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1、关于土木工程中的几何非线性问题05.04.2023非线性有限元1第一张，PPT共四十二页，创作于2022年6月05.04.2023非线性有限元2基本概念基本概念几何非线性问题：几何非线性问题：位移与应变成非线性（微分意义上）关系。位移与应变成非线性（微分意义上）关系。物理现象：物理现象：将位移（转动）和将位移（转动）和/或应变较大的问题统称为或应变较大的问题统称为大变形问题大变形问题，有，有时称为时称为有限变形问题有限变形问题。这类问题又分为。这类问题又分为大位移（转动）小应变大位移（转动）小应变问题及问题及大大位移大应变位移大应变问题两大类。问题两大类。研究意义：研究意义：和材料非线性问题一
2、样重要。例如，和材料非线性问题一样重要。例如，平板的弯曲问题平板的弯曲问题，大挠度理，大挠度理论分析结果更符合实际情况；论分析结果更符合实际情况；薄壳的屈曲薄壳的屈曲，非线性理论的预测值更好。，非线性理论的预测值更好。又例如，对于又例如，对于橡皮型材料橡皮型材料，大变形还必须考虑，大变形还必须考虑本构关系的变化本构关系的变化，这，这与纯粹的材料非线性又有区别。与纯粹的材料非线性又有区别。几何线性问题：几何线性问题：位移与应变成线性（微位移与应变成线性（微分）关系；分）关系；研究现状：研究现状：大变形问题有限元分析的理论和方法存在不同学派间的争鸣，尚大变形问题有限元分析的理论和方法存在不同学派间
3、的争鸣，尚未得到一个权威性的结论。随之并发的其它问题，如解的稳定性、收敛未得到一个权威性的结论。随之并发的其它问题，如解的稳定性、收敛性及收敛率等，都有待进一步深入研究。性及收敛率等，都有待进一步深入研究。第二张，PPT共四十二页，创作于2022年6月05.04.2023非线性有限元31.1.物体运动的描述物体运动的描述第三张，PPT共四十二页，创作于2022年6月05.04.2023非线性有限元4拉格朗日描述拉格朗日描述 t t t t=0=0=0=0的坐标为的坐标为的坐标为的坐标为X X X Xi i i i，t t t t时刻位置为时刻位置为时刻位置为时刻位置为x x x xi i i
4、i，质点运动可表为质点运动可表为质点运动可表为质点运动可表为 对物体对物体对物体对物体t t t t时刻位置和变形的刻划称为时刻位置和变形的刻划称为时刻位置和变形的刻划称为时刻位置和变形的刻划称为构形构形构形构形(configuration)(configuration)(configuration)(configuration)，如图示。该，如图示。该，如图示。该，如图示。该描述实质是给出初始位置坐标为描述实质是给出初始位置坐标为描述实质是给出初始位置坐标为描述实质是给出初始位置坐标为XiXi 的质点运动轨迹的质点运动轨迹的质点运动轨迹的质点运动轨迹。描述运动的参照基准称为描述运动的参照基准
5、称为描述运动的参照基准称为描述运动的参照基准称为参考位形参考位形参考位形参考位形，以初始位形作参考位形的描，以初始位形作参考位形的描，以初始位形作参考位形的描，以初始位形作参考位形的描述称为述称为述称为述称为物质描述物质描述物质描述物质描述或或或或拉格朗日描述拉格朗日描述拉格朗日描述拉格朗日描述，X Xi i称为称为称为称为物质坐标物质坐标物质坐标物质坐标,XiXiXiXi和和t t称为称为称为称为拉拉拉拉格朗日变量格朗日变量格朗日变量格朗日变量。第四张，PPT共四十二页，创作于2022年6月05.04.2023非线性有限元5欧拉描述欧拉描述 现时构形中，经过空间位置现时构形中，经过空间位置现
