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1、精选优质文档-倾情为你奉上2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）专题58：开放探究型问题一、填空题1. （2012陕西省3分）在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数的图象无公共点，则这个反比例函数的表达式是 （只写出符合条件的一个即可）【答案】（答案不唯一）。【考点】开放型问题，反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程根与系数的关系。【分析】设反比例函数的解析式为：， 联立和，得，即一次函数与反比例函数 图象无公共点，0，即，解得k 。只要选择一个大于的k值即可。如k=5，这个反比例函数的表达式是（答案不唯一）。2. （2012广东湛江4分） 请写出一
2、个二元一次方程组 ，使它的解是【答案】（答案不唯一）。【考点】二元一次方程的解。【分析】根据二元一次方程解的定义，围绕列一组等式，例如： 由xy=2（1）=1得方程xy=1；由xy=2（1）=3得方程xy=3； 由x2y=22（1）=0得方程x2y=0；由2xy=4（1）=3得方程2xy=3；等等， 任取两个组成方程组即可，如（答案不唯一）。3. （2012广东梅州3分）春蕾数学兴趣小组用一块正方形木板在阳光做投影实验，这块正方形木板在地面上形成的投影是可能是 （写出符合题意的两个图形即可）【答案】正方形、菱形（答案不唯一）。【考点】平行投影。【分析】根据平行投影的特点：在同一时刻，平行物体的
3、投影仍旧平行。所以，在同一时刻，这块正方形木板在地面上形成的投影是平行四边形或特殊的平行四边形，例如，正方形、菱形（答案不唯一）。4. （2012浙江衢州4分）试写出图象位于第二、四象限的一个反比例函数的解析式 【答案】（答案不唯一）。【考点】反比例函数的性质。【分析】位于二、四象限的反比例函数比例系数k0，据此写出一个函数解析式即可，如（答案不唯一）。5. （2012江苏盐城3分）如图,在四边形中,已知,.在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形,只需再加上的一个条件是 .(填上你认为正确的一个答案即可)【答案】A=90（答案不唯一）。【考点】矩形的判定。【分析】由已知，根据对边平行
4、且相等的四边形是平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，从而在不添加任何辅助线的前提下，根据矩形的判定写出一个内角是直角或相邻两角相等或对角互补即可。例如，A=90（答案不唯一）。6. （2012广东河源4分）春蕾数学兴趣小组用一块正方形木板在阳光下做投影实验，这块正方形木板在地面上形成的投影可能是 (写出符合题意的两个图形即可)【答案】正方形、菱形（答案不唯一）。【考点】平行投影。【分析】根据平行投影的特点：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行。所以，在同一时刻，这块正方形木板在地面上形成的投影是平行四边形或特殊的平行四边形，例如，正方形、菱形（答案不唯一）。7. （2012福建三明4分）如图
5、，在ABC中，D是BC边上的中点，BDE=CDF，请你添加一个条件，使DE=DF成立你添加的条件是 (不再添加辅助线和字母)【答案】B=C（答案不唯一）。【考点】全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，邻补角的性质。【分析】在BDE和CDF中，已有BD=CD和BDE=CDF，只要添加一角相等即可由ASA或AAS证得BDECDF，从而证得DE=DF成立。故可添加B=C或BED=CFD；也可添加AB=AC，根据等腰三角形等边对等角的性质得B=C；也可添加AED=AFD，根据邻补角的性质得BED=CFD等。答案不唯一。8. （2012湖南娄底4分）写出一个x的值，使|x1|=x1成立，你写出的x的
6、值是 【答案】2（答案不唯一）。【考点】开放型，绝对值。【分析】根据非负数的绝对值等于它本身，那么可得x10，解得x1。故答案可是2（答案不唯一）。9. （2012湖南郴州3分）如图，D、E分别是ABC的边AB、AC上的点，连接DE，要使ADEACB，还需添加一个条件 （只需写一个）【答案】ADE=C（答案不唯一）。【考点】相似三角形的判定，开放题。【分析】A是公共角，当ADE=C或AED=B时，ADEACB（有两角对应相等的三角形相似）；当AD：AC=AE：AB或ADAB=AEAC时，ADEACB（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似）。要使ADEACB，还需添加一个条件：答案不
