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1、10 二 次 函 数教材分析二次函数是重要的基本函数之一，由于它存在最值，因此，其单调性在实际问题中有广泛的应用，并且它与前面学过的二次方程有密切联系，又是后面学习解一元二次不等式的基础二次函数在初中学生已学过，主要是定义和解析式，这里，在此基础上，接着学习二次函数的性质与图像，进而使学生对二次函数有一个比较完整的认识本节先研究特殊的二次函数yax2，（a0）的图像与a值的关系，这可通过a在0的附近取值画图观察得到然后，通过一个实例，如yx24x6，研讨二次函数的性质与图像最后，总结出一般性结论这节内容的重点是二次函数的性质，即顶点坐标、对称轴方程、二次函数的单调性及其图像，难点是用配方法把y
2、ax2bxc的形式转化为ya（xh）2k的形式教学目标1. 通过一个例子研究二次函数的图像和性质，得到一般性结论，培养学生归纳、抽象能力2. 掌握二次函数的概念、表达式、图像与性质会用配方法解决有关问题，能熟练地求二次函数的最值3. 能初步运用二次函数解决一些实际问题，培养学生分析问题和解决问题的能力任务分析学习这节内容时要先复习一下学生初中学过的二次函数的有关问题为了得到yax2，（a0）的图像与a的关系以及二次函数yax2bxc的性质，这里遵循由特例到一般的原则，充分利用图像的直观性，以便学生接受在这一过程中，应讲明配方法的操作过程教学设计一、复习引申1. 什么是二次函数？2. 在同一坐标
3、系中作出下列函数的图像（1）y3x2（2）y2x2（3）yx2（4）y0.5x2（5）0.5x2 （6）yx2（7）y2x2 （8）y3x23. 学生讨论：函数yax2中系数a的取值与它的图像形状有何关系？4. 教师明晰：在a从3逐渐变化到3的过程中，抛物线开口向下并逐渐变大，当a0时，y0，抛物线变为x轴，然后抛物线开口向上，并逐渐变小二、问题情境已知二次函数f（x）x24x6（1）求它与x轴的交点坐标（2）问：它有没有最值？若有最大（小）值，最大（小）值是多少？试求出此时对应的自变量的值（3）画出它的图像（4）它的图像有没有对称轴？如果有，位置如何？（5）确定函数的单调区间1. 先让学生独
4、立解答问题1，然后师生共同确定答案（1）令y0，即x24x6，解得x16，x22与轴交于两点（6，0），（2，0）（2）将原式配方，得f（x）x24x6（x28x12）（x28x161612）（x4）22对任意xR，都有（x4）20，f（x）2，当且仅当x4时，取“”号函数有最小值是2，记作ymin2，此时x4（3）以x4为中间值，取x的一些值列表如下：表10-17654321020描点，画图（4）由上表及图像推测：二次函数f（x）的图像存在对称轴，并且对称轴过点（4，2），与y轴平行（5）观察图像知：二次函数f（x）在（，4上是减函数，在（4，）上是增函数2. 相关问题（1）对称轴与图像（抛
5、物线）的交点叫抛物线的顶点，函数f（x）x24x6的顶点坐标是（4，2）（2）如果将过点（x1，0）平行于轴的直线记作xx1，则函数f（x）x24x6的对称轴为x4（3）把f（x）x24x6转化为f（x）（x4）22，采用的是“配方法”（4）思考：怎样证明函数f（x）x24x6的图像关于直线x4对称？提示：证明f（4h）f（4h）（5）类似地，再对二次函数f（x）x24x3研讨上面四个方面的问题三、建立模型对任何二次函数yf（x）ax2bxc，（a0）都可以通过配方法化为ya（x）2的形式，并且有如下性质：1. 二次函数f（x）ax2bxc，（a0）的图像是一条抛物线，对称轴方程为x，顶点坐标
6、是（，）2. （1）当a0时，抛物线开口向上，函数在（，上递减，在，）上递增，当x时，f（x）min（2）当a0时，抛物线开口向下，函数在（，上递增，在，）上递减，当x时，f（x）max思考：（1）二次函数的图像一定与x轴或y轴相交吗？（2）函数y（x1）22，x2，3的最小值是2吗？四、解释应用例题1. 求函数y3x22x1的最小值和它的图像的对称轴，并指出它的单调性注：可利用上面的性质直接写出答案2. 某商品在最近一个月内价格f（t）与时间t的函数关系式是f（t）22，（0t30，tN），售量g（t）与时间t的函数关系是g（t），（0t30，tN）求这种商品的日销售额的最大值解：设该商品的
7、日销售额为S，则tN，当t10或t11时，Smax808.5答：这种商品日销额的最大值是808.5注：本题是应用题，自变量tN，不能使练习1. 已知函数f（x）x22x3，不计算函数值，试比较f（2）和f（4），f（3）和f（3）的大小2. 二次函数yf（x）满足f（1x）f（1x），且方程f（x）0有两个实根x1，x2，求x1x23. 已知函数f（x）2x2（a1）x3在2，）上递增，求a的取值范围4. 抛物线yax2bx与直线yaxb，（ab0）的图像（如下图）只可能是（）四、拓展延伸1. 如果已知二次函数的图像（抛物线）的顶点坐标为（h，k），那么它的解析表达式如何？如果已知二次函数的图
8、像（抛物线）与x轴的交点坐标为（x1，0），（x2，0），它的解析表达式又如何？2. 用函数单调性的定义研究f（x）ax2bxc，（a0）的单调性3. 证明函数f（x）ax2bxc，（a0）的图像关于直线x对称点评这篇案例讲述了两个方面的知识点，一是特殊的二次函数yax2，（a0）的图像随值变化的规律性，二是二次函数的性质与图像设计恰当，重点突出，即重点讲解二次函数的性质与图像遵循由特殊到一般、由具体到抽象的原则，使结论便于被学生理解例题与练习的选配难易适中，代表广泛，并有利于巩固本课重点知识拓展延伸中提出的三个问题都是二次函数的重要特征，实用性强，并且所得结论对解决有关问题能起到事半功倍的效果