6、时构形中，经过空间位置现时构形中，经过空间位置xixixixi的质的质的质的质点的速度为点的速度为点的速度为点的速度为vivivivi 研究不同时刻经过同一空间点研究不同时刻经过同一空间点研究不同时刻经过同一空间点研究不同时刻经过同一空间点xixixixi的质的质的质的质点的运动状态点的运动状态点的运动状态点的运动状态以现时位形作参考位形的描述称为以现时位形作参考位形的描述称为以现时位形作参考位形的描述称为以现时位形作参考位形的描述称为空间描述空间描述空间描述空间描述或或或或欧拉描述欧拉描述欧拉描述欧拉描述，x xi i称为称为称为称为空间空间空间空间坐标坐标坐标坐标,xixixixi和和t
7、t称为称为称为称为欧拉变量欧拉变量欧拉变量欧拉变量。注意：两种描述下对某个质点加速度的描述是不一样的注意：两种描述下对某个质点加速度的描述是不一样的注意：两种描述下对某个质点加速度的描述是不一样的注意：两种描述下对某个质点加速度的描述是不一样的第五张，PPT共四十二页，创作于2022年6月05.04.2023非线性有限元6 物体现时坐标物体现时坐标物体现时坐标物体现时坐标x x x xi i i i对物质坐标对物质坐标对物质坐标对物质坐标X X X Xi i i i的偏导数的偏导数的偏导数的偏导数称为称为称为称为变形梯度变形梯度变形梯度变形梯度，是，是，是，是非对称的二阶张量非对称的二阶张量非
8、对称的二阶张量非对称的二阶张量。(思考？什么时候其是对称的思考？什么时候其是对称的思考？什么时候其是对称的思考？什么时候其是对称的)因此可以将变形梯度视作一种线性变换，它将参考位形中的线元因此可以将变形梯度视作一种线性变换，它将参考位形中的线元因此可以将变形梯度视作一种线性变换，它将参考位形中的线元因此可以将变形梯度视作一种线性变换，它将参考位形中的线元d d d dX X X Xi i i i变换为现变换为现变换为现变换为现时位形中的线元时位形中的线元时位形中的线元时位形中的线元d d d dx x x xi i i i，这变换中既有伸缩，也有转动。变形梯度在大变形分析中，这变换中既有伸缩，
9、也有转动。变形梯度在大变形分析中，这变换中既有伸缩，也有转动。变形梯度在大变形分析中，这变换中既有伸缩，也有转动。变形梯度在大变形分析中很很很很重要重要重要重要。现时位形两邻点的距离为现时位形两邻点的距离为现时位形两邻点的距离为现时位形两邻点的距离为点的变换点的变换点的变换点的变换第六张，PPT共四十二页，创作于2022年6月05.04.2023非线性有限元7物体运动和变形是单值和连续的，也即在任一时刻，物体运动和变形是单值和连续的，也即在任一时刻，和和 是一一对应的，是一一对应的，那么在参考位形的任意点那么在参考位形的任意点JacobiJacobi行列式行列式J J不为零。也即变形梯度可逆不
10、为零。也即变形梯度可逆 第七张，PPT共四十二页，创作于2022年6月05.04.2023非线性有限元8设图示初始位形微元体体积为设图示初始位形微元体体积为设图示初始位形微元体体积为设图示初始位形微元体体积为d d d dV V V V0 0 0 0，三线元为，三线元为，三线元为，三线元为运动变形后，现时位形三线元为运动变形后，现时位形三线元为运动变形后，现时位形三线元为运动变形后，现时位形三线元为体积变换体积变换体积变换体积变换体积变换公式体积变换公式dV=JdV0 0第八张，PPT共四十二页，创作于2022年6月05.04.2023非线性有限元9图示面元可表示为图示面元可表示为 如果记初始
11、和现时位形的密度分别如果记初始和现时位形的密度分别为为则由质量守恒，可得则由质量守恒，可得因此对不可压缩物体因此对不可压缩物体面积变换面积变换面积变换面积变换面积变换公式面积变换公式第九张，PPT共四十二页，创作于2022年6月05.04.2023非线性有限元102.2.大变形问题的应变描述大变形问题的应变描述第十张，PPT共四十二页，创作于2022年6月05.04.2023非线性有限元11应变张量应变张量应变张量应变张量关注关注P P、Q Q两点的距离两点的距离研究变形前后线段尺度的变化研究变形前后线段尺度的变化研究变形前后线段尺度的变化研究变形前后线段尺度的变化可以获得变形的度量可以获得变
