,定定义义为为零零初初始始条条件件下下,系系统统输输出出量量的的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。设输入量为设输入量为r(t)(t)；输出量为；输出量为 c(t)，定义传递函数为：，定义传递函数为：一般线性定常系统由下面的一般线性定常系统由下面的n阶线性常微分方程描述阶线性常微分方程描述:现在学习的是第22页，共94页05.04.20

19、23第二章数学模型 如如果果r(t)和和c(t)及及其其各各阶阶导导数数在在t=0时时的的值值均均为为零零，则则根根据据拉拉氏氏变变换换的的定义和性质定义和性质,对微分方程进行拉氏变换对微分方程进行拉氏变换,可得可得由传递函数的定义可得系统的多项式形式的传递函数为由传递函数的定义可得系统的多项式形式的传递函数为现在学习的是第23页，共94页05.04.2023第二章数学模型 用用MATLAB指令：指令：Gs=tf(b0，b1，bm，a0，a1，an)或者或者s=tf(s)；Gs=关于关于s的多项式的多项式构造多项式形式的传递函数后，可以用构造多项式形式的传递函数后，可以用MATLAB的各种控制

20、系统指令的各种控制系统指令分析系统。分析系统。传递函数的零极点形式传递函数的零极点形式zi(i=1,2,m)和和pj(j=1,2,n)分别称为传递函数的分别称为传递函数的零点和极点零点和极点,K1称为称为传递函数的增益或传递函数的增益或根轨迹增益根轨迹增益。现在学习的是第24页，共94页05.04.2023第二章数学模型 i(i=1,2,=1,2,m)和和Tj(j=1,2,=1,2,n)为为系系统统中中各各环环节节的的时时间间常常数数,K为为系系统统的的放大倍数放大倍数。用用MATLAB指令：指令：Gs=zpk(z0，z1，zm，p0，p1，pn，K)或者或者s=tf(s)；Gs=关于关于s的

21、因式的因式可构造零极点形式的传递函数。可构造零极点形式的传递函数。传递函数的参数形式传递函数的参数形式现在学习的是第25页，共94页05.04.2023第二章数学模型 使用使用Gtf=tf(Gzpk)或者或者Gzpkzpk(Gtf)可实现传递函数在零极点形式可实现传递函数在零极点形式和多项式形式之间的互换。即可将传递函数进行展开和因式分解。和多项式形式之间的互换。即可将传递函数进行展开和因式分解。例例2.4求传递函数求传递函数的零极点形式。的零极点形式。解解G=tf(26,4,1,14,63,90);F=zpk(G)执行结果：执行结果：Zero/pole/gain:2(s+2)(s+1)-(s

22、+6)(s+5)(s+3)现在学习的是第26页，共94页05.04.2023第二章数学模型 2.2.传递函数的特点传递函数的特点 (1)(1)传传递递函函数数的的概概念念适适用用于于线线性性定定常常系系统统,传传递递函函数数的的结结构构和和各各项项系系数数(包包括括常常数数项项)完完全全取取决决于于系系统统本本身身结结构构,因因此此,它它是是系系统统的的动动态态数数学学模模型型,而而与与输输入入信信号号的的具具体体形形式式和和大大小小无无关关,也也不不反反映映系系统统的的任任何何内内部部信信息息。同同一一个个系系统统若若选选择择不不同同的的量量作作为为输输入入量量和和输输出出量量,所所得得到到

23、的传递函数可能不同。所以谈到传递函数的传递函数可能不同。所以谈到传递函数,必须指明输入量和输出量必须指明输入量和输出量。已知传递函数，可求任意输入已知传递函数，可求任意输入R(s)R(s)下的输出下的输出C(s)C(s)：现在学习的是第27页，共94页05.04.2023第二章数学模型 (2)(2)传传递递函函数数是是在在零零初初始始条条件件下下定定义义的的。但但是是，对对输输入入量量加加于于系系统之前统之前,系统处于系统处于稳定工作状态稳定工作状态的情况同样适用。的情况同样适用。(3)(3)对对于于实实际际的的物物理理系系统统和和元元件件而而言言,传传递递函函数数的的分分子子多多项项式式的的

