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1、人大寿险精算数学人大寿险精算数学课程结构基础基础利息理论基础利息理论基础 生命表基础生命表基础核心核心l l保费计算保费计算 l l责任准备金计算责任准备金计算l l多重损失模型多重损失模型l l保单的现金价值与红利保单的现金价值与红利拓展拓展l l特殊年金与保险特殊年金与保险l l寿险定价与负债评估寿险定价与负债评估l l偿付能力与监管偿付能力与监管第1页/共607页第一章利息理论基础第2页/共607页利息理论要点利息的度量利息问题求解的原则年金收益率分期偿还表与偿债基金第3页/共607页第一节利息的度量第4页/共607页第一节汉英名词对照积累值积累值现实值现实值实质利率实质利率单利单利复利
2、复利名义利率名义利率贴现率贴现率利息效力利息效力Accumulated valueAccumulated valuePresent valuePresent valueEffective annual rateEffective annual rateSimple interestSimple interestCompound interestCompound interestNominal interestNominal interestDiscount rateDiscount rateForce of interest Force of interest 第5页/共607页一、利息的定义
3、定义：l l利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的损失。支配该笔资金而蒙受的损失。影响利息大小的三要素：l l本金本金l l利率利率l l时期长度时期长度第6页/共607页二、利息的度量积累函数积累函数金额函数金额函数贴现函数贴现函数第第N N期利息期利息0t1-K-1第7页/共607页利息度量一计息时刻不同期末计息利率l l第第N N期实质利率期实质利率期初计息贴现率l l
4、第第N N期实质贴现率期实质贴现率第8页/共607页例1.1 实质利率/贴现率某人存1000元进入银行，第1年末存款余额为1020元，第2年存款余额为1050元，求 分别等于多少？第9页/共607页例1.1答案 第10页/共607页利息度量二积累方式不同线形积累线形积累l l单利单利l l单贴现单贴现指数积累指数积累l l复利复利l l复贴现复贴现第11页/共607页单复利计息之间的相关关系单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒定。单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒定。单贴现的实质利率逐期递增，复贴现的实质利率保持恒定。单贴现的实质利率逐期递增，复贴现的实质利率保持恒定。时，相
5、同单复利场合，单利计息比复利计息产生更大的积时，相同单复利场合，单利计息比复利计息产生更大的积累值。所以短期业务一般单利计息。累值。所以短期业务一般单利计息。时，相同单复利场合，复利计息比单利计息产生更大的积时，相同单复利场合，复利计息比单利计息产生更大的积累值。所以长期业务一般复利计息。累值。所以长期业务一般复利计息。第12页/共607页例1.2 某人存5000元进入银行，若银行分别以2%的单利计息、复利计息、单贴现计息、复贴现计息，问此人第5年末分别能得到多少积累值？第13页/共607页例1.2答案 第14页/共607页利息的度量三利息转换频率不同实质利率：实质利率：以一年为一个利息转换期
6、，该利率记为实质利率，以一年为一个利息转换期，该利率记为实质利率，记为记为 。名义利率：名义利率：在一年里有在一年里有mm个利息转换期，假如每一期的利率个利息转换期，假如每一期的利率为为j j，记记 为为 这一年的名义利率，这一年的名义利率，。利息力：利息力：假如连续计息，那么在任意时刻假如连续计息，那么在任意时刻t t的瞬间利率叫作利的瞬间利率叫作利息力，记为息力，记为 。实质贴现率实质贴现率和和名义贴现率名义贴现率的定义与实质利率、名义利率类似。的定义与实质利率、名义利率类似。第15页/共607页实质利率与实质贴现率初始值利息积累值11第16页/共607页名义利率 名义利率11第17页/共