7、唯一，如ADE=C或AED=B或AD：AC=AE：AB或ADAB=AEAC等。10. （2012湖南湘潭3分）如图，ABC的一边AB是O的直径，请你添加一个条件，使BC是O的切线，你所添加的条件为 【答案】ABC=90（答案不唯一）。【考点】开放型，切线的判定。【分析】根据切线的判定方法知，能使BC成为切线的条件就是能使AB垂直于BC的条件，从而得出答案即可： 当ABC为直角三角形时，即ABC=90时，BC与圆相切。故添加的条件可以是ABC=90，或ABBC等，答案不唯一。11. （2012四川达州3分）写一个比小的整数 .【答案】2（答案不唯一）。【考点】实数大小比较，估算无理数的大小。【分
8、析】134，。符合条件的数可以是：2（答案不唯一）。12. （2012四川绵阳4分）如图，BC=EC，1=2，要使ABCDEC，则应添加的一个条件为 （答案不唯一，只需填一个）。【答案】AC=DC（答案不唯一）。【考点】开放型，全等三角形的判定【分析】由1=2，求出BCA=ECD，又BC=EC，根据SAS可添加的条件为AC=DC；根据ASA可添加的条件为B=E；根据AAS可添加的条件为A=D。只需填一个即可。13. （2012贵州安顺4分）如图，1=2，添加一个条件 使得ADEACB【答案】D=C（答案不唯一）。【考点】开放型，相似三角形的判定。【分析】1=2，1+BAE=2+BAE，即DAE
9、=CAB。当D=C或E=B或时，ADEACB（答案不唯一）。14. （2012山东滨州4分）根据你学习的数学知识，写出一个运算结果为a6的算式 【答案】a4a2=a6（答案不唯一）。【考点】幂的运算。【分析】根据幂的乘方与积的乘方，同底数乘法，同底数幂的除法的运算法则写出一个即可：如a4a2=a6（答案不唯一）。15. （2012山东淄博4分）一个三位数，其各位上的三个数字的平方和等于其中两个数字乘积的2倍，请写出符合上述条件的一个三位数 .【答案】101（答案不唯一）。【考点】列方程，代数式变形，非负数的性质。【分析】设三位数各位上的数字为x，y，z，则根据题意，得，即。 根据非负数的性质，
10、得x=y且z=0。 符合上述条件的三位数可以是101，110，202，220，。16. （2012云南省3分）定出一个大于2小于4的无理数： .【答案】（答案不唯一）。【考点】开放型，无理数。【分析】求的一个无理数要大于2小于4，通常把有理数写入根号，比较得出结果： ，。也可以填，等。17. （2012新疆区5分）请你写出一个主视图与左视图相同的立体图形是 【答案】圆柱（答案不唯一）【考点】开放型，简单几何体的三视图。【分析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形，所以主视图与左视图相同的立体图形有圆柱（主视图与左视图都为长方形），圆锥（主视图与左视图都为三角形），球（主视图与左
11、视图都为圆）等，（答案不唯一）。18. （2012吉林省3分）如图，AB是O的直径，BC为O的切线，ACB=40，点P在边BC上，则PAB的度数可能为_ _（写出一个符合条件的度数即可）【答案】30（答案不唯一）。【考点】开放型，切线的性质，直角三角形两锐角的关系。 【分析】AB是O的直径，BC为O的切线，ABBC。ABC=90。ACB=40（已知），CAB=50（直角三角形的两个锐角互余）。又点P在边BC上，0PABCAB。00PAB50，故只要写出在到间的一个角即可。19. （2012内蒙古赤峰3分）存在两个变量x与y，y是x的函数，该函数同时满足两个条件：图象经过（1，1）点；当x0时，
12、y随x的增大而减小，这个函数的解析式是 （写出一个即可）【答案】（答案不唯一）。【考点】函数和图象，一次函数，反比例函数和二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】根据题意，函数可以是一次函数，反比例函数或二次函数。例如设此函数的解析式为（k0），此函数经过点（1，1），k=1。此函数可以为：。设此函数的解析式为（k0），此函数经过点（1，1）， k0。此函数可以为：。设此函数的解析式为，此函数经过点（1，1），。此函数可以为：。二、解答题1. （2012山西省12分）问题情境：将一副直角三角板（RtABC和RtDEF）按图1所示的方式摆放，其中ACB=90，CA=CB，FDE=90
13、，O是AB的中点，点D与点O重合，DFAC于点M，DEBC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法：解：OM=ON，证明如下：连接CO，则CO是AB边上中线，CA=CB，CO是ACB的角平分线（依据1）OMAC，ONBC，OM=ON（依据2）反思交流：（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1： 依据2： （2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程拓展延伸：（3）将图1中的RtDEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于
14、点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程【答案】（1）解：等腰三角形三线合一（或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）；角平分线上的点到角的两边距离相等。（2）证明：CA=CB，A=B。O是AB的中点，OA=OB。DFAC，DEBC，AMO=BNO=90。在OMA和ONB中，A=B，OA=OB，AMO=BNO，OMAONB（AAS）。OM=ON。（3）解：OM=ON，OMON。理由如下：连接CO，则CO是AB边上的中线。ACB=90，OC=AB=OB。又CA=CB，CAB=B=45，1=2=45，AOC=BOC=90。2=B。BNDE，