24、阶阶次次总总是是小小于于分分母母多多项项式式的的阶阶次次,即即mn。它它反反映映了了一一个个基基本本事事实实:一一个个物物理理系系统统的的输输出出不不可可能能立立即即复复现现输输入入信信号号,只只有有经经过过一一段段时时间间后后,输出量才能达到输入量所要求的数值。输出量才能达到输入量所要求的数值。现在学习的是第28页，共94页05.04.2023第二章数学模型 (4)(4)传传递递函函数数与与线线性性常常微微分分方方程程一一一一对对应应。将将传传递递函函数数展展开开并并取取拉氏反变换可得到微分方程。例如拉氏反变换可得到微分方程。例如,由传递函数由传递函数可得可得s的代数方程的代数方程(a0s2

25、+a1s+a2)C(s)=(b1s+b2)R(s)对方程两端取拉氏反变换，对方程两端取拉氏反变换，便得到相应的微分方程便得到相应的微分方程现在学习的是第29页，共94页05.04.2023第二章数学模型 (5)(5)传传递递函函数数不不能能反反映映系系统统或或元元件件的的学学科科属属性性和和物物理理性性质质。物物理理性性质质和和学学科科类类别别截截然然不不同同的的系系统统可可能能具具有有完完全全相相同同的的传传递递函函数数。另另一一方方面面,研研究究某某一一种种传传递递函函数数所所得得到到的的结结论论,可可以以适适用用于于具具有有这这种种传传递递函函数数的的各各种种系系统统,这这就就极极大大地

26、地提提高高了了控控制制工工作作者者的的效率。效率。现在学习的是第30页，共94页05.04.2023第二章数学模型 2-3典型环节的传递函数典型环节的传递函数在传递函数中，可以分解出基本单元，控制系统也是由典型环节组在传递函数中，可以分解出基本单元，控制系统也是由典型环节组成，一般可分为比例、惯性、积分、一阶微分、二阶振荡、时滞共七成，一般可分为比例、惯性、积分、一阶微分、二阶振荡、时滞共七种。种。(1)(1)比例环节比例环节 输入、输出关系及传递函数为输入、输出关系及传递函数为式中式中 K为增益。为增益。特点特点:输入输出量成比例输入输出量成比例,无失真和时间延迟。无失真和时间延迟。实例实例

27、:电子放大器电子放大器,齿轮齿轮,电阻电阻(电位器电位器),感应式变送器等。感应式变送器等。现在学习的是第31页，共94页05.04.2023第二章数学模型 例例2.52.5 求运算放大器组成的比例环节的传递函数。求运算放大器组成的比例环节的传递函数。解解 运算放大器是控制系统中最常用的器件。运算放大器是控制系统中最常用的器件。分析要点：分析要点：运算放大器的开环放大倍数运算放大器的开环放大倍数K K为无限大。为无限大。输入电阻输入电阻为无限大，输出电阻为零。为无限大，输出电阻为零。输入端电压、电流均为零输入端电压、电流均为零。如图有下列关系式：如图有下列关系式：现在学习的是第32页，共94页

28、05.04.2023第二章数学模型 在在应应用用运运算算放放大大器器时时，往往往往是是利利用用反反相相端端输输入入的的，因因此此输输出出、输输入入电电压压的的相相位位相相反反，传传递递函函数数出出现现了了负负号号。为为了了方方便便，可可以以暂暂不不考考虑符号。虑符号。(2)(2)惯性环节惯性环节 惯性环节具有下列特性：当输入阶跃变化时，输惯性环节具有下列特性：当输入阶跃变化时，输出不能立即按比例复现输入，而是按出不能立即按比例复现输入，而是按指数曲线规律变化指数曲线规律变化,经过一段经过一段时间以后才能复现输入。时间以后才能复现输入。例例2.6 2.6 图图示示RCRC线线性性电电路路，各各元