7、607页名义贴现率 名义贴现率11第18页/共607页例1.31、确定500元以季度转换8%年利率投资5年的积累值。2、如以6%年利，按半年为期预付及转换，到第6年末支付1000元，求其现时值。3、确定季度转换的名义利率，使其等于月度转换6%名义贴现率。第19页/共607页例1.3答案1、2、3、第20页/共607页利息效力定义：瞬间时刻利率强度第21页/共607页等价公式一般公式恒定利息效力场合第22页/共607页例1.4确定1000元按如下利息效力投资10年的积累值1 1、2 2、第23页/共607页例1.4答案第24页/共607页三、变利息什么是变利息？常见的变利息情况l l连续变化场合
8、：函数利息力连续变化场合：函数利息力l l离散变化场合：离散变化场合：第25页/共607页例1.51 1、如果、如果 ，试确定，试确定1 1在在n n年末的积累值。年末的积累值。2 2、如果实质利率在头、如果实质利率在头5 5年为年为5%5%，随之，随之5 5年为年为4.5%4.5%，最后，最后5 5年为年为4%4%，试确定，试确定10001000元在元在1515年末的积累值。年末的积累值。3 3、假定一笔资金头、假定一笔资金头3 3年以半年度转换年利率年以半年度转换年利率6%6%计息，随之计息，随之2 2年年以季度转换以季度转换8%8%的年贴现率计息，若的年贴现率计息，若5 5年后积累值为年
9、后积累值为10001000元，元，问这笔资金初始投资额应该为多少？问这笔资金初始投资额应该为多少？第26页/共607页例1.5答案第27页/共607页第二节利息问题求解原则第28页/共607页一、利息问题求解四要素原始投资本金投资时期长度利率及计息方式l l期初期初/期末计息：利率期末计息：利率/贴现率贴现率l l积累方式：单利计息、复利计息积累方式：单利计息、复利计息l l利息转换时期：实质利率、名义利率、利息效利息转换时期：实质利率、名义利率、利息效力力本金在投资期末的积累值 第29页/共607页二、利息问题求解原则本质：任何一个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三本质：任何一个有关利息
10、问题的求解本质都是对四要素知三求一的问题求一的问题工具：现金流图工具：现金流图方法：建立现金流分析方程（求值方程）方法：建立现金流分析方程（求值方程）原则：在任意时间参照点，求值方程等号两边现时值相等。原则：在任意时间参照点，求值方程等号两边现时值相等。0现金流时间坐标第30页/共607页例1.6：求本金某人为了能在第7年末得到1万元款项，他愿意在第一年末付出1千元，第3年末付出4千元，第8年末付出X元，如果以6%的年利率复利计息，问X=？第31页/共607页例1.6答案以第7年末为时间参照点，有以第8年末为时间参照点，有以其他时刻为时间参照点（同学们自己练习）第32页/共607页例1.7：求
11、利率（1）某人现在投资4000元，3年后积累到5700元，问季度计息的名义利率等于多少？（2）某人现在投资3000元，2年后再投资6000元，这两笔钱在4年末积累到15000元，问实质利率=？第33页/共607页例1.7答案（1）（2）第34页/共607页例1.8：求时间假定 分别为12%、6%、2%，问在这三种不同的利率场合复利计息，本金翻倍分别需要几年？第35页/共607页例1.8精确答案 第36页/共607页例1.9近似答案rule of 72第37页/共607页例1.10：求积累值 某人现在投资1000元，第3年末再投资2000元，第5年末再投资2000元。其中前4年以半年度转换名义利
12、率5%复利计息，后三年以恒定利息力3%计息，问到第7年末此人可获得多少积累值？第38页/共607页例1.10答案 第39页/共607页第三节年金第40页/共607页第三节汉英名词对照年金年金支付期支付期延付年金延付年金初付年金初付年金永久年金永久年金变额年金变额年金递增年金递增年金递减年金递减年金AnnuityAnnuityPayment periodPayment periodAnnuity-immediateAnnuity-immediateAnnuity-dueAnnuity-dueperpetuityperpetuityVarying annuityVarying annuityInc
