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1、关于平面向量的基本定理及坐标表示课时第一张，PPT共四十二页，创作于2022年6月问题提出问题提出 1.1.向量加法与减法有哪几种几何运算法向量加法与减法有哪几种几何运算法则？则？2.2.怎样理解向量的数乘运算怎样理解向量的数乘运算a？（1 1）|a a|=|=|a a|；（2 2）0 0时，时，a与与a方向相同；方向相同；0 0时，时，a与与a方向相反；方向相反；=0=0时，时，a=0.=0.第二张，PPT共四十二页，创作于2022年6月3.3.平面向量共线定理是什么？平面向量共线定理是什么？4.4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为力为G G，下滑力为，下
2、滑力为F F1 1，木块对斜面的压，木块对斜面的压力为力为F F2 2，这三个力的方向分别如何？，这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？三者有何相互关系？G GF F1 1F F2 2非零向量非零向量a与向量与向量b共线共线 存在唯存在唯一实数一实数，使，使ba.第三张，PPT共四十二页，创作于2022年6月5.5.在物理中，力是一个向量，力的合成就在物理中，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算是向量的加法运算.力也可以分解，任何力也可以分解，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和不同方向的分力之和.将这种力的分解拓将这种力的分解
3、拓展到向量中来，就会形成一个新的数学理展到向量中来，就会形成一个新的数学理论论.第四张，PPT共四十二页，创作于2022年6月第五张，PPT共四十二页，创作于2022年6月探究（一）：探究（一）：平面向量基本定理平面向量基本定理 思考思考1 1：给定平面内任意两个向量给定平面内任意两个向量e1 1，e2 2，如何求作向量如何求作向量3 3e1 12 2e2 2和和e1 12 2e2 2？e1 1e2 22 2e2 2B BC CO O3 3e1 1A Ae1 1D D3 3e1 12 2e2 2e1 1-2-2e2 2第六张，PPT共四十二页，创作于2022年6月思考思考2 2：如图，设如图，
4、设OAOA，OBOB，OCOC为三条共点射为三条共点射线，线，P P为为OCOC上一点，能否在上一点，能否在OAOA、OBOB上分别上分别找一点找一点M M、N N，使四边形，使四边形OMPNOMPN为平行四边形为平行四边形？M MN NO OA AB BC CP P第七张，PPT共四十二页，创作于2022年6月思考思考3 3：在下列两图中，向量在下列两图中，向量不共线，能否在直线不共线，能否在直线OAOA、OBOB上分别找一点上分别找一点M M、N N，使，使？O OA AB BC CM MN NO OA AB BC CM MN N第八张，PPT共四十二页，创作于2022年6月思考思考4 4
5、：在上图中，设在上图中，设 =e1 1，=e2 2，=a，则向量，则向量 分别与分别与e1 1，e2 2的的关系如何？从而向量关系如何？从而向量a与与e1 1，e2 2的关系如的关系如何？何？O OA AB BC CM MN NO OA AB BC CM MN N第九张，PPT共四十二页，创作于2022年6月思考思考5 5：若上述向量若上述向量e1 1，e2 2，a都为定向量，都为定向量，且且e1 1，e2 2不共线，则实数不共线，则实数1 1，2 2是否存在？是否存在？是否唯一？是否唯一？O OA AB BC CM MN NO OA AB BC CM MN N第十张，PPT共四十二页，创作于
6、2022年6月思考思考6 6：若向量若向量a与与e1 1或或e2 2共线，共线，a还能用还能用1 1e1 12 2e2 2表示吗？表示吗？e1 1aa=1 1e1 1+0+0e2 2e2 2aa=0 0e1 1+2 2e2 2第十一张，PPT共四十二页，创作于2022年6月思考思考7 7：根据上述分析，平面内任一向量根据上述分析，平面内任一向量a都可以由这个平面内两个不共线的向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e1 1，e2 2表示出来，从而可形成一个定理表示出来，从而可形成一个定理.你能完你能完整地描述这个定理的内容吗？整地描述这个定理的内容吗？若若e1 1、e2 2是同一平面内的两个不共
