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1、线性代数习题及答案(北京邮电大学出版社戴斌祥主)编习题(A类) 987654321； 13” (2-1) (2/(26 2)2L求下列各排列的逆序数. 0) 341782659 (3) 0 D321；【解】1)= (H-142 H“卜 1)必_(1) t (341782659)=11； r (987654321)=36(3) r 1) 3- 2-2 t (13- (2a 1) (2/(2m2A-2)=(H4+“ + 31)+gD + O2)+lH)=nD. 2求出j, k使9级排列24jl57k98为偶排列。解:由排列为9级排列,所以j, k只能为3 6由2排首位,逆序为Q 4的逆序数为01的
2、 逆序数为3 7的逆序数为a 9的为a 8的为l由(W+哥什if 为偶数.若j=a仁6则j 的逆序为 5的逆序数为Q k的为1,符合题意:若kS则j的逆序为Q 5的逆序数 为L k的为4不符合题意.所以j鼻63写出4阶行列式中含有因子a22a34的项。解:27=(-1 严。0 j2a3j3a4 4由题意有:j2 = 2,=4._1243故J1J2J3J4 =厶24=卜即中含的 a22a34 项为:(22a34a43 + (-3a22a34a41即为!一34a43 + 473a22a34a414在6阶行列式中,下列各项应带什么符号?(1) a23031a42a56014a65 ；解:a23a31
3、a42a56al4a65 = a14a23。31042。56。65因为 7(431265) = 6 , (1-431265)=(_ 1)6 =1 所以该项带正号。(2) a32a43al4a51a66a25解:。32。43al4“51。66。25 =25a32a43a51a66因为以452316) = 8, (W452316)=(一)8 =1所以该项带正号。0 2 0 012 3 00 0 100 0 2 0(1)； 3 0 0 03 0 4 50 0 0 40 0 0 15用定义计算下列各行列式.010 0002 .0(3)()00 n-ln00 - 0【解】Q)身1)却4! =54 身 1
4、2(3)由题意知:=1%,1 = 其余% =0所以=(-l)TJlJ2 J，,) aija2j2aijjanjn=(T)但12a23a34 a“T,”a”i= (-1)-1-2-3(n-l)n r(23 1) = 1=(1严”!6计算下列各行列式.2 14-15 0 6 -2ah ac -ae川 cd -de-bf -cf -ef-1b0-1-1d【解】Q)D-12-12=0 ：-1-1(2)D =abcdef-1-11-1(3)D = a-10-14ahcdef ；-1+ (-1)2 0 00-1-1d1 -10 d+ cd + =abed + ab + ad + cd + V,101010
5、q+C2(4)。=q+ o+q1010“ r4-r1-2-3-2r4+r21-410-1-1-1-344=160.7.证明下列各式.a2aba)2a1b22b1=(a bp ;a2 b2 c2 d2(a +1) 3 + 1)2 (C + (d + l)2(a+ 2)(b + 2)(c + 2)2(d + 2)2(a+ 3)2 S + 3)2 (c + 3)2 (d + 3)2=0 ：(3)a2 b2 c2=(ab + be + ca)(4)D2n(ad be)；【证明】a)。宀 左端=CZ (a+b)(a-b)2(a-b)0!Pi=ll + a“b(a-b)a - b0b22b1(ci + b
6、)(ci b) b(ci b)2(a-b)= (a-b)2a+b2(a-b)3 右端.c2-c左端=2a+ 14a+ 46。+ 9a22a+ 1262b + 4+ 46b+ 9C322b22b + 262c + l4c+ 46c+ 9q -3c2c22c + l262J + 14d+46d+ 9d22d + l26=0 =右端.a2 b2 c2 d2首先考虑4阶范德蒙行列式:“尤）=1111 a2 b2 czjc3ab3= (x-a)(x- b)(x - c)(a -b)(a - c)(b -c)(*)从上面的4阶范徳蒙行列式知,多项式的承系数为(ah + be + ac)(a h)(a c)
7、(b c) = (ah + be + ac)a2b2c但对（阳式右端行列式按第一行展开知X的系数为两者应相等,故a2 b2 c2a c3对按第一行展开,得0 aba b-bc d0 cdc 00-)。2(-,id bc) D2(n_2y1 + q1 1ID“ =1+ *, 1i+11 - 11a2-an_x+anDn_v1 + 21 1011 +% , 1011 -, 1 +011 - 1凡cd000d=ad-与1)反、 %“-i)= (ad 据此递推下去,可得。2. =(。尻、)2(“-1)=(, = = (ad be) D, =(ad be)D2n = (ad bc)n.对行列式的阶数“用