29、元件件特特性为：性为：现在学习的是第33页，共94页05.04.2023第二章数学模型 设电容电压的初始值为设电容电压的初始值为0，对以上两式取拉氏变换，得，对以上两式取拉氏变换，得在复数域内电阻、电容均满足欧姆定理：在复数域内电阻、电容均满足欧姆定理：U=ZI，因此，因此，RC网络可看成网络可看成直流电路网络，直流电路网络，用直流电路分析方法分析用直流电路分析方法分析。其中，其中，ZR=R阻抗阻抗ZC=1/cs容抗容抗现在学习的是第34页，共94页05.04.2023第二章数学模型 对应的复数电路如图，由直流电路的分压公式，得对应的复数电路如图，由直流电路的分压公式，得 由此可得由此可得RC

30、RC网络的传递函数为网络的传递函数为 令输入电压令输入电压u ur r=1V=1V，Ur(s)=1/sUr(s)=1/s，输出电压象函数为，输出电压象函数为 输出电压时间函数为输出电压时间函数为 现在学习的是第35页，共94页05.04.2023第二章数学模型 取取T=RC=2sT=RC=2s和和4s4s，绘绘出出输输出出电电压压的的响响应应曲曲线线如如图图，输输出出是是按按指指数数曲曲线线增增长长的的，初初始始上上升升率率在在数数值值上上等等于于时时间间常常数数T T的的倒倒数数，输输出出经经3T3T的的时时间间后后到到达达稳稳定定值值的的9595，所所以以，网网络络是是一一个个惯惯性性环环

31、节节。惯惯性环节的传递函数为性环节的传递函数为 时时间间常常数数T T是是惯惯性性环环节节的的重重要要参参数数，T T越越大，惯性越大，输出上升越缓慢大，惯性越大，输出上升越缓慢。现在学习的是第36页，共94页05.04.2023第二章数学模型 积分环节的传递函数为积分环节的传递函数为 (3)(3)积积分分环环节节 积积分分环环节节具具有有下下列列特特性性；输输出出等等于于输输入入的的积积分分。令令r(t)r(t)为为输输入入，c(t)c(t)为为输输出出，积积分分时时间间常常数数为为T T。则则积积分分环环节节有有下下列列关关系式系式 在零初始条件时，对上式取拉氏变换在零初始条件时，对上式取

32、拉氏变换现在学习的是第37页，共94页05.04.2023第二章数学模型 T=1T=1,则则 G(S)=1/s G(S)=1/s，称为，称为纯积分环节纯积分环节。例例2.6 2.6 图图示示为为积积分分运运算算放放大大器器。设设输输出出电电压压为为u ur和和输输入入电电压压为为u uc，由复数阻抗可得下列关系式由复数阻抗可得下列关系式 ;显然为积分环节，积分时间常数显然为积分环节，积分时间常数T=R0C积分环节的单位阶跃输入响应曲线如图，积分环节的单位阶跃输入响应曲线如图，运放的限幅电路使输出不会无穷大运放的限幅电路使输出不会无穷大。现在学习的是第38页，共94页05.04.2023第二章数

33、学模型(4)(4)微微分分环环节节 理理想想微微分分环环节节的的特特性性；输输出出等等于于输输入入的的微微分分，即即输输出出与与输输入入的的变变化化速速度度成成正正比比。令令微微分分时时间间常常数数为为。则则微微分分环环节节有有下下列列关系式关系式 若若输输入入量量为为单单位位阶阶跃跃函函数数，即即r(t)=1(t)r(t)=1(t)，则则输输出出的的单单位位阶阶跃跃响响应应为为在零初始条件时，对上式进行拉氏变换后得传递函数为在零初始条件时，对上式进行拉氏变换后得传递函数为现在学习的是第39页，共94页05.04.2023第二章数学模型 这这是是一一个个面面积积为为的的脉脉冲冲，脉脉冲冲宽宽为

34、为零零；幅幅值值为为无无穷穷大大。理理想想微微分分环节在实际中是得不到的。下面看几种实际微分环节的例子。环节在实际中是得不到的。下面看几种实际微分环节的例子。例例2.7 2.7 图图示示为为一一电电感感元元件件，若若以以电电流流i为输入量，电压为输入量，电压u为输出量，则为输出量，则对上式进行拉氏变换得对上式进行拉氏变换得Ls称为感抗。称为感抗。电感元件可以看作一个微分环节。且形式上满足欧电感元件可以看作一个微分环节。且形式上满足欧姆定理。姆定理。现在学习的是第40页，共94页05.04.2023第二章数学模型 在在零零初初始始条条件件的的电电路路网网络络中中R R、L L、C C用用复复数数