12、形的度量可以获得变形的度量可以获得变形的度量应变应变应变应变格林应变张量格林应变张量阿尔曼西张量阿尔曼西张量阿尔曼西张量阿尔曼西张量第十一张，PPT共四十二页，创作于2022年6月05.04.2023非线性有限元12格林应变张量用初始位形定义，也即用变形前的坐标定义，它是lagrangelagrange坐坐标标的函数。阿尔曼西应变张量用现时位形定义，它是Euler坐标的函数。两种应变张量同样也可以通过位移向量导出：分别对分别对分别对分别对lagrangelagrangelagrangelagrange坐标或对坐标或对坐标或对坐标或对EulerEulerEulerEuler坐标求偏导，可得变形梯
13、度张量分别为坐标求偏导，可得变形梯度张量分别为坐标求偏导，可得变形梯度张量分别为坐标求偏导，可得变形梯度张量分别为初始坐标的函数初始坐标的函数现时坐标的函数现时坐标的函数第十二张，PPT共四十二页，创作于2022年6月05.04.2023非线性有限元13 由此公式可见，两种应变张量都是对称的。类似弹（塑）性由此公式可见，两种应变张量都是对称的。类似弹（塑）性由此公式可见，两种应变张量都是对称的。类似弹（塑）性由此公式可见，两种应变张量都是对称的。类似弹（塑）性力学的应变分析（与主应力分析相仿），可以证明，体内任一点力学的应变分析（与主应力分析相仿），可以证明，体内任一点力学的应变分析（与主应力
14、分析相仿），可以证明，体内任一点力学的应变分析（与主应力分析相仿），可以证明，体内任一点处至少有三个相互垂直的应变主轴，任两与主轴平行的物质线元，处至少有三个相互垂直的应变主轴，任两与主轴平行的物质线元，处至少有三个相互垂直的应变主轴，任两与主轴平行的物质线元，处至少有三个相互垂直的应变主轴，任两与主轴平行的物质线元，变形过程中仍保持垂直。变形过程中仍保持垂直。变形过程中仍保持垂直。变形过程中仍保持垂直。将变形梯度张量代入两种应变的表达式，可得用位移梯度张量表示的应变公式如下将变形梯度张量代入两种应变的表达式，可得用位移梯度张量表示的应变公式如下第十三张，PPT共四十二页，创作于2022年6月
15、05.04.2023非线性有限元14这表明，当位移梯度很小时，可以不区分初始位形和现时位形，位移梯度分量的乘积这表明，当位移梯度很小时，可以不区分初始位形和现时位形，位移梯度分量的乘积这表明，当位移梯度很小时，可以不区分初始位形和现时位形，位移梯度分量的乘积这表明，当位移梯度很小时，可以不区分初始位形和现时位形，位移梯度分量的乘积项是高阶小量，将其略去后，即可得到小变形时的项是高阶小量，将其略去后，即可得到小变形时的项是高阶小量，将其略去后，即可得到小变形时的项是高阶小量，将其略去后，即可得到小变形时的柯西应变柯西应变柯西应变柯西应变-工程应变工程应变工程应变工程应变 当位移梯度远小于当位移梯
16、度远小于当位移梯度远小于当位移梯度远小于1 1 1 1时，对任意函数时，对任意函数时，对任意函数时，对任意函数F F有如下关系有如下关系有如下关系有如下关系第十四张，PPT共四十二页，创作于2022年6月05.04.2023非线性有限元15若现时位形只是相对初始位形作刚体移动，则若现时位形只是相对初始位形作刚体移动，则则则物体一定无变形，反之一样。因此，物体作刚体运动的充分必要条件是物体一定无变形，反之一样。因此，物体作刚体运动的充分必要条件是物体一定无变形，反之一样。因此，物体作刚体运动的充分必要条件是物体一定无变形，反之一样。因此，物体作刚体运动的充分必要条件是到处存在到处存在到处存在到处
