第六章计算全息(2009).ppt

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1、第六章第六章 计算全息计算全息什么叫计算全息什么叫计算全息 借助参考光，利用光的干涉原理，可以将物光的复振幅（振借助参考光，利用光的干涉原理，可以将物光的复振幅（振幅和相位）以干涉条纹的形式记录下来。我们可以称之为幅和相位）以干涉条纹的形式记录下来。我们可以称之为光学光学编码的方法编码的方法。如果我们不用光学的方法而是用如果我们不用光学的方法而是用人工的方法人工的方法进行编码制作全进行编码制作全 息图，这就是息图，这就是计算全息图计算全息图（Computer-generated Hologram).Computer-generated Hologram).作业6-1，6-3，6-4 查文献，编

2、写有关程序 计计算算全全息息图图不不仅仅可可以以全全面面地地记记录录光光波波的的振振幅幅和和相相位位，而而且且能能综综合合出出复复杂杂的的，或或者者世世间间根根本本不不存存在在的的物物体体的的全全息息图图，因因而而具具有有独独特特的的优优点点和和极极大大的的灵灵活活性性。从从光光学学发发展展的的历历史史来来看看，计计算算全全息息首首次次将将计计算算机机引引入入光光学学处处理理领领域域，计计算算全全息息图图成成为为数数字字信信息息和和光光学学信信息息之之间间有有效效的的联联系系环环节节，为为光光学学和和计计算算机机科科学的全面结合拉开了序幕。学的全面结合拉开了序幕。6.1.2 6.1.2 抽样定

3、理抽样定理 光学图象信息往往具有连续分布的特点，但是在实现信息光学图象信息往往具有连续分布的特点，但是在实现信息记录、存贮、发送和处理时，由于物理器件有限的信息容量，记录、存贮、发送和处理时，由于物理器件有限的信息容量，一个连续函数常常用它在一个一个连续函数常常用它在一个离散点集上离散点集上的函数值，即的函数值，即抽样值抽样值来表示。已知一个函数为来表示。已知一个函数为f f(x),(x),则其抽样值为则其抽样值为式中：式中：为抽样起始点，为抽样起始点，n n为抽样点序号，为抽样点序号，是抽样间隔是抽样间隔是是抽样值抽样值或抽样值序列。直观上，抽样间隔越小，则抽样或抽样值序列。直观上，抽样间隔

4、越小，则抽样序列越准确反映原来的连续函数。序列越准确反映原来的连续函数。但是抽样间隔越小，对于信息检测、传送、存贮和处理都提但是抽样间隔越小，对于信息检测、传送、存贮和处理都提出了更高的要求。如何选择一个合理的抽样间隔，以便做到出了更高的要求。如何选择一个合理的抽样间隔，以便做到既不既不 丢失信息，又不对检测、处理等过程提出过分的要求，丢失信息，又不对检测、处理等过程提出过分的要求，并由这样的值恢复一个连续函数呢？这些正是抽样定理所要并由这样的值恢复一个连续函数呢？这些正是抽样定理所要回答的问题。回答的问题。抽样是制作计算全息图的一个重要的不可少的步骤，而抽抽样是制作计算全息图的一个重要的不可

5、少的步骤，而抽样定理是计算全息技术中的重要理论基础之一。样定理是计算全息技术中的重要理论基础之一。1 1、函数的抽样、函数的抽样先看函数的抽样和复原的图解分析过程先看函数的抽样和复原的图解分析过程梳状函数的一些性质梳状函数的一些性质利用梳状函数对连续函数利用梳状函数对连续函数f(x,y)f(x,y)抽样，得抽样函数抽样，得抽样函数它是由它是由函数的阵列构成函数的阵列构成利用卷积定理得抽样函数的频谱利用卷积定理得抽样函数的频谱结论：函数在空间域被抽样，导致函数频谱结论：函数在空间域被抽样，导致函数频谱的周期性重复。的周期性重复。在频域在频域结论：函数在空间域被抽样，导致函数频谱结论：函数在空间域

6、被抽样，导致函数频谱的周期性重复。的周期性重复。在频域在频域空间域空间域 的抽样间隔是的抽样间隔是和和,空间频谱被重复的频谱中空间频谱被重复的频谱中心间距为心间距为和和设设f(x,y)f(x,y)是有限带宽函数，其频谱在空间频域的一个有限区域上是有限带宽函数，其频谱在空间频域的一个有限区域上不为零。不为零。方向上的谱的宽度分别为方向上的谱的宽度分别为由抽样过程示意图可知当由抽样过程示意图可知当中的各个频谱就不会出现中的各个频谱就不会出现混叠混叠现象，这样就有可能用现象，这样就有可能用滤波的方法从滤波的方法从中分离出原函数的频谱中分离出原函数的频谱再由再由恢复原函数。恢复原函数。因而能由抽样值还