7、线向量，则是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对，有且只有一对实数实数1 1，2 2，使，使a1e12e2.第十二张，PPT共四十二页，创作于2022年6月思考思考8 8：上述定理称为上述定理称为平面向量基本定理平面向量基本定理，不共线向量不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有叫做表示这一平面内所有向量的一组向量的一组基底基底.那么同一平面内可以作基那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量底的向量有多少组？不同基底对应向量a的的表示式是否相同？表示式是否相同？若若e1 1、e2 2是同一平面内的两个不共线向量，则对是
8、同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数，有且只有一对实数1 1，2 2，使，使a1e12e2.第十三张，PPT共四十二页，创作于2022年6月探究探究(二二):):平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示 00，180 180 思考思考1 1：不共线的向量有不同的方向，对不共线的向量有不同的方向，对于两个非零向量于两个非零向量a和和b，作，作 a，b，如图如图.为了反映这两个向量的位置关系，为了反映这两个向量的位置关系，称称AOBAOB为向量为向量a与与b的的夹角夹角.你认为向量你认为向量的夹角的取值范围应如何约定为宜？
9、的夹角的取值范围应如何约定为宜？baabA AB BO O第十四张，PPT共四十二页，创作于2022年6月思考思考2 2：如果向量如果向量a与与b的夹角是的夹角是9090，则称，则称向量向量a与与b垂直垂直，记作，记作ab.互相垂直的两互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？底？ba第十五张，PPT共四十二页，创作于2022年6月思考思考3 3：把一个向量分解为两个互相垂直的把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量向量，叫做把向量正交分解正交分解.如图，向量如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量是两个互相垂直的单位向量，向量a与与i
10、的夹的夹角是角是3030，且，且|a|=4|=4，以向量，以向量i、j为基底，向为基底，向量量a如何表示？如何表示？B BaiO OjA AP P第十六张，PPT共四十二页，创作于2022年6月思考思考4 4：在平面直角坐标系中，分别取与在平面直角坐标系中，分别取与x x轴、轴、y y轴轴方向相同的两个单位向量方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平作为基底，对于平面内的一个向量面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数且只有一对实数x x、y y，使得，使得 ax xiy yj.我们把我们把有序数对（有序数对（x x，y y）叫做向量）叫做向量a的
11、坐标，记作的坐标，记作a(x(x，y).y).其中其中x x叫做叫做a在在x x轴上的坐标，轴上的坐标，y y叫做叫做a在在y y轴轴上的坐标，上式叫做向量上的坐标，上式叫做向量的的坐标表示坐标表示.那么那么x x、y y的的几何意义如何？几何意义如何？aix xy yO Ojx xy y第十七张，PPT共四十二页，创作于2022年6月思考思考5 5：相等向量的坐标必然相等，作向相等向量的坐标必然相等，作向量量 a，则，则 (x(x，y)y)，此时点，此时点A A是坐是坐标是什么？标是什么？A Aaix xy yO OjA(x,y)A(x,y)第十八张，PPT共四十二页，创作于2022年6月理
12、论迁移理论迁移 例例1 1 如图，已知向量如图，已知向量e1 1、e2 2，求作向量，求作向量2.52.5e1 13 3e2 2.e1e2C CO OA A2.52.5e1 1B B3 3e2 2第十九张，PPT共四十二页，创作于2022年6月例例2 2 如图，写出向量如图，写出向量a，b，c，d的坐标的坐标.2452abcd4 252xyOa=(2,3)=(2,3)b=(-2,3)=(-2,3)c=(-2,-3)=(-2,-3)d=(2,-3)=(2,-3)第二十张，PPT共四十二页，创作于2022年6月 例例3 3 如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCDABCD中，中，=a，=b，E