13、reasing annuityIncreasing annuityDecreasing annuityDecreasing annuity第41页/共607页一、年金的定义与分类定义定义l l按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。原始含义是限于按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。原始含义是限于一年支付一次的付款，现已推广到任意间隔长度的系列付款。一年支付一次的付款，现已推广到任意间隔长度的系列付款。分类分类l l基本年金基本年金 等时间间隔付款等时间间隔付款 付款频率与利息转换频率一致付款频率与利息转换频率一致 每次付款金额恒定每次付款金额恒定l l一般年金一般年金 不满足基本年金三
14、个约束条件的年金即为一般年金不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金第42页/共607页二、基本年金基本年金l l等时间间隔付款等时间间隔付款l l付款频率与利息转换频率一致付款频率与利息转换频率一致l l每次付款金额恒定每次付款金额恒定分类l l付款时刻不同：初付年金付款时刻不同：初付年金/延付年金延付年金l l付款期限不同：有限年金付款期限不同：有限年金/永久年金永久年金第43页/共607页基本年金图示 0 1 2 3 -n n+1 n+2-1 1 1 -1 0 0-1 1 1 -1 0 0 0-1 1 1 -1 1 1-1 1 1 -1 1 1-延付永久年金初付永久年金延付年金初付年
15、金第44页/共607页基本年金公式推导第45页/共607页例1.11一项年金在20年内每半年末付500元，设利率为每半年转换9%，求此项年金的现时值。第46页/共607页例1.12 某人以月度转换名义利率5.58%从银行贷款30万元，计划在15年里每月末等额偿还。问：（1）他每月等额还款额等于多少？（2）假如他想在第五年末提前还完贷款，问除了该月等额还款额之外他还需一次性付给银行多少钱？第47页/共607页例1.12答案（1）（2）第48页/共607页例1.13假定现在起立即开始每6个月付款200直到满4年，随后再每6个月付款100直到从现在起满10年，若 求这些付款的现时值。第49页/共60
16、7页例1.13答案方法一：方法二：第50页/共607页例1.14有一企业想在一学校设立一永久奖学金，假如每年发出5万元奖金，问在年实质利率为20%的情况下，该奖学金基金的本金至少为多少？第51页/共607页例1.15永久年金A留下一笔100000元的遗产。这笔财产头10年的利息付给受益人B，第2个10年的利息付给受益人C，此后的利息都付给慈善机构D。若此项财产的年实质利率为7%，试确定B，C，D在此笔财产中各占多少份额？第52页/共607页例1.15答案第53页/共607页基本年金公式总结年金有限年金永久年金现时值积累值现时值延付初付 第54页/共607页未知时间问题年金问题四要素l l年金、
17、利率、支付时期（次数）、积累值（现年金、利率、支付时期（次数）、积累值（现时值）时值）关注最后一次付款问题l l在最后一次正规付款之后，下一个付款期做一在最后一次正规付款之后，下一个付款期做一次较小付款（次较小付款（drop paymentdrop payment）l l在最后一次正规付款的同时做一次附加付款在最后一次正规付款的同时做一次附加付款（balloon paymentballoon payment）第55页/共607页例1.16有一笔有一笔10001000元的投资用于每年年底付元的投资用于每年年底付100100元，时间尽可能长。元，时间尽可能长。如果这笔基金的年实质利率为如果这笔基金
18、的年实质利率为5%5%，试确定可以作多少次正规，试确定可以作多少次正规付款以及确定较小付款的金额，其中假定较小付款是：付款以及确定较小付款的金额，其中假定较小付款是：（1 1）在最后一次正规付款的日期支付。）在最后一次正规付款的日期支付。（2 2）在最后一次正规付款以后一年支付）在最后一次正规付款以后一年支付（3 3）按精算公式，在最后一次付款后的一年中间支付。（精算）按精算公式，在最后一次付款后的一年中间支付。（精算时刻）时刻）第56页/共607页例1.16答案第57页/共607页变利率年金问题类型一：时期利率(第K个时期利率为 )第58页/共607页变利率年金问题类型二：付款利率（第K次付
19、款的年金始终以利率 计息）第59页/共607页例1.17:某人每年年初存进银行1000元,前4年的年利率为6%,后6年由于通货膨胀率,年利率升到10%,计算第10年年末时存款的积累值.第60页/共607页例1.17答案第61页/共607页例1.18:某人每年年初存进银行1000元,前4次存款的年利率为6%,后6次付款的年利率升到10%,计算第10年年末时存款的积累值.第62页/共607页例1.18答案第63页/共607页三、一般年金一般年金一般年金l l利率在支付期发生变化利率在支付期发生变化l l付款频率与利息转换频率不一致付款频率与利息转换频率不一致l l每次付款金额不恒定每次付款金额不恒