7、原原函数的条件是因而能由抽样值还原原函数的条件是（1 1）是限带函数是限带函数（2 2）在）在x x方向和方向和y y方向抽样点最大允许方向抽样点最大允许 间间 隔为隔为和和称为称为奈魁斯特间隔奈魁斯特间隔。抽样定理的另一种表达为：抽样定理的另一种表达为：一个有限带宽的函数，它没有频率在一个有限带宽的函数，它没有频率在以上的频谱分量，则该函数可以由一系列间隔小于以上的频谱分量，则该函数可以由一系列间隔小于和和的抽样值的抽样值唯一唯一地确定。地确定。2 2、函数的还原、函数的还原将抽样函数作为输入，加到一个低通滤波器上，只要抽样函数将抽样函数作为输入，加到一个低通滤波器上，只要抽样函数 的频谱不

8、产生混叠，总可以选择一个适当的滤波函数，使的频谱不产生混叠，总可以选择一个适当的滤波函数，使中，中，n=0,m=0n=0,m=0的项无畸变地通过，而滤去其它各项，这时滤波的项无畸变地通过，而滤去其它各项，这时滤波器的输出就是复原的原函数，这一过程可由下面框图示意。器的输出就是复原的原函数，这一过程可由下面框图示意。低通滤波器低通滤波器若选矩形函数为滤波函数若选矩形函数为滤波函数则则这一频域的滤波过程，可以等效于空域中的卷积运算这一频域的滤波过程，可以等效于空域中的卷积运算惠特克惠特克香农（香农（Whittaker-Shannon)Whittaker-Shannon)抽样定理抽样定理取取它表明了

9、只要抽样间隔满足它表明了只要抽样间隔满足则在每一个抽样点上放置一个以则在每一个抽样点上放置一个以抽样值为权重的抽样值为权重的sincsinc函数函数 为内插函数，由这些加权的为内插函数，由这些加权的sincsinc函数的线性组合可复原原函数的线性组合可复原原函数。函数。由以上讨论可知，由抽样函数还原原函数有两条途径由以上讨论可知，由抽样函数还原原函数有两条途径（1 1）频域滤波）频域滤波（2 2）空域插值）空域插值严严格格说说来来，频频带带有有限限的的函函数数在在物物理理上上并并不不存存在在，一一个个有有限限宽宽度度的的函函数数，其其频频谱谱范范围围总总是是扩扩展展到到无无穷穷。但但表表征征大

10、大多多数数物物理理量量的的函函数数，其其频频谱谱在在频频率率高高到到一一定定程程度度时时总总是是大大大大减减小小，以以致致于于略略去去高高频频分分量量所所引引入入的的误误差差是是可可以以允允许许的的。实实际际上上，信信号号的的检检测测、传传递递过过程程采采用用的的仪仪器器都都是是有有限限通通频频带带宽宽的的。所所以以很很多多物物理理量量函函数数都都可可视视为为有有限限带带宽宽函函数数，从从而而可用离散的抽样序列代替。可用离散的抽样序列代替。上述抽样定理的过程可以用下面的光学过程来说明上述抽样定理的过程可以用下面的光学过程来说明如如图，物函数图，物函数f(x,y)f(x,y)是透明片是透明片T

11、T字的透过率函数，在傅里叶变换字的透过率函数，在傅里叶变换平面上平面上T T字的谱是一组衍射斑点。对于字的谱是一组衍射斑点。对于f(x,y)f(x,y)抽样，相当于在抽样，相当于在T T字处加一个光栅，光栅间距应满足抽样定理。这时在谱面上出字处加一个光栅，光栅间距应满足抽样定理。这时在谱面上出现许多组的衍射斑点。如果在谱面上加一个单缝，只允许中间现许多组的衍射斑点。如果在谱面上加一个单缝，只允许中间一组通过，则像面上的一组通过，则像面上的T T字没栅格，与原物相同。字没栅格，与原物相同。空间滤波之网络水演示空间滤波之网络水演示.6.1.2 6.1.2 计算全息图的制作程序计算全息图的制作程序一

12、般计算全息的制作过程分为五步一般计算全息的制作过程分为五步（1 1）抽样（）抽样（2 2）计算（）计算（3 3）编码（）编码（4 4）绘制和缩小（）绘制和缩小（5 5）再现）再现以下是傅里叶变换全息图的制作流程以下是傅里叶变换全息图的制作流程数学函数数学函数抽样得离散抽样得离散样点分布样点分布离散傅里叶变换离散傅里叶变换离散傅里叶变离散傅里叶变换谱换谱编码编码全息透过全息透过率函数率函数绘图绘图照相缩版照相缩版计算全息图计算全息图再现再现像像一、抽样点数与空间带宽积一、抽样点数与空间带宽积设设平面物体的大小为平面物体的大小为在在x,yx,y方向的抽样间距为方向的抽样间距为根据抽样定理根据抽样定