35、阻阻抗抗形形式式表表示示后后，可可使用直流电路的分析方法。使用直流电路的分析方法。例例2.8 2.8 图示的近似微分电路的传递函数为图示的近似微分电路的传递函数为式中式中当当1 1时，才能近似地得到时，才能近似地得到=0.01s时单位阶跃响应曲线如图时单位阶跃响应曲线如图现在学习的是第41页，共94页05.04.2023第二章数学模型 一阶微分环节一阶微分环节也不是纯微分环节，也不是纯微分环节，一阶微分环节的一阶微分环节的输出不仅与输入输出不仅与输入量的变化率有关，而且还和输入量的大小有关。量的变化率有关，而且还和输入量的大小有关。对上式进行拉氏变换得对上式进行拉氏变换得 由由此此可可知知一阶

36、微分环节的传递函数为一阶微分环节的传递函数为 一阶微分环节方框图和单位阶跃响应一阶微分环节方框图和单位阶跃响应曲线如图。曲线如图。现在学习的是第42页，共94页05.04.2023第二章数学模型 例例2.92.9 求图示运算放大器路的传递函数求图示运算放大器路的传递函数解解 联解上列各式得电路的传递函数为联解上列各式得电路的传递函数为式中式中 =R0C,是一个一阶微分环节。是一个一阶微分环节。现在学习的是第43页，共94页05.04.2023第二章数学模型 (5)(5)二阶振荡环节二阶振荡环节 环节输出与输出量的一阶微分、二阶微分、环节输出与输出量的一阶微分、二阶微分、输出量本身及输入量均有关

37、，输出量本身及输入量均有关，多数情况下输出会出现振荡。多数情况下输出会出现振荡。其微其微分方程如下分方程如下零初始条件时，对上求拉氏变换得零初始条件时，对上求拉氏变换得或写作或写作 式中式中 阻尼系数阻尼系数 自然振荡角频率自然振荡角频率G=tf(3,1 1 3),step(G)现在学习的是第44页，共94页05.04.2023第二章数学模型 (6)(6)时迟环节时迟环节 环节的特点：环节的特点：输出信号比输入信号迟后一定时间。输出信号比输入信号迟后一定时间。其表达式为其表达式为 式中式中 迟后时间迟后时间对上式求拉氏变换，可得对上式求拉氏变换，可得由此可知迟后环节的传递函数为由此可知迟后环节

38、的传递函数为现在学习的是第45页，共94页05.04.2023第二章数学模型 传输延迟的两个例子如图传输延迟的两个例子如图MATLAB迟后环节的加入用指令：迟后环节的加入用指令：Gs.intputd=T%T迟后时间迟后时间例如例如的单位阶跃响应为的单位阶跃响应为Gs=tf(1);Gs.inputd=0.5执行后得：执行后得：Gs=exp(-0.5s)step(Gs)%绘出绘出Gs的单位阶跃响应曲线与图的单位阶跃响应曲线与图2-27一样。一样。现在学习的是第46页，共94页05.04.2023第二章数学模型 系统中有迟后环节，则系统传递函数变为超越方程，给以后系统中有迟后环节，则系统传递函数变为

39、超越方程，给以后系统分析带来不便，故把迟后环节传递函数展开成级数如下系统分析带来不便，故把迟后环节传递函数展开成级数如下 若若迟迟后后时时间间足足够够小小，则则可可忽忽略略上上式式中中的的高高次次项项，迟迟后后环环节节传传递递函数可近似为函数可近似为 上上式式说说明明，小小时时间间迟迟后后环环节节可可近近似似为为一一个个小小惯惯性性环环节节，且且惯惯性性时间常数等于迟后时间。时间常数等于迟后时间。现在学习的是第47页，共94页05.04.2023第二章数学模型 2-4闭环控制系统的动态结构图闭环控制系统的动态结构图 动动态态结结构构图图（简简称称方方框框图图）是是系系统统模模型型的的图图形形表