20、定分类分类l l支付频率不同于计息频率的年金支付频率不同于计息频率的年金 支付频率小于计息频率的年金支付频率小于计息频率的年金 支付频率大于计息频率的年金支付频率大于计息频率的年金l l变额年金变额年金第64页/共607页支付频率不同于计息频率年金分类l l支付频率小于利息转换频率支付频率小于利息转换频率l l支付频率大于利息转换频率支付频率大于利息转换频率方法l l通过名义利率转换，求出与支付频率相同的实通过名义利率转换，求出与支付频率相同的实际利率。际利率。l l年金的代数分析年金的代数分析第65页/共607页支付频率小于计息频率年金0k2knk计息支付111方法一:利率转换方法二:年金转
21、换第66页/共607页例1.19:某人每年年初在银行存款2000元,假如每季度计息一次的年名义利率为12%,计算5年后该储户的存款积累值.第67页/共607页例1.19答案方法一方法一:利率转换法利率转换法方法二方法二:年金转换法年金转换法第68页/共607页例1.20：永久年金有一永久年金每隔有一永久年金每隔k k年末付款年末付款1 1元，问在年实质利率为元，问在年实质利率为i i的情况的情况下，该永久年金的现时值。下，该永久年金的现时值。第69页/共607页支付频率大于利息转换频率支付频率大于0第m次每次支付第2m次每次支付第nm次每次支付计息支付12n第70页/共607页年金分析方法方法
22、一：利率转换法方法一：利率转换法年金转换法年金转换法第71页/共607页例1.21某购房贷款8万元,每月初还款一次,分10年还清,每次等额偿还,贷款年利率为10.98%,计算每次还款额.第72页/共607页例1.21答案方法一:方法二:第73页/共607页例1.22：永久年金一笔年金为每6个月付1元，一直不断付下去，且第一笔付款为立即支付，问欲使该年金的现时值为10元，问年度实质利率应为多少？第74页/共607页例1.22答案第75页/共607页年金关系延付年金初付年金现时值积累值第76页/共607页一般年金代数公式年金支付频率小于计息频率支付频率大于计息频率现时值积累值现时值积累值延付初付第
23、77页/共607页连续年金定义:付款频率无穷大的年金叫连续年金.公式:第78页/共607页恒定利息效力场合第79页/共607页例1.23确定利息效力使第80页/共607页变额年金等差年金l l递增年金递增年金l l递减年金递减年金等比年金第81页/共607页等差年金一般形式现时值积累值012nPP+QP+(n-1)Q第82页/共607页特殊等差年金年金递增年金递减年金P=1,Q=1P=n,Q=-1现时值积累值第83页/共607页例1.24从首次付款1开始,以后每次付款递增1,只增加到M,然后保持付款额不变的N年期期末付年金,可以表示成 计算第84页/共607页例1.24答案第85页/共607页
24、例1.25有一项延付年金，其付款额从1开始每年增加1直至n，然后每年减少1直至1，试求其现时值。第86页/共607页例1.25答案第87页/共607页等比年金012n11+k第88页/共607页例1.26:某期末付永久年金首付款额为5000元,以后每期付款额是前一期的1.05倍,当利率为0.08时,计算该永久年金的现时值.第89页/共607页例1.26答案第90页/共607页第四节收益率第91页/共607页第四节中英文单词对照贴现资金流贴现资金流收益率收益率再投资率再投资率时间加权利率时间加权利率币值加权利率币值加权利率Discounted cash flowDiscounted cash f
25、lowyield rateyield rateReinvestment rateReinvestment rateTime-weighted rates of Time-weighted rates of interestinterestDollar-weighted rates of Dollar-weighted rates of interestinterest第92页/共607页贴现资金流分析例例1.271.27：现金流动表：现金流动表按利率按利率 投资返回的净现时值投资返回的净现时值年投入回收净现金流投入净现金流返回010000010000-10000110005000-400040