17、存在第十五张，PPT共四十二页，创作于2022年6月05.04.2023非线性有限元16 一般来说，在本构方程中一般来说，在本构方程中AlmansiAlmansi应变张量不直接出现，使用的是左应变张量不直接出现，使用的是左Cauchy-Cauchy-GreenGreen变形张量变形张量b bijij，又称为现时（，又称为现时（UpdatedUpdated）GreenGreen应变张量应变张量Green应变张量：应变张量：以初始构型为参考构型所定义的应变，数学表示以初始构型为参考构型所定义的应变，数学表示为为现时（现时（Updated）Green应变张量：应变张量：以现时构型为参考构型所定义以现
18、时构型为参考构型所定义的应变，数学表示为的应变，数学表示为注意：我们用下标的大小写表示坐标的大小写，对应于不同的构型。注意：我们用下标的大小写表示坐标的大小写，对应于不同的构型。最终方程中常用的两种应变张量为：最终方程中常用的两种应变张量为：第十六张，PPT共四十二页，创作于2022年6月05.04.2023非线性有限元17应变增量：应变增量：Green应变增量：应变增量：现时（现时（Updated）Green应变增量：应变增量：线性部分线性部分非线性部分非线性部分线性部分线性部分非线性部分非线性部分二者之间满足张量二者之间满足张量变换关系！变换关系！大变形分析由于采用增量方法，需经常用到它们
19、的增量形式大变形分析由于采用增量方法，需经常用到它们的增量形式。第十七张，PPT共四十二页，创作于2022年6月05.04.2023非线性有限元18应变增量：（续）应变增量：（续）对于大变形小应变情形对于大变形小应变情形 Green应变增量退化成：应变增量退化成：现时（现时（Updated）Green应变增量退化成：应变增量退化成：线性部分线性部分非线性部分是高阶小量非线性部分是高阶小量线性部分线性部分非线性部分是高阶小量非线性部分是高阶小量对于小变形情形对于小变形情形第十八张，PPT共四十二页，创作于2022年6月05.04.2023非线性有限元193.3.大变形问题的应力描述大变形问题的应
20、力描述第十九张，PPT共四十二页，创作于2022年6月05.04.2023非线性有限元20 应力是借助于微元体来定义的应力是借助于微元体来定义的，但在大变形分析中，必须注意，但在大变形分析中，必须注意微元体所微元体所在的构型在的构型。Euler应力：应力：与应变类似，连续介质力学理论具有严格的应力定义和多种不同的应力与应变类似，连续介质力学理论具有严格的应力定义和多种不同的应力概念。这里也只介绍后面将要用到的几种。概念。这里也只介绍后面将要用到的几种。从当前构型中取出微元体，在其上定义的应力称为从当前构型中取出微元体，在其上定义的应力称为Euler应力应力，用，用 表示。表示。Euler应力代
21、表物体的应力代表物体的真实应力真实应力。然而，当前构型是待求的。然而，当前构型是待求的未知构型未知构型，因而，有必要通过已知构，因而，有必要通过已知构型上的微元体再对应力进行描述。型上的微元体再对应力进行描述。Kirchhoff（克希霍夫）应力：（克希霍夫）应力：通过初时构型上的微元体定义的应力称为通过初时构型上的微元体定义的应力称为Kirchhoff应力应力，用，用 表示；通过现时表示；通过现时构型的微元体定义的应力称为构型的微元体定义的应力称为现时（现时（Updated）Kirchhoff 应力应力，用，用 表示。表示。第二十张，PPT共四十二页，创作于2022年6月05.04.2023非
22、线性有限元21在大变形问题中，是用从在大变形问题中，是用从在大变形问题中，是用从在大变形问题中，是用从变形后变形后变形后变形后的物体内截取的微元体来建立平衡方程及与之相等效的虚功原的物体内截取的微元体来建立平衡方程及与之相等效的虚功原的物体内截取的微元体来建立平衡方程及与之相等效的虚功原的物体内截取的微元体来建立平衡方程及与之相等效的虚功原理的。因此首先在变形后的物体内截取出的微元体上定义应力张量，称为理的。因此首先在变形后的物体内截取出的微元体上定义应力张量，称为理的。因此首先在变形后的物体内截取出的微元体上定义应力张量，称为理的。因此首先在变形后的物体内截取出的微元体上定义应力张量，称为E
