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1、4.5.1 函数的零点与方程的解情境创设 观察这幅图，你发现了什么？观察这幅图，你发现了什么？感悟：我们要善于从不同的角度看问题！感悟：我们要善于从不同的角度看问题！对对y=x-1，从不同的角度，你有，从不同的角度，你有怎样的认识？怎样的认识？一次函数一次函数二元一次方程二元一次方程一条直线一条直线新知探究y=x-1 在在y=x-y=x-1 1中，中，如果令如果令y y=0=0，可求出，可求出x x=1=1，对，对 x x=1=1，怎样理解？，怎样理解？1方程方程x x-1=0-1=0的根的根 数数 函数函数y=xy=x-1-1的图象与的图象与x x轴公共点轴公共点的横坐标的横坐标 形形函数函
2、数y=xy=x-1-1的零点的零点 对对y y=x2-3x-4,从不同的角度从不同的角度,你你有怎样的认识？有怎样的认识？二次函数二次函数二元二次方程二元二次方程一条抛物线线一条抛物线线y y=x2-3x-4 在在y y=x2-3x-4 中中,如果令如果令y y=0=0，可求，可求出出x x=-1 或或x x=4对此，怎样理解？对此，怎样理解？方程方程x23x4=0 0的根的根 数数 函数函数y y=x2-3x-4的图象与的图象与x x轴公轴公共点的横坐标共点的横坐标 形形函数函数y y=x2-3x-4的零点的零点-1 或或4 使使 的的实数实数x叫做叫做函数函数 的的零点零点.函数函数 的零
3、点：的零点：函数零点定义1.y=x2-2x-3的零点是(-1,0),(3,0);2.函数y=x2-2x-3的零点是 =-1和 =3;判断下列语句是否正确：3.函数y=没有零点.注意：零点是一个数，注意：零点是一个数，而不是一个点！而不是一个点！自主探究 求下列二次函数的零点求下列二次函数的零点.合作探究二次函数的零点二次函数的零点 函数的图象函数的图象与与x x轴的公共点轴的公共点 方程方程函数函数函函数数的的图图象象方程的实数根方程的实数根x1=-1,x2=3x1=x2=1无实数根无实数根(-1,0)、(3,0)(1,0)无公共点无公共点xy01321121234.xy0132112543.
4、yx012112x22x+1=0 x22x+3=0y=x22x3 y=x22x+1x22x3=0y=x22x+3知识探究知识探究（一）（一）:函数的函数的零点零点与与方程的根方程的根及及图像图像的关系的关系函数的零点函数的零点x1=-1,x2=3无零点无零点x1=x2=1 判别式判别式=b2-4ac 0 0 0+bx+c(a0）的零点与相应）的零点与相应 一元二次方程的根的及图像关系如下一元二次方程的根的及图像关系如下:x=x1,x=x2 x=x1没有零点没有零点000 数的角度数的角度形的角度形的角度知识探究一 函数函数y y=f f(x x)的零点的零点就是方程就是方程f f(x x)=0
5、)=0的实数解；的实数解；函数函数y y=f f(x x)的零点的零点就是它的图象与就是它的图象与x x轴的公共点的横坐标轴的公共点的横坐标.求下列函数的零点：求下列函数的零点：解方程法求函数零点的步解方程法求函数零点的步骤：(1)令令f(x)=0 (2)解方程解方程f(x)=0 (3)写出零点写出零点练一练思考思考1.一元二次函数一元二次函数f(x)=x2+3x-4有零点吗有零点吗?思考思考2.函数函数 有零点吗有零点吗?知识探究二1.f(-2)=，f(1)=f(-2)f(1)0(填填“”或或“”或或“”)发现在区间发现在区间(2，4)上有零点上有零点 观察二次函数观察二次函数f(x)=x2
6、-2x-3图象图象 5-4x=-1 x=3-352xy013211212344发现发现在区间在区间a,b上，若上，若f(a)f(b)0,则在（则在（a,b）内有零点。）内有零点。思考思考3.函数函数y=f(x)满足满足 f(a)f(b)0,就一定没有零点吗？就一定没有零点吗？.这个定理得到的零点唯一吗？这个定理得到的零点唯一吗？（不唯一，至少有一个）（不唯一，至少有一个）.如果如果f(a)f(b)0,就一定没有零点吗？就一定没有零点吗？（不一定）（不一定）定理（1 1）f(a)f(b)0f(a)f(b)0则函数函数y=f(x)y=f(x)在区在区间(a,b)(a,b)内有零点。内有零点。（2
7、2）函数函数y=f(x)y=f(x)在区在区间(a,b)(a,b)内零点，内零点，则f(a)f(b)0f(a)f(b)0。（3 3）f(a)f(b)0 f(a)f(b)0，则函数函数y=f(x)y=f(x)在区在区间(a,b)(a,b)内只有一个零点。内只有一个零点。函数零点存在定理的三个注意点：函数零点存在定理的三个注意点：1 1 函数是连续的。函数是连续的。2 2 定理不可逆。定理不可逆。3 3 至少存在一个零点。至少存在一个零点。定理理解：判断正定理理解：判断正误y0 xxa a a ab b b b0y0yx错错错错错错解：用计算器或计算机作出解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应
8、值表和图象的对应值表和图象.4 1.30691.0986 3.3863 5.60947.79189.9459 12.079414.1972例例1：求函数：求函数f(x)=lnx+2x6的零点个数。的零点个数。123456789.x0246105y241086121487643219xf(x)求函数零点或零点个数的方法：求函数零点或零点个数的方法：(1)定义法定义法：解方程：解方程 f(x)=0，得出函数的，得出函数的零点。零点。(2)图象法图象法：画出：画出y=f(x)的图象，其图象的图象，其图象与与x轴的公共轴的公共点的横坐标。点的横坐标。(3)定理法定理法：函数零点存在性定理。：函数零点存
9、在性定理。求函数求函数f(x)=lnx+2x 6的零点的个数的零点的个数,还有那些方法还有那些方法?方程方程lnx+2xlnx+2x6 6=0 0根的个数根的个数方程方程lnxlnx=-2x+6-2x+6根的个数根的个数函数函数y y=lnxlnx与与y=-2x+6y=-2x+6图象公共点的图象公共点的的横坐标就是函数的零点的横坐标就是函数的零点函数函数f(x)f(x)=lnx+2xlnx+2x6 6的零点的个数的零点的个数等价于等价于等价于等价于等价于等价于等价于等价于等价于等价于等价于等价于知识探究三 例例1 求函数求函数 的零点个数的零点个数.21-1-2140yx3函数函数y y=ln
10、xlnx与与y=-2x+6y=-2x+6图象图象交点交点的个数的个数 探究三探究三:数形结合方法探讨方程的根的个数数形结合方法探讨方程的根的个数。求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数,还有那些方法?变式变式:求函数f(x)=2x+x-5,g(x)=x-的零点的个数,还有那些方法?总结总结:函数y=f(x)的零点 求两个简单函数的图象的公共点横坐标 方程f(x)=0的实数解1.一个定一个定义：一个定理：一个定理：课堂小结3.数学思想：数学思想：2.求函数零点或零点个数的方法：求函数零点或零点个数的方法：(1)解方程解方程 (2)函数函数图象象 (3)函数零点存在性定理函数零点存在性定理(4)数形数形结合法等合法等 函数的零点函数的零点 函数零点存在性定理函数零点存在性定理函数与方程、数形函数与方程、数形结合的思想合的思想