26、00210006000-50005000312007500-63006300第93页/共607页不同利率水平下的净现时值利率净现时值1%4976.593%4361.875%3786.8510%2501.88第94页/共607页收益率的概念使得投资返回净现时值等于零时的利率称为收益率。也称为使得投资返回净现时值等于零时的利率称为收益率。也称为“内返回率内返回率”用线形插值法求得上例中收益率为用线形插值法求得上例中收益率为22.65%22.65%收益率投资方希望收益率越高越好，借贷方希望收益率越低收益率投资方希望收益率越高越好，借贷方希望收益率越低越好。越好。第95页/共607页收益率的唯一性例1
27、.28：某人立即付款100元，并在第2年末付132元，以换回第1年末返回230元，求这笔业务的收益率。解答：第96页/共607页收益率的唯一性由于收益率是高次方程的解，所以它的值很可能不是唯一的。Descartes符号定理l l收益率的最大重数小于等于资金流的符号改变收益率的最大重数小于等于资金流的符号改变次数。次数。收益率唯一性的判定定理二l l整个投资期间未动用投资余额始终为正。整个投资期间未动用投资余额始终为正。第97页/共607页未动用投资余额第98页/共607页收益率唯一性判别（D氏符号判别）例例1.271.27例例1.281.28年符号转变次数0-10000一次1400025000
28、36300年符号转变次数0-100两次12302-132第99页/共607页再投资率本金的再投资问题本金的再投资问题l l例例1.291.29：有两个投资方案可供我们选择：有两个投资方案可供我们选择 A A方案：实质利率为方案：实质利率为10%10%，为期，为期5 5年年 B B方案：实质利率为方案：实质利率为8%8%，为期，为期1010年年我们应该选择哪项投资？我们应该选择哪项投资？第100页/共607页例1.29 资金积累过程第101页/共607页例1.29答案如果A五年后的再投资率6.036%,选择A。否则选择B。第102页/共607页利息的再投资问题（一）例1.30:某人一次性投资某人
29、一次性投资1010万元进基金万元进基金A A。该基金每年该基金每年年末按年末按7%7%的年实质利率返还利息，假如利息可的年实质利率返还利息，假如利息可按按5%5%实质利率再投资，问实质利率再投资，问1010年后这年后这1010万元的万元的积累金额等于多少？积累金额等于多少？第103页/共607页0 01 12 21010例1.30的积累过程-利息再投利息再投资帐户资帐户基金帐户基金帐户第104页/共607页例1.31答案第105页/共607页利息的再投资问题（二）例1.32（例1.31续）l l假如此人在假如此人在1010年期内每年年初都投资年期内每年年初都投资1 1万元进万元进基金基金A A
30、，本金按本金按7%7%年实质利率计息，而利息可年实质利率计息，而利息可按按5%5%实质利率再投资，那么第实质利率再投资，那么第1010年末该这年末该这1010万本金的积累金额又等于多少？万本金的积累金额又等于多少？第106页/共607页0 01 12 21010例1.32的积累过程-基金帐户基金帐户利息再投利息再投资帐户资帐户第107页/共607页基金收益率计算基本符号l lA=A=初始资金初始资金l lB=B=期末资金期末资金l lI=I=投资期内利息投资期内利息l lC Ct t=t=t时期的净投入（可正可负）时期的净投入（可正可负）l lC=C=ll 在在b b时刻投资时刻投资1 1元，
31、经过元，经过a a时期的时期的积累，产生的利息积累，产生的利息第108页/共607页币值加权方法第109页/共607页时间加权方法原理时间 012-m-1m投资C1C2C3Cm-1金额B0B1B2Bm-1Bm收益率j1j2j3jm-1jm第110页/共607页基本公式第111页/共607页例1.32某投资基金某投资基金l l1 1月月1 1日，投资日，投资100000100000元元l l5 5月月1 1日，该笔资金额增加到日，该笔资金额增加到112000112000元元,并再投并再投资资3000030000元元l l1111月月1 1日，该笔资金额降低为日，该笔资金额降低为125000125