23、ulerEulerEulerEuler应力张量；应力张量；应力张量；应力张量；此此此此应力张量有明确的含义，即代表真实的应力张量。应力张量有明确的含义，即代表真实的应力张量。应力张量有明确的含义，即代表真实的应力张量。应力张量有明确的含义，即代表真实的应力张量。是现时位形和变形相关的真实应力。是现时位形和变形相关的真实应力。是现时位形和变形相关的真实应力。是现时位形和变形相关的真实应力。由四面体的平衡，可将面由四面体的平衡，可将面由四面体的平衡，可将面由四面体的平衡，可将面 的应力，用的应力，用的应力，用的应力，用 表示表示表示表示 Euler应力张量应力张量:ijij第二十一张，PPT共四十
24、二页，创作于2022年6月05.04.2023非线性有限元22然而在分析过程中，必须联系应力与应变。如果应变是用变形前的坐标（初始位形）表示的然而在分析过程中，必须联系应力与应变。如果应变是用变形前的坐标（初始位形）表示的然而在分析过程中，必须联系应力与应变。如果应变是用变形前的坐标（初始位形）表示的然而在分析过程中，必须联系应力与应变。如果应变是用变形前的坐标（初始位形）表示的GreenGreenGreenGreen应变张量，那么，还需定义与之相对应的，即关于变形前位形的应力张量应变张量，那么，还需定义与之相对应的，即关于变形前位形的应力张量应变张量，那么，还需定义与之相对应的，即关于变形前
25、位形的应力张量应变张量，那么，还需定义与之相对应的，即关于变形前位形的应力张量。对于变形后的位形（现时位形）对于变形后的位形（现时位形）对于变形后的位形（现时位形）对于变形后的位形（现时位形），有有有有EulerEulerEulerEuler应力张量应力张量应力张量应力张量对于变形前的位形（初始位形）对于变形前的位形（初始位形）对于变形前的位形（初始位形）对于变形前的位形（初始位形），可以定，可以定，可以定，可以定义义义义名义应力名义应力名义应力名义应力 Kirchhoff应力张量：应力张量：S SijijKirchhoffKirchhoff规定规定规定规定:规定变形前面元规定变形前面元规定变
26、形前面元规定变形前面元 上的内力与变形后面元上的内力与变形后面元上的内力与变形后面元上的内力与变形后面元 上的内力满足变形梯度的关系上的内力满足变形梯度的关系上的内力满足变形梯度的关系上的内力满足变形梯度的关系LagrangeLagrangeLagrangeLagrange应力张量应力张量应力张量应力张量第二十二张，PPT共四十二页，创作于2022年6月05.04.2023非线性有限元23Kirchhoff、现时、现时Kirchhoff及及Euler应力（增量）间的关系：应力（增量）间的关系：根据张量的坐标变换规则，它们之间还有以下关系根据张量的坐标变换规则，它们之间还有以下关系现时现时Kir
27、chhoff应力应力Euler应力应力现时现时Kirchhoff应力增量应力增量时刻时刻t 时刻时刻特点：以现时构型为参考。特点：以现时构型为参考。第二十三张，PPT共四十二页，创作于2022年6月05.04.2023非线性有限元244.4.大变形问题的本构关系大变形问题的本构关系第二十四张，PPT共四十二页，创作于2022年6月05.04.2023非线性有限元25弹性材料弹性材料 若若Kirchhoff应力与应力与Green应变之间存在应变之间存在一一对应一一对应关系，则称这类材料为关系，则称这类材料为弹性材料弹性材料 不依赖于构型变化不依赖于构型变化弹性本构关系多用于弹性本构关系多用于大位