13、理取取等号，有等号，有一个抽样单元一个抽样单元制作一个全息图所需的抽样点数为制作一个全息图所需的抽样点数为称为空间带宽积称为空间带宽积它是它是物体所具有的物体所具有的信息量信息量的量度，利用它可以方便地确定的量度，利用它可以方便地确定制作计算全息图时所需要的抽样点的总数。如图像的尺寸制作计算全息图时所需要的抽样点的总数。如图像的尺寸是是40mm40mm 40mm,40mm,最高空间频率最高空间频率图像的空间带宽积图像的空间带宽积对对这样的图像制作全息图时，其抽样点数是这样的图像制作全息图时，其抽样点数是下面以傅里叶变换全息图为例加以讨论下面以傅里叶变换全息图为例加以讨论设设平面物体的大小为平面

14、物体的大小为，在，在x,yx,y方向的抽样间距为方向的抽样间距为抽样单元分别为抽样单元分别为J J个和个和K K个。个。这样离散的物光波函数可以写成这样离散的物光波函数可以写成为为单元的序数单元的序数取取二、离散傅里叶变换。二、离散傅里叶变换。在在确定了抽样数和抽样间距以后，需要将确定了抽样数和抽样间距以后，需要将计算出来。为此，我们要将连续傅里叶变换，变成离散的傅里叶计算出来。为此，我们要将连续傅里叶变换，变成离散的傅里叶变换。变换。在一维的在一维的情况下情况下空域插值空域插值代入上式得代入上式得利用利用和平移不变定理和平移不变定理代入上式代入上式在谱在谱平面上的抽样情况与物面上类似，其抽样

15、间隔可分别取为平面上的抽样情况与物面上类似，其抽样间隔可分别取为对于一个抽样点来说对于一个抽样点来说对于二维情况对于二维情况 有有不不考虑前面的常系数，则考虑前面的常系数，则这这就是离散傅里叶变换。每作一次变换涉及到大量计算。就是离散傅里叶变换。每作一次变换涉及到大量计算。19651965年库列年库列图基图基(Cooley-(Cooley-TukeyTukey)提出矩阵分解提出矩阵分解 的新算的新算法，也就是法，也就是快速傅里叶快速傅里叶(FFT)(FFT)变换算法变换算法，大大缩短了计算时间，大大缩短了计算时间，才使二维图形的离散傅里叶变换在实际上成为可能，快速傅才使二维图形的离散傅里叶变换

16、在实际上成为可能，快速傅里叶变换算法的程序可以各种语言版本中找到，使用时直接里叶变换算法的程序可以各种语言版本中找到，使用时直接调用相应的库函数就可以了。调用相应的库函数就可以了。通常是复数，可以记为通常是复数，可以记为(请用请用MATLABMATLAB编写二维编写二维FFTFFT）三、计算全息的编码方法三、计算全息的编码方法 “编码编码”在通信中的意义是指把输入信息变换为信道上传在通信中的意义是指把输入信息变换为信道上传送的信号的过程。在计算全息中输入信息是待记录的光波的复送的信号的过程。在计算全息中输入信息是待记录的光波的复振幅，而中间的传递介质是全息图，振幅，而中间的传递介质是全息图，其

17、信息特征是全息图上的其信息特征是全息图上的透过率的变化透过率的变化，因此将二维光场复振幅分布变换为全息图的二，因此将二维光场复振幅分布变换为全息图的二维透过率函数分布的过程，称为维透过率函数分布的过程，称为计算全息的编码计算全息的编码。由于成图设备的输出大多只能是实值非负函数，因此编码由于成图设备的输出大多只能是实值非负函数，因此编码问题归结为将问题归结为将二维离散二维离散复值函数变换为二维复值函数变换为二维离散实值函数离散实值函数问问题。而且这种转换能够在再现阶段完成其逆转换，从二维离题。而且这种转换能够在再现阶段完成其逆转换，从二维离散实值函数恢复二维复值函数。散实值函数恢复二维复值函数。

18、将复值函数变换为实值非负函数的编码方法可以归纳为两大类将复值函数变换为实值非负函数的编码方法可以归纳为两大类 第第一种方法是把一个复值函数表示为两个实值非负函数一种方法是把一个复值函数表示为两个实值非负函数，例如，例如用用振幅振幅和和相位相位两个实参数表示一个复数，分别对振幅和相位进两个实参数表示一个复数，分别对振幅和相位进行编码。行编码。第二种方法是第二种方法是仿照光学全息仿照光学全息的办法，如引入离轴参考光，通的办法，如引入离轴参考光，通过和物光波的干涉产生干涉条纹的强度分布，成为实值非负函过和物光波的干涉产生干涉条纹的强度分布，成为实值非负函数，因此每个样点都是实的非负值，可以直接用实参

