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1、3.2 函数的基本性质3.2.2 3.2.2 奇偶性奇偶性第第2 2课时课时复习与回顾 1.什么是奇函数，偶函数？它们的特征各是怎样的？新课新课2.奇偶函数的特征:对于奇函数有：f(-x)=-f(x)一般地，设函数f(x)的定义域为，如果x,都有-x,且 f(-x)=-f(x)那么函数f(x)就叫做奇函数(evenfunction).如果x,都有-x,且 f(-x)=f(x)那么函数f(x)就叫做偶函数(evenfunction).1.定义函 数 的 奇 偶 性奇函数图象关于原点对称；(2)代数特征：(3)几何特征:(1)定义域特征：定义域关于原点对称.（自变量取一对相反数时，函数值也是一对相
2、反数）返回返回(或f(-x)+f(x)=0)(或f(-x)-f(x)=0)对于偶函数有：f(-x)=f(x)偶函数图象关于y轴对称.（自变量取一对相反数时，函数值相等）复习与回顾(1)图象法(直观判断)；(2)定义法(严格推导)。2.如何判定一个函数的奇偶性？新课新课(1)求函数的定义域；(2)判断定义域是否关于原点对称；若定义域不关于原点对称，则函数不具有奇偶性;若定义域关于原点对称，则进入第三步.(3)x,计算f(-x)，并判断f(-x)与f(x)的关系；(4)作结论.若f(-x)=f(x)，则函数是奇函数；若f(-x)=f(x)，则函数是偶函数；若f(-x)f(x)且f(-x)-f(x)
3、,则f(x)既不是奇函数也不是偶函数;若f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x),则f(x)既是奇函数又是偶函数.用定义法判定函数f(x)的奇偶性的步骤返回返回一求二看三算四断复习与回顾 3.函数的单调性和奇偶性各反应了函数怎样的性质？单调性反映的是函数的增减性，奇偶性反映的是函数的对称性;单调性针对的是定义域下的某一个区间，奇偶性针对的是整个定义域。新课新课知识探究(一)y=f(x)y=f(x)y=f(x)结论一若奇函数的定义域含有，则必有 f()又f(1)=3，综上，a=3，b=0解:由f(-x)=-f(x)得例析例1.设函数 是奇函数，且f(1)=3,则求a，b.函数f(x)是奇函数
4、 思考(1)：对于是函数f(x)奇函数这个条件还可以怎样用?由f(x)的定义域含0可知 f(0)=0解得a=3 思考(1)：若将“f(-x)=-f(x)”换为“f(-x)+f(x)=0”,对应的运算量如何?定义域关于原点对称,由得,b=-2.综上，a=-1,b=-2。解:函数f(x)是偶函数 已知函数f(x)=ax2+(b+2)x+3,x(2a+1,1)是偶函数，则求a，b.且f(-x)-f(x)=0由得a=-1，(2a+1)=-1-(-x)2-(b+2)x+3-x2+(b+2)x+3=0即2bx+4x=0练习练习 思考(1):“f(-x)=f(x)”是否可以特殊化?函数的定义域为（-1,1）
5、f(x)=-x2+(b+2)x+3 b=-2.思考(2):利用奇偶性求参数的值，一般可利用的条件哪一些?定义域的对称性；f(-x)=f(x)恒成立；在定义域内将f(-x)=f(x)特殊化；奇函数定义域含0时，f(0)=0.例2.已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x0时，f(x)=x2-2x+1。求f(x)的解析式，并画出此函数f(x)图象的大致形状.例析思考(1)：”当x0时，f(x)=x2-2x+1”的言外之意是什么?当x0或x=0时，f(x)=x2-2x+1就不一定成立了，即函数f(x)是一个分段函数。思考(2)：因此，解决本题关键是什么？求出”当x0或x=0时f(x)的对应关系”。当x