15、BND=90。又B=45，3=45。3=B。DN=NB。ACB=90，NCM=90。又BNDE，DNC=90。四边形DMCN是矩形。DN=MC。MC=NB。MOCNOB（SAS）。OM=ON，MOC=NOB。MOCCON=NOBCON，即MON=BOC=90。OMON。【考点】等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质。【分析】（1）根据等腰三角形和角平分线的性质直接作答。（2）利用AAS证明OMAONB即可。（3）利用SAS证明MOCNOB即可得到OM=ON，MOC=NOB。通过角的等量代换即可得MON=BOC=90，而得到OMON。2. （2012浙江衢州1
16、2分）如图，把两个全等的RtAOB和RtCOD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）若AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），AOB在平移过程中与COD重叠部分面积记为S试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由
17、【答案】解：（1）抛物线y=ax2+bx+c经过点O，c=0。又抛物线y=ax2+bx+c经过点A、C，解得。抛物线解析式为。（2）设点P的横坐标为t，PNCD，OPNOCD，可得PN=。P（t，）。点M在抛物线上，M（t，）。如图1，过M点作MGAB于G，过P点作PHAB于H，AG=yAyM=2， BH=PN=。当AG=BH时，四边形ABPM为等腰梯形，化简得3t28t+4=0。解得t1=2（不合题意，舍去），t2=，点P的坐标为（）。存在点P（），使得四边形ABPM为等腰梯形。（3）如图2，AOB沿AC方向平移至AOB，AB交x轴于T，交OC于Q，AO交x轴于K，交OC于R。 由A、C的坐
18、标可求得过A、C的直线为yAC=x+3设点A的横坐标为a，则点A（a，a+3），易知OQTOCD，可得QT=。点Q的坐标为（a，）。设AB与OC相交于点J，ARQAOJ，相似三角形对应高的比等于相似比，。KT=AT=（3a），AQ=yAyQ=（a+3）=3a。S四边形RKTQ=SAKTSARQ=KTATAQHT。0，在线段AC上存在点A（），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为。【考点】二次函数综合题，二次函数的图象和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值，等腰梯形的性质，相似三角形的判定和性质，图形平移的性质以及几何图形面积的求法。【分析】（1）抛物线y=ax2+bx
19、+c经过点O、A、C，利用待定系数法求抛物线的解析式。（2）根据等腰梯形的性质，确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系，得到一元二次方程，求出t的值，从而可解。结论：存在点P（），使得四边形ABPM为等腰梯形。（3）求出得重叠部分面积S的表达式，然后利用二次函数的极值求得S的最大值。3. （2012浙江义乌12分）如图1，已知直线y=kx与抛物线交于点A（3，6）（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值
20、？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足BAE=BED=AOD继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？【答案】解：（1）把点A（3，6）代入y=kx 得；6=3k，即k=2。 y=2x。（2）线段QM与线段QN的长度之比是一个定值，理由如下：如图1，过点Q作QGy轴于点G，QHx轴于点H当QH与QM重合时，显然QG与QN重合，此时。当QH与QM不重合时，QNQM，QGQH不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上，MQH=GQN。又QHM=QGN
21、=90，QHMQGN。当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得。线段QM与线段QN的长度之比是一个定值。（3）如图2，延长AB交x轴于点F，过点F作FCOA于点C，过点A作ARx轴于点R。AOD=BAE，AF=OF。OC=AC=。ARO=FCO=90，AOR=FOC，AORFOC。OF=。点F（，0）。设点B（x，），过点B作BKAR于点K，则AKBARF。，即。解得x1=6，x2=3（舍去）。点B（6，2）。BK=63=3，AK=62=4。AB=5。在ABE与OED中，BAE=BED，ABE+AEB=DEO+AEB。ABE=DEO。BAE=EOD，ABEOED。设OE=x，则AE=x