8、数学归纳法.当我时,可直接验算结论成立,假定对这样的al阶行列式结论成立,进而证明阶数 为的结论也成立.按的最后一列，把拆成两个瑯介行列式相加:但由归纳假设0“ =a2-an,i+。M21= ala2-an_ian1+卜（1+加%&计算下列域介行列式.X1 11X - 1(1) Dn =1I - X122 .- 2222 - 2D.二223 - 2222 nx y 0 00 x y 0 0) =0 0 0 x yy 0 0 0 x210 00121 .- 00012 - 00q =000 - 2I000 . 12【解】各行都加到第一行,再从第一行提出 肝但U）,得1 1 11 x * * 1=
9、x + (T)：11X将第一行乘（-1）后分别加到其余各行,得D =x + (n-l)1x-1=(X + H 1)(X 1)Z，12-nD 二可1111200020102 0022000按第:往展开=2( 2)!.n-2（3）行列式按第一列展开后,得Oxy+y(-Dn+,D =x2 1 0 0 02 0 0 0 00 1 0 . 0 01 2 1 0 01 2 1 0 01 2 1 . 0 00 1 2 0 00 1 2 0 00 1 20 0。,=+0 0 0 2 10 0 0 2 10 0 0 2 10 0 0 1 20 0 0 . 1 20 0 0 . 1 2=2。_ 。-2 -Dn-D
10、n-=Dn-Dn-2由（。,。,-1） + （。1 一“-2）+ （02 ）=1 得D“ D、=n l, Dn = n l + 2 = n + l.a计算建介行列式.q i+【解】各列都加到第一列,再从第一列提出1 + ,得1将第一行乘（-D后加到其余各行,得(I1+%。,1+%,a3 01n=i+Z%i=I1Q计算阶行列式（其中qwO,i = 1,2,）.紈a2a如 以他anD,.=a/2哂2b；-1婷【解】行列式的各列提取因子T（ = 1,2,然后应用范德蒙行列式.2=(的2%严n1=（%生 。”产 n1 jin I ai121厶a、 1.%a“I円2u3/ / A3 nl2 図a2 )A
11、（凡丿1厶）n-1z ,、 1. I、。2丿丿m丿b.j_a.L它们的余子式依次为8 7 2 1。1L已知4阶行列式/中第3列元素依次为T 2 &求行列式用J值。a解:%1a21。1422224。320。34。421。44幀3=8, M?3=7, %3=2, M43=10Q = Z(-1)%3 M3 j=l=(-1 产 q3M +(T)2+3%3 +(T 产63M33 +(_产 3M= (-1)4-(-1)-8 + (-1)5-2-7 + (-1)6O-2 + (-1)711O= -8-14-10 = -32.12用克拉默法则解方程组.+ 5x2 = 0,3xj - 7=2.王一+七=2,(2
12、) 3 = 703, D4 = -395, D5 = 212.15072293779212 V- V* V V* V*665 2133 3 35 4133 5 6652X1 + Ax2 x3 = 1,13满足什么条件时,线性方程组 玉-2+=2,有唯一解?4x）+5 5=32 解:42=44-100 1 $ =（ 1（5+ 4）要使方程组有唯一解,必须庠,于是:（1）-（5 + 4）。 解得：,-当不等于L 一时，方程组有唯一解。514和为何值时、 齐次方程组 +x2+x3 = 0, %, + jUx2 + x3 = 0, 玉 + 2/jx2 + /= 有非零解?【解】要使该齐次方程组有非零解
13、只需其系数行列式111 1=0,1 2 !故/= 0或/1 = 1时,方程组有非零解.15求三次多项式，(x) = %)+“卢+,使得/(-I) = 0 J=4 J(2) = 3,/(3) = 16.【解】根据题意,得f (一 ) = % Q + Q, % =0；/(1) = 十%+3 =4；/= + 2q + 44 + 8% = 3;/(3) = 0 +3q +9 +27% = 16.这是关于四个未知数,q,小的个线性方程组,由于D = 48, Do = 336, D, =0,D2 = -240,03 = 96.故得4=7,0 = 0, a2 = -5,a3 = 2于是所求的多项式为/(x)
14、 = 7-5x2 + 2x3(曜)解:令 身L已知理介行列式的每一列元素之和均为零,则改a2 +Ct22 +- + a2% +。2 +, + 4a22a2nan2,“00 03232x的展开式中包含、和的项。5x 1X X3写出行列式麻1 2x 1，试求1+2 +3+,其中（ = 1，2,3,4）为。14“江（-1严的”心22。3血4。34 j234444比较可得:只有当/=1234时,才能出现项,当，=2134,4231时,为项,故。4中含项为:+1含项为:(1)42。21。33。44 +(1 尸 4。14”22a33a41 = -5。134已知4阶行列式行列式的第4行第列的元素的代数余子式