19、数来表示数，因此每个样点都是实的非负值，可以直接用实参数来表示1 1、迂回相位编码方法、迂回相位编码方法（1 1）罗曼型）罗曼型 对对光光波波的的振振幅幅进进行行编编码码比比较较容容易易，它它可可以以通通过过控控制制全全息息图图上上抽抽样样单单元元的的透透过过率率或或开开孔孔面面积积来来实实现现。对对于于光光波波的的相相位位编编码码则则比比较较困困难难，虽虽然然原原则则上上可可以以使使光光波波通通过过一一个个具具有有二二维维分分布布的的相相位位板板，但但这这在在技技术术上上十十分分困困难难。罗罗曼曼根根据据不不规规则则光光栅栅的的衍衍射射效效应应，成成功功地地提提出出了了迂迂回回相相位位编码的

20、方法。编码的方法。方向上相邻光线的光程差为方向上相邻光线的光程差为相位差为相位差为级级衍射波衍射波这时在这时在方向上方向上观察光栅的衍射光波，是一个平面波，观察光栅的衍射光波，是一个平面波，可以认为波面上各点光波振动的相位相可以认为波面上各点光波振动的相位相同同,设为设为问题：如果光栅的栅距有误差问题：如果光栅的栅距有误差,如在如在某一位置处栅距增大了某一位置处栅距增大了这时在这时在方向观察的衍射波是否方向观察的衍射波是否还是平面波？还是平面波？相邻光线的光程差为相邻光线的光程差为方向的衍射光波在该方向的衍射光波在该位置处引入的相应相位延迟位置处引入的相应相位延迟级级衍射波衍射波迂回相位迂回相

21、位迂回相位的值与栅距的偏移量和衍射级次迂回相位的值与栅距的偏移量和衍射级次成正比，而与入射光波的波长无关。成正比，而与入射光波的波长无关。设设光栅透光位置用标号光栅透光位置用标号i i标示，则标示，则级级衍射波衍射波迂回相位效应给予我们的提示：迂回相位效应给予我们的提示：通过通过局部改变光栅栅距局部改变光栅栅距的办的办法，可以在某个衍射方向得法，可以在某个衍射方向得到我们所需用要的相位调制。到我们所需用要的相位调制。不考虑均匀相位延迟不考虑均匀相位延迟下面我们对一复值函数进行振幅下面我们对一复值函数进行振幅和相位编码和相位编码假定全息图共假定全息图共MM NN个抽样单元，待记录的复振幅的样点值

22、为个抽样单元，待记录的复振幅的样点值为式中式中是归一化是归一化振幅振幅第第单元单元如如图，首先在全息图每个抽样单元内放置一个图，首先在全息图每个抽样单元内放置一个矩形矩形通光孔，通通光孔，通过改变光孔径的面积来编码复数波面的过改变光孔径的面积来编码复数波面的振幅振幅，其次改变通光孔，其次改变通光孔径径中心中心与抽样与抽样单元中心单元中心的位置来编码相位。设矩形的宽度的位置来编码相位。设矩形的宽度不变，矩形孔径的高度是不变，矩形孔径的高度是与归一化与归一化振幅成正比。振幅成正比。是孔径中心与抽样单元中心的距离，与抽样点的相位成正比是孔径中心与抽样单元中心的距离，与抽样点的相位成正比因此，孔径参数

23、与复值函数的关系如下因此，孔径参数与复值函数的关系如下 根据上面方法确定了每个单元开孔尺寸和位置后，就可以根据上面方法确定了每个单元开孔尺寸和位置后，就可以用计算机控制用计算机控制绘图仪绘图仪产生产生原图原图，再经过，再经过缩版缩版得得到计算全息图到计算全息图。由于在迂回相位编码方法中，全息图的透过率只有由于在迂回相位编码方法中，全息图的透过率只有0 0和和1 1两个两个值，故制作简单，噪声低，抗干扰能力强，并可多次复制而值，故制作简单，噪声低，抗干扰能力强，并可多次复制而不失真，因而应用较为广泛。不失真，因而应用较为广泛。绘制全息图绘制全息图 计算全息图的再现方法计算全息图的再现方法与光学全

24、息相似，仅在某个特定的衍射与光学全息相似，仅在某个特定的衍射级次上才能再现我们所期望的波前。下图是计算傅里叶变换全级次上才能再现我们所期望的波前。下图是计算傅里叶变换全息图的再现光路，当用平行光垂直照明全息图时，在透射光场息图的再现光路，当用平行光垂直照明全息图时，在透射光场中沿某一特定衍射方向的分量波将再现物光波的中沿某一特定衍射方向的分量波将再现物光波的傅里叶变换傅里叶变换，而直接透过分量具有平面波前，并且在另一侧的衍射分量将再而直接透过分量具有平面波前，并且在另一侧的衍射分量将再现物谱的共轭光波。于是经过透镜现物谱的共轭光波。于是经过透镜L L进行逆傅里叶变换后，输出进行逆傅里叶变换后，