32、000元，并抽元，并抽回投资回投资4200042000元。元。l l次年次年1 1月月1 1日，该资金总额为日，该资金总额为100000100000元。元。请分别用币值加权的方法和时间加权的方法计算这一年该投请分别用币值加权的方法和时间加权的方法计算这一年该投资基金的年收益率。资基金的年收益率。第112页/共607页例1.32答案第113页/共607页币值加权和时间加权的比较都是计算单位时期投资收益率的方法币值加权方法重点考察的是整个初始本金经过一个单位时期综合投资之后的实际受益率。时间加权方法得到的是在这种市场条件下能达到的理论收益率。它可以作为考察投资正确与否的某个指标。第114页/共60
33、7页第五节分期支付与偿债基金第115页/共607页第五节中英文单词对照分期偿还方法分期偿还方法分期偿还表分期偿还表偿债基金偿债基金偿债基金表偿债基金表Amortization methodAmortization methodAmortization scheduleAmortization scheduleSinking fundSinking fundSinking fund scheduleSinking fund schedule第116页/共607页债务偿还方式分期偿还：l l借款人在贷款期内，按一定的时间间隔，分期借款人在贷款期内，按一定的时间间隔，分期偿还贷款的本金和利息。偿还贷
34、款的本金和利息。偿债基金：l l借款人每期向贷款人支付贷款利息，并且按期借款人每期向贷款人支付贷款利息，并且按期另存一笔款项，建立一个基金，在贷款期满时另存一笔款项，建立一个基金，在贷款期满时这一基金恰好等于贷款本金，一次偿付给贷款这一基金恰好等于贷款本金，一次偿付给贷款者。者。第117页/共607页分期偿还常见分期偿还类型常见分期偿还类型l l等额分期偿还等额分期偿还l l不等额分期偿还不等额分期偿还 递增分期偿还递增分期偿还 递减分期偿还递减分期偿还分期偿还五要素分期偿还五要素l l时期时期 l l每次还款额每次还款额 l l每次偿还利息每次偿还利息l l每次偿还本金每次偿还本金l l未偿
35、还贷款余额未偿还贷款余额第118页/共607页分期偿还表（等额贷款为例）时期每次还款额每次偿还利息每次偿还本金贷款余额0-11k1n10总计n-第119页/共607页例1.33某借款人每月末还款一次，每次等额还款3171.52元，共分15年还清贷款。每年计息12次的年名义利率为5.04%。计算（1）第12次还款中本金部分和利息部分各为多少？（2）若此人在第18次还款后一次性偿还剩余贷款，问他需要一次性偿还多少钱？前18次共偿还了多少利息？第120页/共607页例1.33答案第121页/共607页偿债基金常见偿债基金类型常见偿债基金类型l l等额偿债基金等额偿债基金l l不等额偿债基金不等额偿债
36、基金偿债基金六要素偿债基金六要素l l时期时期 l l每期偿还利息每期偿还利息l l每次存入偿债基金金额每次存入偿债基金金额l l每期偿债基金所得利息每期偿债基金所得利息l l偿债基金积累额偿债基金积累额l l未偿还贷款余额未偿还贷款余额第122页/共607页偿债基金表（贷款利率（贷款利率i i，偿偿债基金利率债基金利率j j，贷款贷款1 1元）元）时期支付贷款利息每期偿债基金储蓄每期偿债基金利息偿债基金积累值未偿还贷款余额0-1102Kn10第123页/共607页偿债基金利息本金分析对偿债基金而言，第次付款的实际支付利息为：第次付款的实际偿还本金为：第124页/共607页例1.34A A曾借
37、款曾借款1 1万元万元,实质利率为实质利率为10%.10%.A A积累一笔实质利率为积累一笔实质利率为8%8%的的偿债基金一偿还这笔贷款偿债基金一偿还这笔贷款.在第在第1010年末偿债基金余额为年末偿债基金余额为50005000元元,在第在第1111年末年末A A支付总额为支付总额为15001500元元,问问15001500中又多少是当前支付给贷款的利息中又多少是当前支付给贷款的利息?15001500中有多少进入偿债基金中有多少进入偿债基金?15001500中又多少应被认为是利息中又多少应被认为是利息?15001500中有多少应被视为本金中有多少应被视为本金?第第1111年末的偿债基金余额为多
38、少年末的偿债基金余额为多少?第125页/共607页例1.34答案第126页/共607页例1.35(1)(1)一位借款人向贷款人借一位借款人向贷款人借L L元贷款元贷款,在在1010年内以每年年末付年内以每年年末付款来偿还这一实质利率为款来偿还这一实质利率为5%5%的贷款的贷款,其付款方式为其付款方式为:第一年付第一年付款款200200元元,第二年付第二年付190190元元,如此递减至第如此递减至第1010年末付年末付110110元元.求求贷款金额贷款金额L.L.(2)(2)假如该借款人贷款年限与付款方式与假如该借款人贷款年限与付款方式与(1)(1)相同相同,但采用偿债但采用偿债基金形式还清贷款