15、。所以+ Aa2 + A43 + A)4 =r4+l(-4)=(-D55解方程7 1=234110401-31-6-6= -(-6-(-3) = 3.。，=0.a1 %解:因& ：1 a；-1 x aa2a201a2-l , 4,-10_“T 1% ,*- 417%(n+l)x(fi+l)X布 , %：1 1f(-l)22. 1 1故由出）可得:- 16!-, - 1a,2-l422 T n-1a 一1x = (7 产T 1生 - * * *6求出使一平面上三个点（X”弘）,（,），（刍，%）位于同一直线上的充分必要条件 【解】设平面上的直线方程为ax-by-c=Q (a 不同时为 0)按题设
16、有axx + by + c = 0, ax2 + by2 + c = 0,ax3 + by3 +。= 0,则以a b。为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为弘1 2 七 1上式即为三点（,口）,（,），（3，%）位于同一直线上的充分必要条件习题（A类）12 12设 4： 2 1 2 112 3 44321母2 1 -2 10-10-161 r 4 3 23 4-2 1 -212 -1 03 1 52 8 27 9 13(1)计算 3A-B 2ArSB(2) 若硼足AB求X(3) 若乃商足(2L4-K +2 ( B-Y旬求?3 6 3解:1) 3A-B匕(AES 6 3 63 3
17、92 4 22AB 屈 4 2 42 4 613 85 -216+ 221111-10-5-1(2)因 AB 则 B-A 即43星-2 10 -1(3)因为(10 10T T24322计算下列矩阵的乘积.【解】12 1010 310 10 10 12-1(6)0 0 2 10 0-230 0 0 30 0 0 -3(3)(10)；2-10-2 1 04-2 06-3 033 41內 + a22x1 + 6(33X3 +(%2 +2i)XlX2 +(。13 +。31)环3+(3 +。32)3 q522 -4-4 30 -9/=1 ；=1aal4?+“13(5) 622 j。22。22 +。23；
18、0 03 设=一 031。32七+旬一求(1)/5 - 2N； AB-BA ； (3) (N + 5)(N-5) = N 一 5Z吗?(2) AB BA =【解】Q) AB-2A =-3G4E9 (ArB星A4举例说明下列命题是错误的.若2=0,则=0；则=。或Z=E：（3）若x = /y, ao,则x = y.【解】(1)以三阶矩阵为例,取=,42 =0 ,但正(3)令 =令N=(1)解:（00=0则上4K但孽Y5计算:(2)cos。-sin。sin。cos。（厶为正整数）,则当2时,cos 6 D=-一 sin。sin。cos。cos。-sin。sin。cos。cos 26-2 sin c
19、os2 sin 61 coscos 26cos 26 sin 20-sin 2。cos 2。cos m3 设Df -sin mOsin mO cosm0成立,则cos。 sin。-sin。cos 6cos m6cos。- sin mOsin 6 sin。cos mO + cos，sin m3-sin cos 0 - cos mO sin 0 cos m0cos 0 - sin m0 sin 0cos m0 sin m0一 sin 机 cosm0cos(m +1)6 sin(/n +1)0-sin(加 +1)0 cos(? +1)。, cos。故有:*. c-sm0sin 6 cos。cosk0
20、 sin 。-sin 6 cosk01(3)令全、A当后2时,有:1假设Df ,A1mA1kA6设=(办正整数),则12/1mA-ac解:由已知条件,成立，则10(m + l)A 1-c，求 IN I.A的伴随矩阵为A* =-(a2+b2+c2+d2)a-c-d-(a2 +b2 +c2 +d2)A又因为= |/|E,所以有(a2+b2+c2+d2)A2 =AE ,且冋 0,-(a2+b2+c2+d2)A2 = (a2+b2 +2 +)4 同冋=同4 囘M =一43 +b2 +c2 + J2)4 =-(a2 +b2 +c2 +d2)2.7.己知线性变换弘=-3z+z2,%=2&+3,$=_Z2+
21、3z3,斗=2必+力,=-2%+3y 2+2% .刍=4% + %+5%；利用矩阵乘法求从zz2, Z3到和,七的线性变换【解】已知从而由& ,2,马到玉,43的线性变换为%, =-4Z +2z2+z3, x2 =12Zi -4z2+9z3,x3 =-10Z z2 +16z3.8 设, 8为阶方阵,且为对称阵,证明:5覚6也是对称阵. 【证明】因为瑯介方阵为对称阵,即41所以(B AB , =B A B=B AB故也为对称阵.9设 B为a阶对称方阵,证明:血对称阵的充分必要条件是出丑4【证明】已知片则反之,因则=8若力是对称阵,即(AB,三姐AB=(Ad =B A =84(A9 =S A =B