25、输出平面中心是一个亮点，两边是正、负一级像和平面中心是一个亮点，两边是正、负一级像和高级次的像高级次的像。书上书上P175P175给出了迂回相位编码的计算傅里叶变换全息图。给出了迂回相位编码的计算傅里叶变换全息图。clc;clearA=zeros(128);A(45:50,50:70)=1;A(45:80,50:55)=1;A(75:80,50:70)=1;A(60:65,50:65)=1;b=A;imshow(b,notruesize)%0 1间的随机化矩阵间的随机化矩阵 a=rand(128,128);aa=exp(i*2*pi*a);AA=double(b).*aa;Afft2=ffts

26、hift(fft2(AA);%将变换后的高频移至中心将变换后的高频移至中心A1=abs(Afft2);%物函数图的傅立叶变换后的频谱的幅值物函数图的傅立叶变换后的频谱的幅值B2=angle(Afft2)/(2*pi);%得到归一化的频谱的相位得到归一化的频谱的相位A1max=max(A1(:);%得到了归一化的频谱幅值得到了归一化的频谱幅值A1=A1/A1max;%s=128;N=128;%绘图尺寸设置绘图尺寸设置swidth=s/N;sheight=swidth;%设置抽样单元的宽度与高度设置抽样单元的宽度与高度rwidth=swidth/2;%对每一个抽样单元编码，设置抽样单元内放置的矩形

27、孔径的尺寸对每一个抽样单元编码，设置抽样单元内放置的矩形孔径的尺寸,rwidth=w*swidth,rheight=A1*sheight,孔径中心与单元中心距离为孔径中心与单元中心距离为dextra=B2*swidth/k,k为衍射级数，为衍射级数，取为取为1%从左上角建立坐标系，设置抽样单元起始纵横坐标从左上角建立坐标系，设置抽样单元起始纵横坐标swidth/2;sheight/2;figure;set(gcf,color,w)axis(0 N 0 N);hold on;for j=1:N sy0=sheight/2+(j-1)*sheight;%抽样单元纵坐标抽样单元纵坐标 for i=1

28、:N sx0=swidth/2+(i-1)*swidth;%抽样单元横坐标抽样单元横坐标,是以抽样单元中心为该单是以抽样单元中心为该单 rheight=A1(j,i)*sheight;dextra=B2(j,i)*swidth;if abs(dextra)1/4*swidth rx0=sx0+dextra-rwidth/2;rx1=sx0+swidth/2;ry0=sy0-rheight;ry1=sy0+rheight/2;fill(rx0 rx0 rx1 rx1,ry0 ry1 ry1 ry0,k);rx00=sx0-swidth/2;rx11=sx0+dextra+rwidth/2-swi

29、dth;fill(rx00 rx00 rx11 rx11,ry0 ry1 ry1 ry0,k);else rx0=sx0-swidth/2;rx1=sx0+dextra+rwidth/2;ry0=sy0-rheight;ry1=sy0+rheight/2;fill(rx0 rx0 rx1 rx1,ry0 ry1 ry1 ry0,k);rx00=sx0+dextra-rwidth/2+swidth;rx11=sx0+swidth/2;fill(rx00 rx00 rx11 rx11,ry0 ry1 ry1 ry0,k);end end end end axis equal axis off 请画

30、出三种情况的开孔的位置请画出三种情况的开孔的位置?再现的程序再现的程序?%saveas(gcf,e.bmp);x=imread(e.bmp);figure,imshow(log(abs(fftshift(fft2(x),)作业作业6-16-1，6-36-3，6-4 6-4 查文献，编写有关程序查文献，编写有关程序（2 2）四阶）四阶迂回相位编码方法迂回相位编码方法第第单元单元如图如图将一个全息图的单元沿将一个全息图的单元沿x x方向分为四等分，各部分的相位方向分为四等分，各部分的相位分别是分别是0 0，这样，一个样点的复振幅用四个子样点发出这样，一个样点的复振幅用四个子样点发出的分量波合成来表

31、示。的分量波合成来表示。对于一个样点，对于一个样点，四个四个分量中只有两个分量为非零值分量中只有两个分量为非零值因此，要描述一个样点的复振幅，只需要在两个子单元中用开孔因此，要描述一个样点的复振幅，只需要在两个子单元中用开孔大小或灰度等级来表示就行了。大小或灰度等级来表示就行了。6.2.3 6.2.3 修正离轴参考光的编码方法修正离轴参考光的编码方法 迂回相位编码方法是用抽样单元矩形孔的两个结构参数迂回相位编码方法是用抽样单元矩形孔的两个结构参数,分别分别编码样点处的振幅和相位编码样点处的振幅和相位.如果如果模拟光学离轴全息模拟光学离轴全息的方法的方法,在计算在计算机中实现光波复振幅分布与一虚

32、拟的离轴参考光叠加机中实现光波复振幅分布与一虚拟的离轴参考光叠加,使全息图使全息图平面上待记录的复振幅分布转换成强度分布平面上待记录的复振幅分布转换成强度分布,就避免了相位编码就避免了相位编码问题问题.这时只要在全息图单元上用这时只要在全息图单元上用开孔面积开孔面积或或灰度灰度变化来编码这变化来编码这个实的非负函数个实的非负函数,即可完成编码即可完成编码.设待记录的物光波复振幅为设待记录的物光波复振幅为f(x,y),f(x,y),离轴的平面参考光波为离轴的平面参考光波为R(x,y),R(x,y),即即6.2.3 6.2.3 修正离轴参考光的编码方法修正离轴参考光的编码方法 在线性记录条件下在线