22、（），由ABEOED得，即。顶点为。如图3，当时，OE=x=，此时E点有1个；当时，任取一个m的值都对应着两个x值，此时E点有2个当时，E点只有1个，当时，E点有2个。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质。【分析】（1）利用待定系数法求出直线y=kx的解析式，根据A点坐标用勾股定理求出线段OA的长度。（2）如图1，过点Q作QGy轴于点G，QHx轴于点H，构造相似三角形QHM与QGN，将线段QM与线段QN的长度之比转化为相似三角形的相似比，即为定值需要注意讨论点的位置不同时，这个结论依然成立。（3）由已知条件角的相等关系BA
23、E=BED=AOD，可以得到ABEOED。在相似三角形ABE与OED中，运用线段比例关系之前需要首先求出AB的长度，如图2，可以通过构造相似三角形，或者利用一次函数（直线）的性质求得AB的长度。设OE=x，则由相似边的比例关系可以得到m关于x的表达式，这是一个二次函数借助此二次函数图象（如图3），可见m在不同取值范围时，x的取值（即OE的长度，或E点的位置）有1个或2个。这样就将所求解的问题转化为分析二次函数的图象与性质问题。4. （2012浙江义乌6分）如图，在ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF添加一个条件，使得BDFCDE，并加以证
24、明你添加的条件是 （不添加辅助线）【答案】解：添加的条件是：DE=DF（或CEBF或ECD=DBF或DEC=DFB等）。 以添加DE=DF证明：在BDF和CDE中，BD=CD（已知），EDC=FDB（对项角相等），DE=DF（添加），BDFCDE（SAS）。【考点】全等三角形的判定。【分析】由已知BD=CD，又EDCFDB，因为三角形全等条件中必须是SSS，SAS，ASAA或AAS，故添加的条件是：DE=DF（或CEBF或ECD=DBF或DEC=DFB等）。5. （2012浙江宁波10分）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱
25、形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形如图1，ABCD中，若AB=1，BC=2，则ABCD为1阶准菱形（1）判断与推理：邻边长分别为2和3的平行四边形是 阶准菱形；小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F，得到四边形ABFE请证明四边形ABFE是菱形（2）操作、探究与计算：已知ABCD的邻边长分别为1，a（a1），且是3阶准菱形，请画出ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；已知ABCD的邻边长分别为a，b（ab），满足a=6b+r，b=5r，请写
26、出ABCD是几阶准菱形【答案】解：（1）2。由折叠知：ABE=FBE，AB=BF，四边形ABCD是平行四边形，AEBF。AEB=FBE。AEB=ABE。AE=AB。AE=BF。四边形ABFE是平行四边形。四边形ABFE是菱形。（2）如图所示：a=6b+r，b=5r，a=65r+r=31r。如图所示，故ABCD是10阶准菱形。【考点】图形的剪拼，平行四边形的性质，平行的性质，菱形的性质，作图（应用与设计作图）。【分析】（1）根据邻边长分别为2和3的平行四边形进过两次操作即可得出所剩四边形是边长为1菱形，故邻边长分别为2和3的平行四边形是2阶准菱形。根据平行四边形的性质得出AEBF，从而得出AE=
27、BF，即可得出答案。 （2）利用3阶准菱形的定义，即可得出答案。根据a=6b+r，b=5r，用r表示出各边长，从而利用图形得出ABCD是几阶准菱形。7. （2012江苏苏州10分）如图，已知抛物线（b是实数且b2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C. 点B的坐标为 ，点C的坐标为 （用含b的代数式表示）；请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得QCO、QOA和QAB中的任意两个三角形均相似
28、（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.【答案】解：（1）B（b，0），C（0，）。（2）假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形。 设点P坐标（x，y），连接OP， 则。过P作PDx轴，PEy轴，垂足分别为D、E，PEO=EOD=ODP=90。四边形PEOD是矩形。EPD=90。PBC是等腰直角三角形，PC=PB，BPC=90。EPC=BPD。PECPDB（AAS）。PE=PD，即x=y。由 解得，。由PECPDB得EC=DB，即，解得符合题意。点P坐标为（，）。（3）假设存在这样的点Q，使得QC