22、AB所以,皿对称阵.IQ A为阶对称矩阵, 以是对称矩阵.血上!是对称矩阵,助邱介反对称矩阵,证明:曲田4是反对称矩阵.【证明】因4 B =一故画书 B =-B 63刃043破=湎-回4A -A B=-BArA-G4ShSr =(A3 +CST =B A AA B =-54M-3=- G4SHS4. 所以户是对称矩阵,曲曲是对称矩阵,曲归4是反对称矩阵.1L求与4 J 1可交换的全体二阶矩阵.0 1a b【解】设与可交换的方阵为,则由c aa+c b+dc da a+b c c+d1 1a ba b1 10 1c dcd0 1a b由对应元素相等得a 即与可交换的方阵为一切形如的方阵,其中a
23、60 a10012求与401201-2为任意数.可交换的全体三阶矩阵.【解】由于0 00 21 -3a b c:0 0 o0 0 oaX cja2 b2 c20 0 2=0 0 2a2 b2 c24 C3_0 1 -3_0 1 -3_3 b3 C3.0 g2 3(?|0000 c22b2 - 3c2=2a32b32c30 c32b3 - 3c3a2 -3a3b2 - 3b3 c2 -3c3_q = 0,23q = 0,2a3 = 0,生 一3a3 二 0， c2 = 2b33 =b2 -34,202 -3c2 = 2c3, 2b3 3c =c2 3c3,所以。00即与4可交换的一切方阵为0 b
24、2 2b3其中q也也为任意数.0 b3 b2 - 3b3c2 = 2b3,c3 =b2 -34a2=a3=b=c= 0,13求下列矩阵的逆矩阵.(3)-1 2_2 5_1 23 45 -4-1-2-1-100-1121210021232100310-004!【解】a)-5 -2-21；-100-1-2101-21000（3）_6-12-7_-3264140 一-1-2_2丄 2丄 2 丄 -60丄 300丄51丄,8-24-124.14利用逆矩阵,解线性方程组玉+=1, 2x2 + 2x3 = 1,/一=2.1”M【解】因 2 2 x21-1111,而022H021-10玉X215证明下列命题
25、:(1)若碗同阶可逆矩阵,则(四4/.若可逆,则可逆且(*.(3)若 AA 4I则(乃=04尸.【证明】(D因对任意方阵c均有= =1 cl目而厶E均可逆且同阶,故可得 A- B- BAABE(SA)二 (A3 *AB(AA) = SB A)A = (AB=|B(AB *.,zI A# ft 151 ft(AB *4/.(2)由于44=以万故=|N,从而 価)*=|H I (AYA-A 于是A (A) *AA Ay=E所以)*=4厂.因44 W故可逆且A 4 .由尸=64)*,得(Ar=(A )*=(A)f .16已知线性变换xl=2yl + 2y2 + y3,-=3必+%+5,x33y,+2
26、y2+3y3,求从变量占,七到变量x, %，的线性变换.【解】已知且IH=1W ft故可逆,= ay,-4 93 -7 X,2 -4-7Y = AX= 63所以从变量x,x2,x3到变量弘,，的线性变换为M =-7%-4x2 +9x3, 1 + + amA)P= P/(A)P-.-1 -4-1 2Q设 P-，P = /.其中 P=, A= ,求，110 21.114,【解】因尸7可逆,且7 =,故由 =尸，尸73 -1 -1/ = (P/尸=P(4)PTr-1 -41Fl 01 1 J|_0 210_3 丄343 丄-3_ 1 -1 + 22-3 1-2101364-3404 + 2吐1365
27、4-210-34121设阶方阵A的伴随矩阵为A证明:（1）若丨 1=0,则丨4，I = 0 ；【证明】（D若UM 则必有1/ Hi因若丨陰。则有 （乃一 1W由此又得a=aea( A) i=ih( Ay =a这与丨陰 0是矛盾的,故当A =a则必有丨A=O.由aA=ae两边取行列式,得A A =A,若 则 I AHA-若若=Q由知也有I A=A-22 设5 2 02 1 0A =0 0 70 0 5 A k &为正整数）.求AB；54；(3) A-； 【解】-23 200 0-10 90 0(1) AB =0046 130032 9-1 -200-2 500(3) A- =00-2 3005
28、-723用矩阵分块的方法,19 8 0030 13 00(2) BA =0 0 33 140 0 52 22_糾F =（ -.证明卜一列矩阵可逆,并求其逆矩阵.-1200025000(1)003000001000001-2010202013(3)001000001000001【解】Q）对故如下分块0 0 3 -10 0 2 1(2)2 10 0-2 3 0 04 0 a2其中4-1_225,*3000100014,4的逆矩阵分别为4T=5-21=工 300100001所以可逆,且*5)000-21000A- =A-i=00丄 3000001000001同理(2)0038丄-8A- =-4-i-00丄 4丄 4414-1-丄 5丄 500_2 53500(3)