33、性记录条件下,并忽略一些不重要的常数因子并忽略一些不重要的常数因子,光学离光学离 轴轴全息的透过率函数为全息的透过率函数为 在在透透过过率率函函数数 所所包包含含的的三三项项中中,第第三三项项通通过过对对余余弦弦型型条条纹纹的的振振幅幅和和相相位位调调制制,记记录录了了物物光光波波的的全全部部信信息息.第第一一二二项项是是这这种种光光学学全全息息方方法法不不可可避避免免地地伴伴生生的的,除除了了其其中中均均匀匀偏偏置置分分量量使使h(x,y)h(x,y)为为实实的的非非负负函函数数的的目目的的外外,它它们们只只是是占占用用信信息息通通道道,从物波信息传递的从物波信息传递的角度来说角度来说,完全

34、是多余的完全是多余的.从光学全息形成的过程来看从光学全息形成的过程来看,第一、二项是不可避免地伴生第一、二项是不可避免地伴生的，但是计算机制作全息图的灵活性，使人们在做计算全息的，但是计算机制作全息图的灵活性，使人们在做计算全息时，可以人为地将它们去掉而重新构造全息函数，即所谓的时，可以人为地将它们去掉而重新构造全息函数，即所谓的修正型离轴全息函数。修正型离轴全息函数。式中式中A(x,y)A(x,y)是归一化振幅。是归一化振幅。下面我们从频域来理解下面我们从频域来理解光学离轴全息光学离轴全息函数和修正型离轴全息函函数和修正型离轴全息函数的差别。数的差别。a a、物波的、物波的空间频谱空间频谱b

35、 b光学全息图的空间频谱光学全息图的空间频谱c c光学全息图抽样后的频谱光学全息图抽样后的频谱图图b b是光学离轴全息图的空间频谱，中间的大矩形是是光学离轴全息图的空间频谱，中间的大矩形是的自的自相关频率成分。为了避免这些分量在频率域中的重叠，要求相关频率成分。为了避免这些分量在频率域中的重叠，要求载频载频如果直接对光学全息图函数进行抽样制作计算全息图，则根据如果直接对光学全息图函数进行抽样制作计算全息图，则根据抽样定理，其抽样间隔必须为抽样定理，其抽样间隔必须为其其计算全息图的空间频谱如图计算全息图的空间频谱如图C C,它是它是 光学离轴全息图光学离轴全息图 频谱的频谱的 周期性重复。周期性

36、重复。由于修正后的全息函数已经去掉了由于修正后的全息函数已经去掉了项，所以在频率项，所以在频率域中自相关项的频率成分已不存在，域中自相关项的频率成分已不存在，只有代表物波频率成分的只有代表物波频率成分的两个矩形和直流项的频率成分两个矩形和直流项的频率成分函数。如图函数。如图d d所所示。示。d d、修正型离轴全息函数空间频谱修正型离轴全息函数空间频谱e e、修正型离轴全息函数抽样后的频谱修正型离轴全息函数抽样后的频谱 由上图可知，对修正离轴全息函数抽样制作计算全息图时，由上图可知，对修正离轴全息函数抽样制作计算全息图时，其抽样间隔是其抽样间隔是 于是总的抽样点数就降为原为的于是总的抽样点数就降

37、为原为的1/41/4，这时计算全息图的频，这时计算全息图的频谱如图谱如图e e 应该指出，载频在全息图上的表现形式是余弦型条纹的间距，应该指出，载频在全息图上的表现形式是余弦型条纹的间距，这与光学全息是相同的，但光学离轴全息函数与我们构造的修这与光学全息是相同的，但光学离轴全息函数与我们构造的修正离轴全息函数的频谱结构不同，因此载频也不同。选取载频正离轴全息函数的频谱结构不同，因此载频也不同。选取载频的目的是保证全息函数在频域中的目的是保证全息函数在频域中各分量不混叠各分量不混叠。对全息函数进。对全息函数进行抽样是制作计算全息图的要求，抽样间隔必须保证全息函数行抽样是制作计算全息图的要求，抽样

38、间隔必须保证全息函数的的整体频谱整体频谱（包括各个结构分量）（包括各个结构分量）不混叠不混叠，两个概念是不同的。，两个概念是不同的。但但是是由由于于加加进进了了偏偏置置分分量量，增增加加了了记记录录的的全全息息图图的的空空间间带带宽宽积积，因因此此增增加加了了抽抽样样点点数数。一一般般来来说说，物物波波函函数数的的信信息息容容量量越越大大，抽抽样样点点数数就就越越多多，对对于于任任 一一种种编编码码方方法法都都不不能能违违背背抽抽样样定定理理的的，正正如如前前面面所所述述，避避免免了了对对相相位位的的编编码码，但但又又以以增加抽样点数为代价。增加抽样点数为代价。说说明明：上上述述以以常常量量为