40、表达达方方式式，直直观地显示了系统的结构及各环节之间的关系。观地显示了系统的结构及各环节之间的关系。2.4.1 2.4.1 结构图的组成与绘制结构图的组成与绘制 1.1.结构图的组成结构图的组成 (1)(1)方框方框代表一个元件，元件的传递代表一个元件，元件的传递函数放在方框内函数放在方框内,方框外面带箭头的线段表方框外面带箭头的线段表示输入信号和输出信号，信号只能沿箭头方示输入信号和输出信号，信号只能沿箭头方向传递。向传递。现在学习的是第48页，共94页05.04.2023第二章数学模型 (2)(2)分分支支点点信信号号分分成成多多路路的的点点。需需要要注注意意的的是是,无无论论一一个个分分

41、支点引出多少条信号流线支点引出多少条信号流线,它们都是原始大小的信号。它们都是原始大小的信号。(3)(3)汇汇合合点点两两个个以以上上信信号号的的代代数数和和运运算算，箭箭头头附附近近的的、号表示信号是相加还是相减。号表示信号是相加还是相减。现在学习的是第49页，共94页05.04.2023第二章数学模型 2.2.系统结构图的绘制系统结构图的绘制 (1)(1)根根据据系系统统的的原原理理框框图图，将将系系统统划划分分为为多多个个独独立立环环节节。确确定定系系统统的的输入量和输出量和中间变量（环节的输入、输出量）。输入量和输出量和中间变量（环节的输入、输出量）。(2)(2)求各个环节的传递函数，

42、写出每个环节输出的象函数。求各个环节的传递函数，写出每个环节输出的象函数。(3)(3)根根据据每每个个环环节节的的输输入入、输输出出关关系系将将各各个个环环节节连连接接起起来来。就就得到系统的动态结构图，得到系统的动态结构图，现在学习的是第50页，共94页05.04.2023第二章数学模型 例例 2.102.10 图图RCRC网网络络中中,电电压压u1 1(t)、u2(t)分分别别为为输输入入量量和和输输出出量量,绘绘制系统的结构图。制系统的结构图。解解将将RC看成环节，确定看成环节，确定RC的输入、输出量，求出的输入、输出量，求出RC的传递函的传递函数（即复数阻抗），如图（数（即复数阻抗），

43、如图（b）所示。）所示。现在学习的是第51页，共94页05.04.2023第二章数学模型 2.4.2 2.4.2 闭环系统的结构图闭环系统的结构图 一一个个闭闭环环负负反反馈馈系系统统通通常常用用图图示示的的结结构构图图来来表表示示。输输出出量量C(s)反反馈馈到到相相加加点点,并并且且在在相相加加点点与与参参考考输输入入量量R(s)进进行行比比较较。图图中中各各信信号号之间的关系为之间的关系为C(s)=G1(s)E(s)E(s)=R(s)-B(s)B(s)=H(s)C(s)式式中中E(s)和和B(s)分分别别为为偏偏差差信信号号和和反反馈馈信信号号的的拉拉氏氏变变换换,H(s)为为反反馈馈通

44、通道传递函数。道传递函数。反馈信号反馈信号B(s)=H(s)C(s)。现在学习的是第52页，共94页05.04.2023第二章数学模型 反馈信号反馈信号B(s)与偏差信号与偏差信号E(s)之比之比,叫做叫做开环传递函数开环传递函数,即即 输出量输出量C(s)和偏差信号和偏差信号E(s)之比之比,叫做叫做前向通道传递函数前向通道传递函数,即即 如如果果反反馈馈传传递递函函数数等等于于1 1,那那么么开开环环传传递递函函数数和和前前向向传传递递函函数数相相同同,并并称称这这时时的的闭闭环环反反馈馈系系统统为为单单位位反反馈馈系系统统。从从图图2-92-9可可以以推推出出系系统统输输出出量量C(s)