39、基金形式还清贷款.在还款期内该借款人向贷款人每年支付实在还款期内该借款人向贷款人每年支付实质利率为质利率为6%6%的利息的利息,并以实质利率为并以实质利率为5%5%的偿债基金以偿还贷的偿债基金以偿还贷款金额款金额,求贷款金额求贷款金额L.L.第127页/共607页例1.35答案第128页/共607页第二章生命表函数与生命表构造第129页/共607页本章重点生命表函数生命表函数l l生存函数生存函数l l剩余寿命剩余寿命l l死亡效力死亡效力生命表的构造生命表的构造l l有关寿命分布的参数模型有关寿命分布的参数模型l l生命表的起源生命表的起源l l生命表的构造生命表的构造l l选择与终极生命表
40、选择与终极生命表有关分数年龄的三种假定有关分数年龄的三种假定第130页/共607页本章中英文单词对照死亡年龄死亡年龄生命表生命表剩余寿命剩余寿命整数剩余寿命整数剩余寿命死亡效力死亡效力极限年龄极限年龄选择与终极生命表选择与终极生命表Age-at-deathAge-at-deathLife tableLife tableTime-until-deathTime-until-deathCurtate-future-lifetimeCurtate-future-lifetimeForce of mortalityForce of mortalityLimiting ateLimiting ateSe
41、lect-and-ultimate Select-and-ultimate tablestables第131页/共607页第一节生命表函数第132页/共607页生存函数定义意义：新生儿能活到 岁的概率。与分布函数的关系：与密度函数的关系：新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率：第133页/共607页剩余寿命定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。分布函数 ：第134页/共607页剩余寿命剩余寿命的生存函数 ：特别：第135页/共607页剩余寿命 ：x岁的人至少能活到x+1岁的概率 ：x岁的人将在1年内去世的概率 ：X岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间
42、去世的概率 第136页/共607页整值剩余寿命定义：未来存活的完整年数，简记概率函数第137页/共607页剩余寿命的期望与方差期望剩余寿命：期望剩余寿命：剩余寿命的期望值剩余寿命的期望值(均值均值),),简记简记剩余寿命的方差剩余寿命的方差第138页/共607页整值剩余寿命的期望与方差期望整值剩余寿命：期望整值剩余寿命：整值剩余寿命的期望值整值剩余寿命的期望值(均值均值),),简记简记整值剩余寿命的方差整值剩余寿命的方差第139页/共607页死亡效力定义：的瞬时死亡率，简记死亡效力与生存函数的关系第140页/共607页死亡效力死亡效力与密度函数的关系死亡效力与密度函数的关系死亡效力表示剩余寿命
43、的密度函数死亡效力表示剩余寿命的密度函数第141页/共607页第二节生命表的构造第142页/共607页有关寿命分布的参数模型 De MoivreDe Moivre模型模型(1729)(1729)GompertzeGompertze模型模型(1825)(1825)第143页/共607页有关寿命分布的参数模型 MakehamMakeham模型模型(1860)(1860)WeibullWeibull模型模型(1939)(1939)第144页/共607页参数模型的问题至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四个常用至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四个常用模型的拟合效果不令人满意。模型的
44、拟合效果不令人满意。使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。第145页/共607页生命表起源生命表的定义生命表的定义l l根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表每个年龄死亡率所组成的