39、为偏偏置置项项的的全全息息图图是是博博奇奇19661966年年提提出出的的，称称为为博博奇奇全全息息图图。由由于于计计算算机机处处理理的的灵灵活活性性，偏偏置置项项还还可可以以采采用用其其它它形形式式。加加进进偏偏置置项项的的目目的的是是使使全全息息函函数数变变成成实实值值非非负负函函数数，每每个个样样点点都都是是实实的的非非负负值值，因因此此不不存存在在相相位位编编码码问问题，比同时对振幅和相位编码的方法简便。题，比同时对振幅和相位编码的方法简便。由由于于每每个个样样点点都都是是实实的的非非负负值值，因因此此在在制制作作全全息息图图时时，只只需需要要在在每每个个单单元元中中用用开开孔孔大大小

40、小或或灰灰度度等等级级来来表表示示这这个个实实的的非非负负值值就行了。就行了。6.4 6.4 计算像面全息计算像面全息 计算像面全息与傅里叶变换全息不同之处仅在于被记录的计算像面全息与傅里叶变换全息不同之处仅在于被记录的复数波面是复数波面是物波函数物波函数本身，或者是物波的本身，或者是物波的像场分布像场分布，因此只，因此只要对物波函数进行抽样和编码。同样可以采用多种方法对物要对物波函数进行抽样和编码。同样可以采用多种方法对物波函数进行编码。下图是像面全息的再现示意图。波函数进行编码。下图是像面全息的再现示意图。6.5 6.5 计算全息干涉图计算全息干涉图 我们知道我们知道,光学记录的全息图是一

41、种两束光的干涉条纹光学记录的全息图是一种两束光的干涉条纹,如果用人工的方法把干涉如果用人工的方法把干涉(指亮纹和暗纹指亮纹和暗纹)的位置计算出来的位置计算出来,再用绘图机绘制再用绘图机绘制,经过精缩以后就是一幅全息图经过精缩以后就是一幅全息图.这种黑白这种黑白条纹条纹,通过精缩成为透明与不透明相间的条纹胶片通过精缩成为透明与不透明相间的条纹胶片,就称为就称为计算计算二元全息图二元全息图.实际上这种二元全息图与实际上这种二元全息图与过曝光过曝光非线性记非线性记录的光学全息图是非常相似的录的光学全息图是非常相似的.6.5 6.5 计算全息干涉图计算全息干涉图 计算过程可模拟为一个非线性限幅器运算来

42、完成计算过程可模拟为一个非线性限幅器运算来完成,其工作原理其工作原理的框图如下图所示的框图如下图所示.输入函数输入函数偏置函数偏置函数输入输入输出输出输入输入输出输出输出的是二元函数输出的是二元函数,其宽度为其宽度为qTqT的矩形脉冲的矩形脉冲,它可以展开成傅它可以展开成傅里叶级数里叶级数输入输入输出输出如果限幅器的输入为如果限幅器的输入为偏置函数偏置函数其中其中分别是物光波的振幅和相位函数分别是物光波的振幅和相位函数其其输入输出波形如下图所示输入输出波形如下图所示.这时输出脉冲宽度受到这时输出脉冲宽度受到q(x,y),q(x,y),即即A(x,y)A(x,y)的调制的调制,输出脉冲的位置受到

43、输出脉冲的位置受到的的调制调制.输入输入输出输出输出的二元函数的一般形式是输出的二元函数的一般形式是当用当用单位振幅的平面波垂直照射全息图时，透过光波就是上式单位振幅的平面波垂直照射全息图时，透过光波就是上式二元全息函数。我们只对二元全息函数。我们只对m=1m=1或或m=-1m=-1感兴趣，取感兴趣，取m=-1,m=-1,于于是有是有如果限幅器的输入为如果限幅器的输入为则则透射光波透射光波+1+1级级衍射项将再现原来的物光波。衍射项将再现原来的物光波。上式表明，透射光波的上式表明，透射光波的-1-1级衍射项完全再现了物光波级衍射项完全再现了物光波其中线性相位项其中线性相位项作为载波给出了再现物

44、光波作为载波给出了再现物光波的传播方向的传播方向6.5.2 6.5.2 二元全息干涉图的制作二元全息干涉图的制作 二元全息函数的取值为二元全息函数的取值为0 0或或1 1，为了利用计算机控制绘图仪，为了利用计算机控制绘图仪制作全息干涉图，只需要确定二元全息函数制作全息干涉图，只需要确定二元全息函数h(x,y)h(x,y)由由0 01 1或由或由1 10 0的的边界点边界点的坐标位置，这样，满足方程的坐标位置，这样，满足方程的的点就构成了二元全息干涉图的画线边界，也即是点就构成了二元全息干涉图的画线边界，也即是其中其中-表示表示h(x,y)h(x,y)由由0-10-1的前沿点的前沿点,+,+表示