45、和输入量和输入量R(s)之间的关系之间的关系,具体推导如下具体推导如下:C(s)=G1(s)E(s)E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-H(s)C(s)现在学习的是第53页，共94页05.04.2023第二章数学模型 消去消去E(s)可得可得C(s)=G1(s)R(s)-H(s)C(s)所以有所以有 上上式式就就是是系系统统输输出出量量C(s)和和输输入入量量R(s)之之间间的的传传递递函函数数,称称为为闭闭环环传传递递函函数数。已已知知闭闭环环传传递递函函数数和和输输入入量量的的拉拉氏氏变变换换，可可得得系系统统输输出出的的拉拉氏氏变换变换C(s)(s)：可见可见,闭环系统的输出量取决于

46、闭环传递函数和输入量。闭环系统的输出量取决于闭环传递函数和输入量。现在学习的是第54页，共94页05.04.2023第二章数学模型 2.4.3 2.4.3 扰动作用下的闭环系统扰动作用下的闭环系统 实实际际的的系系统统经经常常会会受受到到外外界界扰扰动动的的干干扰扰,通通常常扰扰动动作作用用下下的的闭闭环环系系统统的的结结构构图图如如图图。系系统统存存在在两两个个输输入入量量,即即参参考考输输入入量量R(s)和和扰扰动量动量N(s)。扰动作用下的闭环系统结构图 返回现在学习的是第55页，共94页05.04.2023第二章数学模型 由由于于线线性性系系统统满满足足叠叠加加原原理理,可可以以先先对

47、对每每一一个个输输入入量量单单独独地地进进行行处处理理,然然后后将将每每个个输输入入量量单单独独作作用用时时的的输输出出量量进进行行叠叠加加,就就可可得得到到系系统统的的总总输输出出量量。研研究究扰扰动动量量N(s)(s)对对系系统统的的影影响响时时,可可以以假假设设参参考考输输入入信信号号R(s)=0,(s)=0,经过简单的推导可以得出经过简单的推导可以得出系统对扰动的响应系统对扰动的响应CN(s)为为所以所以,系统输出对扰动的传递函数系统输出对扰动的传递函数GN(s)=CN(s)/N(s)为为 图现在学习的是第56页，共94页05.04.2023第二章数学模型 同同样样在在分分析析系系统统

48、对对参参考考输输入入的的响响应应时时,可可以以假假设设扰扰动动量量N N(s s)=0,)=0,这这时时系统对参考输入量系统对参考输入量R(s)的响应的响应CR(s)为为所以所以,系统输出对参考输入的传递函数系统输出对参考输入的传递函数G(s)=CR(s)/R(s)为为 根根据据线线性性系系统统的的叠叠加加原原理理可可知知,参参考考输输入入量量R R(s s)和和扰扰动动量量N N(s s)同同时时作用于系统时作用于系统时,系统的响应系统的响应(总输出总输出)C(s)为为图现在学习的是第57页，共94页05.04.2023第二章数学模型 2-5动态结构图的等效变换动态结构图的等效变换利用结构图

49、分析和设计系统时,常常要对结构图进行简化和变换。基本原则是相关联的输出不变。基本原则是相关联的输出不变。1.1.串联环节的简化串联环节的简化 几个环节的结构图首尾连接几个环节的结构图首尾连接,称这种结构为串联环节。称这种结构为串联环节。现在学习的是第58页，共94页05.04.2023第二章数学模型 消去中间变量消去中间变量X1(s)和和X2(s)得输出得输出X3为为由图（由图（b)b)得得输出输出X3为为由图（由图（a)a)得得图（图（b)b)是图（是图（a)a)的等效变换。的等效变换。现在学习的是第59页，共94页05.04.2023第二章数学模型 结结论论：n个个环环节节(每每个个环环节

50、节的的传传递递函函数数为为Gi(s),),i=1,2,n)串串联联的等效传递函数等于的等效传递函数等于n个传递函数相乘。个传递函数相乘。G(s)=G1(s)G2(s)Gn(s)MATLAB指令：指令：series(G1,G2)%一次只能两个串联一次只能两个串联或者或者G1*G2*注注意意：直直接接用用传传递递函函数数进进行行四四则则运运算算结结果果有有时时不不是是最最简简式式，可可用用zpk(.)转换成零极点形式，再手工去掉偶极子。转换成零极点形式，再手工去掉偶极子。现在学习的是第60页，共94页05.04.2023第二章数学模型 由图（由图（a)a)消去中间变量消去中间变量X1(s)、X2(