28、移（转动）小应变大位移（转动）小应变的情形。的情形。特殊情形特殊情形第二十五张，PPT共四十二页，创作于2022年6月05.04.2023非线性有限元26 超弹性材料超弹性材料 假定材料具有假定材料具有单位质量的应变能函数单位质量的应变能函数，再根据能量原理来定义本构关系，这，再根据能量原理来定义本构关系，这类材料称为超弹性材料。类材料称为超弹性材料。(不限于这种形式）不限于这种形式）总之，对于一般的大变形问总之，对于一般的大变形问题，在连续介质力学中常用题，在连续介质力学中常用超弹性来表征材料的本构关超弹性来表征材料的本构关系。系。例如例如一阶近似一阶近似初始构型时材料的密初始构型时材料的密
29、度度常数常数增量形式增量形式 坐标变换坐标变换现时现时Kirchhoff应力或应力或增量形式增量形式 Case-1Case-2不能简化！不能简化！一阶近似一阶近似现时构型时材料的密度现时构型时材料的密度随变形变化随变形变化。相相比比较较第二十六张，PPT共四十二页，创作于2022年6月05.04.2023非线性有限元27 次弹性材料次弹性材料若若应力率应力率与与变形率变形率之间成线性变化规律，这类材料称为次弹性材料。但本构之间成线性变化规律，这类材料称为次弹性材料。但本构关系描述时要求关系描述时要求“率率”为与刚体转动无关的客观时间导数为与刚体转动无关的客观时间导数。同乘以时间增量同乘以时间增
30、量增量形式增量形式 Case-2Case-1可以证明，这两个率都与转动无关可以证明，这两个率都与转动无关 Jaumann应力应力率率 现时现时Green应变的线性部分应变的线性部分 可以证明，这两个率都与转动无关可以证明，这两个率都与转动无关 旋转率旋转率第二十七张，PPT共四十二页，创作于2022年6月05.04.2023非线性有限元28 三种本构关系间的关系三种本构关系间的关系对于实际的大变形问题，上述对于实际的大变形问题，上述三种本构关系并不等价三种本构关系并不等价。可以证明，。可以证明，弹性材料是一种特弹性材料是一种特殊的次弹性材料，超弹性材料是一种特殊的弹性材料殊的次弹性材料，超弹性
31、材料是一种特殊的弹性材料。实际材料所遵守的本构关系，实际材料所遵守的本构关系，只有通过实验测试只有通过实验测试才能得以确定。才能得以确定。次次弹弹性性材材料料弹性弹性材料材料超弹性材超弹性材料料第二十八张，PPT共四十二页，创作于2022年6月05.04.2023非线性有限元295.5.大变形问题的有限元方程大变形问题的有限元方程第二十九张，PPT共四十二页，创作于2022年6月05.04.2023非线性有限元30 与塑性力学有限元方法的异同与塑性力学有限元方法的异同区别：区别：塑性力学的塑性力学的本构关系随加载变化本构关系随加载变化，而大变形问题的，而大变形问题的构型随加载变化构型随加载变化
32、。TL？UL?相似：相似：都采用增量方法，都不显含时间。都采用增量方法，都不显含时间。导致导致分析方法分析方法、应力应变描述应力应变描述、本构关系本构关系、控制方程控制方程的变化。的变化。构型对应构型对应 构型相关构型相关客观性描述客观性描述 第三十张，PPT共四十二页，创作于2022年6月05.04.2023非线性有限元31 TL法有限元方程的建立法有限元方程的建立特点：特点：始终以初始（始终以初始（0时刻）构型做为应力与应变描述的参考构型，因而，采用时刻）构型做为应力与应变描述的参考构型，因而，采用Kirchhoff应力（增量）和应力（增量）和Green应变（增量）。应变（增量）。t 时刻