6、=0时，f(x)=0 既然要求x0时f(x)的对应关系，首先就取”x0才成立)，接下来作一个对称”-x0”，然后将-x代入f(x)=x2-2x+1得到f(-x)，最后利用f(-x)与f(x)的关系得到x0时的f(x)。思考(3)：既然f(x)是定义域为R的奇函数，x=0时，f(x)等于多少？思考(4)：根据题目中的条件，你认为本题应如何入求当x0时，f(x)=x2-2x+1。求f(x)的解析式，并画出此函数f(x)图象的大致形状.又f(x)是奇函数f(-x)=-f(x)当x0时，f(x)=x2-2x+1当x0时，f(-x)=f(x)=-x2-2x-1其图象右(-x)2-2(-x)+1(x0)=
7、x2+2x+1.解:-x0.思考(4)：你认为本题的易错点有哪些？当x=0时,f(x)=0由f(x)是R上的奇函数得xyo-1-11 11 1-1-1 思考(5)：请你再回顾一下本题的解决过程？例2.已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x0时，f(x)=x2-2x+1。求f(x)的解析式，并画出此函数f(x)图象的大致形状.利用奇偶性求分段函数解析式的一般过程：(1)取范围:将x取在需要求对应关系时的范围；(2)调范围:把含有x式子调整到已知对应关系时的范围；(3)代入:将调整后式子代入已知的解析式；(4)求出f(x):根据奇偶性求出该范围的解析式；(5)作结论：写成分段函数的形式 已知f(x
8、)是定义域为R的偶函数，当x0时，f(x)=x2-2x+1。(1)求f(-3);(2)求f(x)的解析式，并画出函数f(x)图象的大致形状.又f(x)是偶函数f(-x)=f(x)=x2+2x+1.当x0时，f(x)=x2-2x+1设x0，则f(-x)=即f(x)=x2+2x+1其图象右(-x)2-2(-x)+1(x0)=x2+2x+1.解:(1）-x0.xyo-1-11 11 1练习取范围调范围代入求出f(x)作结论思考：本题和刚才的例题有何不同？为什么x=0不需单独考虑?f(x)是偶函数f(-3)=f(3)=32-23+1=4(2）y=f(x)问题2：已知偶函数y=f(x)在区间a,b单调递
9、增，你能判断y=f(x)在-b,-a的单调性吗？x1,x2-b,-a，且x1x2，则 f(x)在a,b单调递增又f(x)在R上是奇函数即 f(x1)-x2 由-x1,-x2a,b，且-x1-x2 得 f(-x1)f(-x1)f(-x1)=-f(x1)f(-x2)=-f(x2)证明：-b-a-x2-x1x1x2 思考：若y=f(x)是奇函数，情况又会怎样？y=f(x)在-b,-a单调递增结论二在关于原点的两个对称区间上：奇函数的单调性相同;偶函数的单调性相反.例3.已知函数f(x)是定义域为(-1,1)的奇函数,且在0,1)上是增函数.解不等式：又奇函数f(x)在0,1)上是增函数，f(x)在R
10、上是奇函数,例析f(x)是增函数。解：1.已知函数f(x)是奇函数，且在区间3,7上为单调递增，若f(x)在区间3,7上的最小值是5，最大值是6，求函数f(x)在区间-7,-3最大值。简析:由题意知练习练习 2.若将上题的奇函数改为偶函数，函数f(x)在区间-7,-3最大值为_.-7-3-535xy7o6-6函数f(x)在区间-7,-3上单调递增 f(x)是奇函数f(x)在区间-7,-3上的最大值为 f(-3)f(-3)=-f(3)由题意知f(3)=5f(-3)=-56即函数f(x)在区间-7,-3最大值为-5 3.已知函数y=f(x)是R上的奇函数，g(x)=xf(x)在(0,+)上是减函数，且f(2)=0.解不等式g(x)0.函数y=f(x)是R上的偶函数，g(x)=xf(x)在R上是奇函数.由图象可得不等式g(x)0的解集为：解：x xy yo o2 2-2-2(-,-2 0(0,2=(-,-2 0,2又g(2)=2f(2)=0,且g(x)在(0,+)上是减函数,g(x)图象的大致形状为知识探究(三)结论三练习简析：1.奇函数的定义域含0时，其图象一定过原点吗？小结 2.奇函数和偶函数在单调性上有什么性质？5.通过本节的学习，你对“数形结合的思想方法”，“特殊与 一般”的思想方法有什么认识？3.如何根据奇偶性求函数的解析式？在运算上呢？4.如何解与抽象函数有关的不等式？