45、汇总表.生命表的发展历史生命表的发展历史l l16621662年年,Jone Graunt,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过生命表的自然和政治观察。这是生命表的最早起写过生命表的自然和政治观察。这是生命表的最早起源。源。l l16931693年，年，Edmund Halley,Edmund Halley,根据根据BreslauBreslau城出生与下葬统计城出生与下葬统计表对人类死亡程度的估计，在文中第一次使用了生命表表对人类死亡程度的估计，在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因而把的形式给出了人类死亡年龄的
46、分布。人们因而把HalleyHalley称为称为生命表的创始人。生命表的创始人。生命表的特点生命表的特点l l构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参数方法）布假定（非参数方法）第146页/共607页生命表的构造原理原理l l在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群的生存概率。（用频数估计频率）的生存概率。（用频数估计频率）常用符号常用符号l l新生生命组个体数：新生生命组个体数：l l年龄：年龄：l l极限年龄：极限年龄：第147页/共607页生命表的构造 个新生生命能生存
47、到年龄个新生生命能生存到年龄X X的期望个数：的期望个数：个新生生命中在年龄个新生生命中在年龄x x与与x+nx+n之间死亡的期望之间死亡的期望个数：个数：特别：特别：n=1n=1时，记作时，记作第148页/共607页生命表的构造 个新生生命在年龄个新生生命在年龄x x至至x+tx+t区间共存活年数：区间共存活年数：个新生生命中能活到年龄个新生生命中能活到年龄x x的个体的剩余寿命总数：的个体的剩余寿命总数：第149页/共607页生命表实例（美国全体人口生命表实例（美国全体人口生命表）生命表）年龄区间死亡比例期初生存数期间死亡数在年龄区间共存活年数剩余寿命总数期初存活者平均剩余寿命天0-1.0
48、0463100000463273738775873.881-7.00246995372451635738748574.227-28.00139992921385708738585074.38年0-1.0126010000126098973738775873.881-2.00093987409298694728878573.822-3.00065986486498617719009172.89第150页/共607页例2.1：已知 计算下面各值：（1 1）（2 2）2020岁的人在岁的人在50555055岁死亡的概率。岁死亡的概率。（3 3）该人群平均寿命。）该人群平均寿命。第151页/共607页
49、例2.1答案第152页/共607页选择-终极生命表选择-终极生命表构造的原因l l需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体检的需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体检的新成员的健康状况会优于很早以前接受体检的新成员的健康状况会优于很早以前接受体检的老成员。老成员。l l需要构造终极生命表的原因：选择效力会随时需要构造终极生命表的原因：选择效力会随时间而逐渐消失间而逐渐消失选择-终极生命表的使用第153页/共607页选择-终极表实例x选择表终极表70.0175.0249.0313.0388.0474.0545 7571.0191.0272.0342.0424.0518.0596 7672.0209.0
50、297.0374.0463.0566.0652 7773.0228.0324.0409.0507.0620.0714 7874.0249.0354.0447.0554.0678.0781 7975.0273.0387.0489.0607.0742.0855 8076.0298.0424.0535.0664.0812.0936 8177.0326.0464.0586.0727.0889.1024 82第154页/共607页第三节有关分数年龄的假设 第155页/共607页有关分数年龄的假设 使用背景使用背景:l l生命表提供了整数年龄上的寿命分布生命表提供了整数年龄上的寿命分布,但有时我们需要分数