33、时刻:TL法：法：Total Lagrangian Description（TLD）虚功方程：虚功方程：优点：优点：参考构型不发生变化，本构关系与虚功方程描述形式简单。参考构型不发生变化，本构关系与虚功方程描述形式简单。时刻时刻:两式相减，两式相减，得增量型虚得增量型虚功方程：功方程：第三十一张，PPT共四十二页，创作于2022年6月05.04.2023非线性有限元32 TL法有限元方程的建立（续）法有限元方程的建立（续）将有限元位移插值、初始构型下的几何关系和本构关系引入后，得到将有限元位移插值、初始构型下的几何关系和本构关系引入后，得到刚度矩阵刚度矩阵形式较复杂，因问题的类型而不同。形式较
34、复杂，因问题的类型而不同。载荷向量载荷向量TL法的求解步骤法的求解步骤:Step 1：利用有限元方程求出：利用有限元方程求出 间隔内的位移增量间隔内的位移增量 ；Step 2：利用几何关系，计算：利用几何关系，计算Green应变增量应变增量 ；Step 3：利用本构关系，计算：利用本构关系，计算Kirchhoff应力增量应力增量 ；Step 4：更新当前时刻：更新当前时刻 ；更新当前应力；更新当前应力 ；计算当前刚；计算当前刚度矩阵和载荷向量。度矩阵和载荷向量。Step 5：转到：转到Step 1，进入下一个时间间隔计算。，进入下一个时间间隔计算。第三十二张，PPT共四十二页，创作于2022年
35、6月05.04.2023非线性有限元33 UL法有限元方程的建立法有限元方程的建立特点：特点：总以总以t 时刻（即现时构型）为参考构型，也就是说参考构型是变化的，因而，采用现时时刻（即现时构型）为参考构型，也就是说参考构型是变化的，因而，采用现时Kirchhoff应力（增量）和现时应力（增量）和现时Green应变（增量）。应变（增量）。UL法：法：Updated Lagrangian Description（ULD）仿照仿照TL法的推导，可得虚功方程：法的推导，可得虚功方程：优点：优点：可以处理加载方式更为复杂的问题，亦可处理边界非线性问题等。可以处理加载方式更为复杂的问题，亦可处理边界非线性
36、问题等。UL法的增量型虚功方程：法的增量型虚功方程：第三十三张，PPT共四十二页，创作于2022年6月05.04.2023非线性有限元34UL法有限元方程的建立（续）法有限元方程的建立（续）将有限元位移插值、初始构型下的几何关系和本构关系引入后，得到将有限元位移插值、初始构型下的几何关系和本构关系引入后，得到UL法的求解步骤及与法的求解步骤及与TL法法的比较的比较:Step 1：利用有限元方程求出：利用有限元方程求出 间隔内的位移增量间隔内的位移增量 ；Step 2：利用几何关系，计算：利用几何关系，计算现时现时Green应变增量应变增量 ；Step 3：利用本构关系，计算：利用本构关系，计算
37、现时现时Kirchhoff应力增量应力增量 ；Step 4：更新当前时刻：更新当前时刻 ；更新当前应力更新当前应力,根据根据 计算计算 ，并且使得，并且使得 ；更新更新当前构型当前构型 ；计算当前刚度矩阵与载荷向量。；计算当前刚度矩阵与载荷向量。Step 5：转到：转到Step 1，进入下一个时间间隔计算。，进入下一个时间间隔计算。第三十四张，PPT共四十二页，创作于2022年6月05.04.2023非线性有限元35小结小结 大变形问题有限元方法与弹塑性问题有限元方法都是在大变形问题有限元方法与弹塑性问题有限元方法都是在增量意增量意义上义上通过拟线性化，进而加以求解。通过拟线性化，进而加以求解
38、。但弹塑性问题有限元方法在确定弹塑性状态时还应当但弹塑性问题有限元方法在确定弹塑性状态时还应当进进行迭代或按优化问题行迭代或按优化问题处理，这点与接触问题类似。处理，这点与接触问题类似。所以，从方法上说，所以，从方法上说，弹塑性问题有限元方法包含了大变形弹塑性问题有限元方法包含了大变形问题有限元和接触问题有限元两类问题的所有特点。问题有限元和接触问题有限元两类问题的所有特点。第三十五张，PPT共四十二页，创作于2022年6月05.04.2023非线性有限元366.6.大变形问题的载荷处理大变形问题的载荷处理第三十六张，PPT共四十二页，创作于2022年6月05.04.2023非线性有限元37