13、 E、M M分别是分别是ADAD、DCDC的中点，的中点，点点F F在在BCBC上，且上，且BC=3BFBC=3BF，以，以a，b为基底分为基底分别表示向量别表示向量 和和 .A AB BE ED DC CF FM M第二十一张，PPT共四十二页，创作于2022年6月小结作业小结作业 1.1.平面向量基本定理是建立在向量加法平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理，同时又和数乘运算基础上的向量分解原理，同时又是向量坐标表示的理论依据，是一个承前起是向量坐标表示的理论依据，是一个承前起后的重要知识点后的重要知识点.2.2.向量的夹角是反映两个向量相对位置关向量的夹角是反映两
14、个向量相对位置关系的一个几何量，平行向量的夹角是系的一个几何量，平行向量的夹角是00或或180180，垂直向量的夹角是，垂直向量的夹角是90.90.第二十二张，PPT共四十二页，创作于2022年6月 3.3.向量的坐标表示是一种向量与坐标向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系，它使得向量具有代数意义的对应关系，它使得向量具有代数意义.将将向量的起点平移到坐标原点，则平移后向向量的起点平移到坐标原点，则平移后向量的终点坐标就是向量的坐标量的终点坐标就是向量的坐标.作业：作业：P102P102习题习题2.3B2.3B组：组：3 3，4.4.第二十三张，PPT共四十二页，创作于2022年6月2.3
15、.3 2.3.3 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算2.3.4 2.3.4 平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示第二十四张，PPT共四十二页，创作于2022年6月问题提出问题提出1.1.平面向量的基本定理是什么？平面向量的基本定理是什么？若若e1 1、e2 2是同一平面内的两个不共线向量，则对是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实，有且只有一对实数数1 1，2 2，使，使a1e12e2.2.2.用坐标表示向量的基本原理是什么？用坐标表示向量的基本原理是什么？设设i、j是与是与x x轴、轴、y y轴同向的两个单位向量，轴同向的两
16、个单位向量，若若axiyj，则，则a(x x，y y).).第二十五张，PPT共四十二页，创作于2022年6月3.3.用坐标表示向量，使得向量具有代数特征，用坐标表示向量，使得向量具有代数特征，并且可以将向量的几何运算转化为坐标运算，并且可以将向量的几何运算转化为坐标运算，为向量的运算拓展一条新的途径为向量的运算拓展一条新的途径.我们需要我们需要研究的问题是，研究的问题是，向量的和、差、数乘运算，向量的和、差、数乘运算，如何转化为坐标运算，对于共线向量如如何转化为坐标运算，对于共线向量如何通过坐标来反映等何通过坐标来反映等.第二十六张，PPT共四十二页，创作于2022年6月第二十七张，PPT共
17、四十二页，创作于2022年6月探究（一）：探究（一）：平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 思考思考1 1：设设i、j是与是与x x轴、轴、y y轴同向的两个单位轴同向的两个单位向量，若向量，若a=(x=(x1 1，y y1 1),),b=(x=(x2 2，y y2 2),),则则ax x1 1iy y1 1j，b bx x2 2iy y2 2j，根据向量的线性运算性，根据向量的线性运算性质，向量质，向量ab，ab，a（R）如何分）如何分别用基底别用基底i、j表示？表示？ab(x1x2)i(y1y2)j，ab(x1x2)i(y1y2)j，ax1iy1j.第二十八张，PPT共四十二页，创作于20
18、22年6月思考思考2 2：根据向量的坐标表示，向量根据向量的坐标表示，向量 ab，ab，a的坐标分别如何？的坐标分别如何？ab(x1x2，y1y2);ab(x1x2，y1y2);a(x1，y1).ab(x1x2)i(y1y2)j，ab(x1x2)i(y1y2)j，ax1iy1j.第二十九张，PPT共四十二页，创作于2022年6月思考思考3 3：如何用数学语言描述上述向量的坐如何用数学语言描述上述向量的坐标运算？标运算？两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；量相应坐标的和（差）；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原实数与向量的积的坐标