29、O、QOA和QAB中的任意两个三角形均相似. QAB=AOQ+AQO，QABAOQ，QABAQO.要使得QOA和QAB相似，只能OAQ=QAB=90，即QAx轴。b2，ABOA. QOAQBA，QOA=AQB，此时OQB =90。由QAx轴知QAy轴，COQ=OQA。要使得QOA和OQC相似，只能OCQ=90或OQC=90。（）当OCQ=90时，QOAOQC，AQ=CO=。 由 得：，解得：。b2，。点Q坐标为（1，）.（）当OQC=90时，QOAOCQ，即。又，即，解得：AQ=4此时b=172符合题意。点Q坐标为（1，4）。综上可知：存在点Q（1，）或（1，4），使得QCO、QOA和QAB中
30、的任意两个三角形均相似。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）令y=0，即，解关于x的一元二次方程即可求出A，B横坐标，令x=0，求出y的值即C的纵坐标。（2）存在，先假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形设点P的坐标为（x，y），连接OP，过P作PDx轴，PEy轴，垂足分别为D、E，利用已知条件证明PECPDB，进而求出x和y的值，从而求出P的坐标。（3）存在，假设存在这样的点Q，使得QCO，QOA和QAB中的任意
31、两个三角形均相似，由条件可知：要使QOA与QAB相似，只能QAO=BAQ=90，即QAx轴；要使QOA与OQC相似，只能QCO=90或OQC=90。再分别讨论求出满足题意Q的坐标即可。8. （2012江苏连云港12分）已知梯形ABCD，ADBC，ABBC，AD1，AB2，BC3，问题1：如图1，P为AB边上的一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？问题2：如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由问题3：若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使D
32、EPD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由问题4：如图3，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AEnPA(n为常数)，以PE、PB为边作平行四边形PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由【答案】解：问题1：对角线PQ与DC不可能相等。理由如下：四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，DPC90。AD1，AB2，BC3，DC2。设PBx，则AP2x，在RtDPC中，PD2PC2DC2，即x232(2x)2128，化
33、简得x22x30，(2)241380，方程无解。不存在PBx，使DPC90。对角线PQ与DC不可能相等。问题2：存在。理由如下：如图2，在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，则G是DC的中点。过点Q作QHBC，交BC的延长线于H。ADBC，ADCDCH，即ADPPDGDCQQCH。PDCQ，PDCDCQ。ADPQCH。又PDCQ，RtADPRtHCQ（AAS）。ADHC。AD1，BC3，BH4，当PQAB时，PQ的长最小，即为4。问题3：存在。理由如下：如图3，设PQ与DC相交于点G，PECQ，PDDE，。G是DC上一定点。作QHBC，交BC的延长线于H，同理可证ADPQCH，
34、RtADPRtHCQ。AD1，CH2。BHBGCH325。当PQAB时，PQ的长最小，即为5。问题4：如图3，设PQ与AB相交于点G，PEBQ，AEnPA，。G是DC上一定点。作QHPE，交CB的延长线于H，过点C作CKCD，交QH的延长线于K。ADBC，ABBC，DQHC，DAPPAGQBHQBG90PAGQBG，QBHPAD。ADPBHQ，AD1，BHn1。CHBHBC3n1n4。过点D作DMBC于M，则四边形ABND是矩形。BMAD1，DMAB2。CMBCBM312DM。DCM45。KCH45。CKCHcos45 (n4)，当PQCD时，PQ的长最小，最小值为 (n4)。【考点】反证法，
35、相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形、矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质。【分析】问题1：四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，然后利用矩形的性质，设PBx，可得方程x232(2x)218，由判别式0，可知此方程无实数根，即对角线PQ，DC的长不可能相等。 问题2：在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，可得G是DC的中点，过点Q作QHBC，交BC的延长线于H，易证得RtADPRtHCQ，即可求得BH4，则可得当PQAB时，PQ的长最小，即为4。问题3：设PQ与DC相交于点G，