45、由表示由1-01-0的后沿点的后沿点的的条纹，其坐标应满足方程条纹，其坐标应满足方程上上面面两两个个方方程程确确定定了了计计算算全全息息干干涉涉图图上上条条纹纹的的位位置置和和形形状状。求求解解基基本本方方程程并并确确定定画画线线边边界界后后，就就可可以以用用计计算算机机控制绘图设备画出干涉图。控制绘图设备画出干涉图。当当要要再再现现的的物物波波函函数数只只有有相相位位变变化化，即即A(x,y)A(x,y)等等于于常常数数时，基本方程可以简化为如下形式时，基本方程可以简化为如下形式,设设q=0q=0此时，可以用此时，可以用细线条绘制全息图细线条绘制全息图，所以计算全息干涉特别，所以计算全息干涉

46、特别适合于再现适合于再现纯相位纯相位的物波。的物波。载波频率的选择载波频率的选择是是载波的空间频率，其选择与光学记录的全息图相同，要避免在空间载波的空间频率，其选择与光学记录的全息图相同，要避免在空间域第域第一级衍射波一级衍射波和二级以上的衍射波不相互重叠，载波频率和二级以上的衍射波不相互重叠，载波频率是物光波局部空间最高频率是物光波局部空间最高频率实际中，取实际中，取例：说明绘制一个球面波的二元全息干涉图的制作方法例：说明绘制一个球面波的二元全息干涉图的制作方法（1 1）由方程）由方程求求局部空间频率局部空间频率由上式由上式可知，其最大局部空间频率位于波面边沿，设球面波直可知，其最大局部空间

47、频率位于波面边沿，设球面波直径为径为D D，则则取取因此二元干涉条纹的平均周期和条纹数为因此二元干涉条纹的平均周期和条纹数为设设条纹总数条纹总数N=1264N=1264将将T T和和代入代入方程方程可得每一可得每一条纹的空间位置。并控制绘图仪画出计算全息干涉条纹的空间位置。并控制绘图仪画出计算全息干涉图。由于干涉条纹很密，通常是先按一定的比例放大绘图，图。由于干涉条纹很密，通常是先按一定的比例放大绘图，然后再用光学缩版方法得到可用的全息图然后再用光学缩版方法得到可用的全息图(课外作业课外作业)。说明：球面波在光学中可以用透镜很方便地产生，而另一些说明：球面波在光学中可以用透镜很方便地产生，而另

48、一些复杂的波面，如复杂的波面，如螺旋形螺旋形波面、波面、非球面非球面等，用光学技术是难以等，用光学技术是难以得到的。由于计算机仿真干涉图的灵活性很大，得到的。由于计算机仿真干涉图的灵活性很大，使得计算全使得计算全息干涉图很适合产生用单纯光学方法难以实现的特殊息干涉图很适合产生用单纯光学方法难以实现的特殊相位型相位型变化的波面。变化的波面。微光学微光学(Micro Optics)(Micro Optics)这一术语是这一术语是19691969年在一家日本杂志年在一家日本杂志上出现的上出现的.1981.1981年年,日本微光学研究组织及刊物也应运而生日本微光学研究组织及刊物也应运而生,微微光学的名

49、称自此成立光学的名称自此成立.微光学当时主要指微光学当时主要指梯度折射率光纤梯度折射率光纤和和微微小物镜小物镜,但目前微光学的含义就远不止这些了但目前微光学的含义就远不止这些了.微光学是研究微光学是研究微米、纳米级尺寸的光学元器件的设计、制作工艺及利用这微米、纳米级尺寸的光学元器件的设计、制作工艺及利用这类元器件实现光波的发射、传输、变换及接收的理论和技术类元器件实现光波的发射、传输、变换及接收的理论和技术的新学科的新学科.微光学发展的两个主要分支是：微光学发展的两个主要分支是：6.9 6.9 二元光学二元光学一、微光学与二元光学一、微光学与二元光学微光学是研究微米、纳米级尺寸的光学元器件的设

50、计、制作工微光学是研究微米、纳米级尺寸的光学元器件的设计、制作工艺及利用这类元器件实现光波的发射、传输、变换及接收的理艺及利用这类元器件实现光波的发射、传输、变换及接收的理论和技术的新学科论和技术的新学科.微光学发展的两个主要分支是：微光学发展的两个主要分支是：(1)1)、基于折射原理的、基于折射原理的梯度折射率光学梯度折射率光学 (光纤）光纤）(2)(2)、基于衍射原理的、基于衍射原理的二元光学二元光学二者在器件性能、工艺制作等方面各具特色二者在器件性能、工艺制作等方面各具特色 微微光光学学是是光光学学与与微微电电子子学学相相互互渗渗透透、交交叉叉而而形形成成的的前前沿沿学学科科.光光学学仪