19、等于用这个实数乘原来向量的相应坐标来向量的相应坐标.ab(x1x2，y1y2);ab(x1x2，y1y2);a(x1，y1).第三十张，PPT共四十二页，创作于2022年6月o ox xy yB BA A思考思考4 4：如图如图,已知点已知点A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2)，那么向量那么向量 的坐标如何？一般地，一个的坐标如何？一般地，一个任意向量的坐标如何计算？任意向量的坐标如何计算？(x2x1，y2y1).任意一个向量的坐标等于表示该向量的有任意一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标向线段的终点坐标减去始点坐标.第三十一张，P
20、PT共四十二页，创作于2022年6月思考思考5 5：在上图中，如何确定坐标为在上图中，如何确定坐标为(x(x2 2x x1 1，y y2 2y y1 1)的点的点P P的位置？的位置？o ox xy yB BA AP(xP(x2 2-x-x1 1,y,y2 2-y-y1 1)第三十二张，PPT共四十二页，创作于2022年6月思考思考6 6：若向量若向量a=(x=(x，y)y)，则，则|a|如何计如何计算？若点算？若点A(xA(x1 1,y,y1 1)，B(xB(x2 2，y y2 2)，则，则 如何计算？如何计算？A Aax xy yO O第三十三张，PPT共四十二页，创作于2022年6月探究
21、（二）：探究（二）：平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示 思考思考1 1：如果向量如果向量a，b共线（其中共线（其中b0），），那么那么a，b满足什么关系？满足什么关系？思考思考2 2：设设a=(x1，y1),b=(x2，y2)，若向量若向量a，b共线（其中共线（其中b0），则这两个向量的坐），则这两个向量的坐标应满足什么关系？反之成立吗？标应满足什么关系？反之成立吗？ab.向量向量a，b（b0）共线共线 第三十四张，PPT共四十二页，创作于2022年6月ax xy yO ObA AB BC CD D思考思考3 3：如何用解析几何观点得出上述结如何用解析几何观点得出上述结论？论？向量向
22、量a，b（b0）共线共线 第三十五张，PPT共四十二页，创作于2022年6月思考思考4 4：已知点已知点P P1 1(x(x1 1，y y1 1)，P P2 2(x(x2 2，y y2 2)，若，若点点P P分别是线段分别是线段P P1 1P P2 2的中点、三等分点，如的中点、三等分点，如何用向量方法求点何用向量方法求点P P的坐标？的坐标？x xy yO OP P2 2P P1 1P PP PP P第三十六张，PPT共四十二页，创作于2022年6月思考思考5 5：一般地，若点一般地，若点P P1 1(x(x1 1，y y1 1)，P P2 2(x(x2 2，y y2 2)，点，点P P是直
23、线是直线P P1 1P P2 2上一点，且上一点，且 ，那么点，那么点P P的坐标有何计算公式？的坐标有何计算公式？x xy yO OP P2 2P P1 1P P第三十七张，PPT共四十二页，创作于2022年6月理论迁移理论迁移 例例1 1 已知已知a=(2,1),=(2,1),b=(=(3,4),3,4),求求 ab，ab，3a4b的坐标的坐标.ab(1，5)，ab(5，3)，3a4b(6，19).第三十八张，PPT共四十二页，创作于2022年6月 例例2 2 如图，已知如图，已知 ABCDABCD的三个顶点的的三个顶点的坐标分别是坐标分别是A A（-2-2，1 1）、）、B B（-1,3
24、-1,3）、）、C(3,4)C(3,4)，试求顶点，试求顶点D D的坐标的坐标.o ox xy yA AB BC CD D D D（2 2，2 2）第三十九张，PPT共四十二页，创作于2022年6月 例例3 3 已知向量已知向量a=(4=(4，2)2)，b=(6=(6，y),y),且且ab，求，求y y的值的值.y3 例例4 4 已知点已知点A(-1A(-1，-1)-1)，B(1B(1，3)3)，C(2C(2，5)5)，试判断，试判断A A、B B、C C三点是否共线？三点是否共线？，A A、B B、C C三点共线三点共线.第四十张，PPT共四十二页，创作于2022年6月小结作业小结作业1.1
25、.向量的坐标运算是根据向量的坐标表示向量的坐标运算是根据向量的坐标表示和向量的线性运算律得出的结论，它符合和向量的线性运算律得出的结论，它符合实数的运算规律，并使得向量的运算完全实数的运算规律，并使得向量的运算完全代数化代数化.2.2.对于两个非零向量共线的坐标表示，可对于两个非零向量共线的坐标表示，可借助斜率相等来理解和记忆借助斜率相等来理解和记忆.3.3.利用向量的坐标运算，可以求点的坐标，利用向量的坐标运算，可以求点的坐标，判断点共线等问题，这是一种向量方法，判断点共线等问题，这是一种向量方法，体现了向量的工具作用体现了向量的工具作用.第四十一张，PPT共四十二页，创作于2022年6月感谢大家观看第四十二张，PPT共四十二页，创作于2022年6月