36、PECQ，PDDE，可得，易证得RtADPRtHCQ，继而求得BH的长，即可求得答案。问题4：作QHPE，交CB的延长线于H，过点C作CKCD，交QH的延长线于K，易证得与ADPBHQ，又由DCB45，可得CKH是等腰直角三角形，继而可求得CK的值，即可求得答案。9. （2012江苏盐城10分）如图所示,已知、为直线上两点,点为直线上方一动点,连接、,分别以、为边向外作正方形和正方形,过点作于点,过点作于点.(1)如图,当点恰好在直线上时(此时与重合),试说明；(2)在图中,当、两点都在直线的上方时,试探求三条线段、之间的数量关系,并说明理由；(3)如图,当点在直线的下方时,请直接写出三条线段
37、、之间的数量关系.(不需要证明)【答案】解：（1）在正方形中,， ， 。 又, 。又四边形为正方形，。在与中,，。（2）。理由如下：过点作，垂足为，由（1）知：，。,，。 （3） 。【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】（1）由四边形、是正方形，可得，又由同角的余角相等，求得，然后利用证得，根据全等三角形的对应边相等，即可得。（2）首先过过点作，由（1）可得，。从而得到,，因此。（3）。理由如下：过点作，垂足为，由（1）。在和中，。同理：。10. （2012福建龙岩14分）在平面直角坐标系xoy中， 一块含60角的三角板作如图摆放，斜边 AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，
38、已知点A（1，0） （1）请直接写出点B、C的坐标：B（ ， ）、C（ ， ）；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式； （2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中EDF=90，DEF=60），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C 此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点M 设AE=x，当x为何值时，OCEOBC； 在的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使PEM是等腰三角形，若存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）B（3，0），C（0，）。 A（1，0）B（3，0）可设过A、B、C三点的抛物线为 。 又
39、C（0，）在抛物线上，解得。经过A、B、C三点的抛物线解析式 即。（2）当OCEOBC时，则。 OC=， OE=AEAO=x1， OB=3，。x=2。 当x=2时，OCEOBC。 存在点P。 由可知x=2，OE=1。E（1，0）。 此时，CAE为等边三角形。 AEC=A=60。又CEM=60， MEB=60。 点C与点M关于抛物线的对称轴对称。 C（0，），M（2，）。 过M作MNx轴于点N（2，0），MN=。 EN=1。 。若PEM为等腰三角形，则：)当EP=EM时, EM=2，且点P在直线x=1上，P(1，2)或P（1，2）。 ）当EM=PM时，点M在EP的垂直平分线上，P(1，2) 。
40、）当PE=PM时，点P是线段EM的垂直平分线与直线x=1的交点，P(1，) 综上所述，存在P点坐标为（1，2）或（1，2）或（1，2）或（1，）时，EPM为等腰三角形。【考点】二次函数综合题，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，相似三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定。【分析】（1）由已知，根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求出OC和AB的长，从而求得点B、C的坐标。设定交点式，用待定系数法，求得抛物线解析式。（2）根据相似三角形的性质，对应边成比例列式求解。 求得EM的长，分EP=EM， EM=PM
41、和PE=PM三种情况求解即可。11. （2012福建漳州12分）已知抛物线y=x2 + 1(如图所示) (1)填空：抛物线的顶点坐标是(_，_)，对称轴是_； (2)已知y轴上一点A(0，2)，点P在抛物线上，过点P作PBx轴，垂足为B若PAB是等边三角形，求点P的坐标； (3)在(2)的条件下，点M在直线AP上在平面内是否存在点N，使四边形OAMN为菱形?若存在，直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）顶点坐标是（0，1），对称轴是y轴（或x=0）。（2）PAB是等边三角形， ABO=9060=30。AB=2OA=4。PB=4。把y=4代入y=x2+1，得 x=。点P的坐标为（，4）或（ ，4）。（3）存在。所有满足条件的点N的坐标为 (，1)， (-，-1)， (-，1)， (，-1)。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，等边三角形的性质，菱形的判定。【分析】（1）根据函数的解析式直接写出其顶点坐标和对