39、载荷目前还没有考虑载荷目前还没有考虑重要区别重要区别TL法的载荷项：法的载荷项：UL法的载荷项：法的载荷项：体积力体积力表面力表面力第三十七张，PPT共四十二页，创作于2022年6月05.04.2023非线性有限元38 体积力的处理体积力的处理原则：原则：物体的重力在变形过程中保持不变。物体的重力在变形过程中保持不变。全量全量增量增量区别之处区别之处第三十八张，PPT共四十二页，创作于2022年6月05.04.2023非线性有限元39 表面力的处理表面力的处理 表面力的处理较为复杂，不但与构型变化有关，还与表面力的施加方表面力的处理较为复杂，不但与构型变化有关，还与表面力的施加方式有关。以常见
40、的集中力和均布力为例。式有关。以常见的集中力和均布力为例。1 1）集中力）集中力 第一种情形：第一种情形：集中力的方向在整个变形过程中保持不变；集中力的方向在整个变形过程中保持不变；第二种情形：第二种情形：集中力的方向与所作用表面的夹角不变。集中力的方向与所作用表面的夹角不变。全量全量增量增量可按表面分布力的特殊情形加以处理，详见下面的分析。可按表面分布力的特殊情形加以处理，详见下面的分析。第三十九张，PPT共四十二页，创作于2022年6月05.04.2023非线性有限元40 表面力的处理（续）表面力的处理（续）大变形分析中大变形分析中一般分布载荷一般分布载荷随变形的变化，是一个复杂的问题，随
41、变形的变化，是一个复杂的问题，很很难进行定量研究难进行定量研究。这里对。这里对均匀表面分布力均匀表面分布力随大变形的变化进行分析。随大变形的变化进行分析。2）表面分布力）表面分布力 全量全量增量增量原则：原则：不同时刻，这类载荷的合力一般保持不变。不同时刻，这类载荷的合力一般保持不变。（其它情形仿此进行）（其它情形仿此进行）在在 t 时刻：时刻：在在 时刻：时刻：近似处理后近似处理后第四十张，PPT共四十二页，创作于2022年6月05.04.2023非线性有限元41本章总结本章总结 由于发生了不可忽略的较大变形，大变形问题的分析更加困难，所涉及内容更加丰富。由于发生了不可忽略的较大变形，大变形
42、问题的分析更加困难，所涉及内容更加丰富。一般来说，相对于小变形问题，大变形分析具有以下一般来说，相对于小变形问题，大变形分析具有以下特点特点：1）应变定义发生了变化。）应变定义发生了变化。大变形问题的最鲜明特征就是描述应变位移的几何大变形问题的最鲜明特征就是描述应变位移的几何关系发生了变化。在一些特殊问题中，大变形并没有产生较大的应变，关系发生了变化。在一些特殊问题中，大变形并没有产生较大的应变，这类问题可略去几何关系中的高阶部分，但必须采用大变形分析方法。这类问题可略去几何关系中的高阶部分，但必须采用大变形分析方法。实际上，这种对几何关系简化处理，是经过对更一般的几何非线性关系实际上，这种对
43、几何关系简化处理，是经过对更一般的几何非线性关系检验后而确立的。检验后而确立的。2）构型发生了变化。）构型发生了变化。由于具有较大的变形（位移和由于具有较大的变形（位移和/或应变），大变形问题在不同时刻或应变），大变形问题在不同时刻其构型差异较大，必须区别对待其构型差异较大，必须区别对待。3）应力、应变描述发生了变化。）应力、应变描述发生了变化。由于不同时刻具有不同的构型，并且可以选由于不同时刻具有不同的构型，并且可以选取不同的参考构型，大变形问题中的应力描述、应变描述以及变分方程都发取不同的参考构型，大变形问题中的应力描述、应变描述以及变分方程都发生了相应的变化。生了相应的变化。第四十一张，PPT共四十二页，创作于2022年6月05.04.2023感谢大家观看第四十二张，PPT共四十二页，创作于2022年6月