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1、2.3.1 直线与平面所成的角复习引入复习引入1 1直线与平面垂直的定义直线与平面垂直的定义如果直如果直线线l l与与平面平面的的所有直线所有直线都垂直，我都垂直，我们就们就说直线说直线l l与平面与平面互相垂直，记作互相垂直，记作l.l.2 2直线与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的判定定理一条直线一条直线与一个平面内的与一个平面内的两条相交直线两条相交直线都垂直都垂直，则该直线与此平面垂直。则该直线与此平面垂直。无限无限有限有限转转 化化线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直转转 化化数学思想方法：转化的思想数学思想方法：转化的思想 一条直线一条直线PA和一个平面和一个平面相交，但相交，但不不和
2、这个平面和这个平面垂直垂直，这条，这条直线叫做这个平面的直线叫做这个平面的斜线斜线,斜线和平面的斜线和平面的交点交点A叫做斜足叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线垂线PO，过垂足，过垂足O和斜足和斜足A的直线的直线AO叫做斜线在这个叫做斜线在这个平面上的射影平面上的射影.PO斜线斜线垂线垂线垂足垂足斜足斜足A射影射影注意注意：（1）P点的任意性；点的任意性；（2）射影是过斜足和垂足的一条直线，而不是线段）射影是过斜足和垂足的一条直线，而不是线段 定义：定义：平面的一条平面的一条斜线和它斜线和它在平面上的在平面上的射影射影所成的锐角所成的锐角叫做叫做这条直线
3、和这个平面所成的角这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，它们一条直线垂直于平面，它们所成的所成的所成的所成的角是直角角是直角角是直角角是直角；一条直线和平面平行，或在；一条直线和平面平行，或在平面内，它们平面内，它们所成的角是所成的角是所成的角是所成的角是0 0 的角的角的角的角。直线和平面所成角的范围是直线和平面所成角的范围是0，90。直线与平面所成的角：直线与平面所成的角：典例精析典例精析D1 1ABA1 1CB1 1C1 1D例例1 1、如图，正方体如图，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，求中，求 (1)1)直线直线A A1 1B B和
4、平面和平面ABCDABCD所成的角所成的角（2 2）直线）直线A A1 1B B和平面和平面BCCBCC1 1B B1 1所成的角所成的角（3 3）直线）直线A A1 1B B和平面和平面A A1 1B B1 1CDCD所成的角所成的角。D1 1ABA1 1CB1 1C1 1D解:ABCD-A1B1C1D1是正方体是正方体 A1A面ABCD A1BA为直线A1B和平面和平面ABCD所成的角所成的角 在在RT A1BA中，A1A=AB A1BA=450所以直线所以直线A1B和平面和平面ABCD所成的角所成的角450 求线面成角的三步：求线面成角的三步：一作，二证，三计算一作，二证，三计算。例例1
5、 1、如图，正方体如图，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，求中，求(1)1)直线直线A A1 1B B和平面和平面ABCDABCD所成的角（所成的角（2 2）直线）直线A A1 1B B和平面和平面BCCBCC1 1B B1 1所成的角所成的角（3 3）直线）直线A A1 1B B和平面和平面A A1 1B B1 1CDCD所成的角。所成的角。A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1A AB BC CD DO知识应用知识应用例例1 1、如图，正方体如图，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，求中，求(1)1
6、)直线直线A A1 1B B和平面和平面ABCDABCD所成的角（所成的角（2 2）直线）直线A A1 1B B和平面和平面BCCBCC1 1B B1 1所成的角所成的角（3 3）直线）直线A A1 1B B和平面和平面A A1 1B B1 1CDCD所成的角。所成的角。关键就是如何作出平关键就是如何作出平面面A1B1CD的垂线的垂线分析：找出直线分析：找出直线A1B在平面在平面A1B1CD内的射影，内的射影，就可以求出就可以求出A1B和平面和平面A1B1CD所成的角所成的角解：连结BC1交B1C于点O，连结A1O，设正方体的棱长为a，A1B1 平面BCC1B1 A1B1BC1又 BC1B1C
7、，A1B1 B1C=B1BC1平面A1B1CD B A1O为A1B与平面A1B1CD所成的角.一作一作二证二证三计三计算算OABCDA1C1D1B1在RtA1BO中，A1B=a BO=a所以 BO=A1BBAO=30因此，直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30D1 1ABA1 1CB1 1C1 1D 练习练习 1.如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求中，求:（1）A1C1与面与面ABCD所成的角所成的角 （2）A1C1与面与面BB1D1D所成的角所成的角 （3）A1C1与面与面BB1C1C所成的角所成的角 （4）A1C1与面与面ABC1D1所成的角所成的角A1D1C1B
8、1ADCBA当堂练习00900450300例例2:如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形，是正方形，侧棱侧棱PD底面底面ABCD，PD=DC，E是是PC的中点的中点（1）证明：）证明：PA/面面EDB（2）求）求EB与底面与底面ABCD 所成角的正切值所成角的正切值PDCABEF2.已知三棱锥A-BCD中ABC=ABD=600 ,BA=BC=BD=1,CD=，求AB与平面BCD所成角ABCD归纳小结一作二证三计算一作二证三计算3 3数学思想方法：转化的思想数学思想方法：转化的思想空间问题空间问题平面问题平面问题2 2如何求线面角如何求线面角1.1.线面角的概念及范围线面角的概念及范围1.1.已知已知PAPA平面平面ABCD,ABCD,四边形四边形ABCDABCD为正方形，为正方形，PA=AB=1)PA=AB=1)(1)(1)求求PCPC和平面和平面ABCDABCD所成的角所成的角 (2)(2)求求PCPC和平面和平面PABPAB所成的角所成的角P PA AB BC CD D课后练习