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1、第四章：频域图像增强第四章：频域图像增强4.1频域滤波基础频域滤波基础任何周期函数可以表示为任何周期函数可以表示为不同频率的正弦与余弦的不同频率的正弦与余弦的加权和形式。加权和形式。复杂函数可以用由简单的复杂函数可以用由简单的正弦和余弦函数表示。正弦和余弦函数表示。下面的函数是上面四个函下面的函数是上面四个函数的和。数的和。4.1频域滤波基础频域滤波基础傅立叶级数：傅立叶级数：傅立叶变换：傅立叶变换：甚甚至至非非周周期期函函数数（曲曲线线是是有有限限的的情情况况下下）也也可可以以用用正正弦弦和和/或或余弦乘以加权函数的积分表示。余弦乘以加权函数的积分表示。用用傅傅立立叶叶级级数数或或变变换换表
2、表示示的的函函数数特特征征可可以以通通过过傅傅立立叶叶反反变变换换重建，不丢失任何信息。重建，不丢失任何信息。4.1频域滤波基础频域滤波基础单变量连续函数单变量连续函数f(x)f(x)的傅立叶变换的傅立叶变换F(u)F(u)定义为：定义为：二维连续函数二维连续函数f(xf(x，y)y)的傅立叶变换的傅立叶变换F(uF(u，v)v)定义为：定义为：4.1频域滤波基础频域滤波基础一幅图像，在原点的傅立叶变换即等于图像的平均灰度级。一幅图像，在原点的傅立叶变换即等于图像的平均灰度级。二维离散傅立叶变换与反变换二维离散傅立叶变换与反变换4.1频域滤波基础频域滤波基础用极坐标表示用极坐标表示F(u)F(
3、u)比较方便：比较方便：R(u)和和I(u)分别为分别为F(u)的实部和虚部的实部和虚部4.1频域滤波基础频域滤波基础在离散傅立叶变换中在离散傅立叶变换中,函数函数f(x)中中x的取值不一定是的取值不一定是0,M-1中的整数值中的整数值,而是任意选取的等间隔点而是任意选取的等间隔点.u总是从总是从0频率开始频率开始4.1频域滤波基础频域滤波基础4.2 傅立叶变换性质傅立叶变换性质 二维傅立叶变换的基本性质：平移二维傅立叶变换的基本性质：平移可以用于中心化变换可以用于中心化变换,u和和v的的范围分别为范围分别为0,M-1和和0,N-1,变换后的中心变为变换后的中心变为u=(M/2)+1,u=(N
4、/2)+1一个简单的二维函数的中心谱一个简单的二维函数的中心谱 二维傅立叶变换的基本性质：分配性和比例变换性二维傅立叶变换的基本性质：分配性和比例变换性 傅立叶变换对加法具有分配性，对乘法没有：傅立叶变换对加法具有分配性，对乘法没有：对于比例因子对于比例因子a和和b，有：，有：4.2 傅立叶变换性质傅立叶变换性质 二维傅立叶变换的基本性质：旋转二维傅立叶变换的基本性质：旋转 若引入极坐标若引入极坐标那么那么f(x,y)和和F(u,v)分别变成分别变成有有4.2 傅立叶变换性质傅立叶变换性质 二维傅立叶变换的基本性质：周期性和对称性二维傅立叶变换的基本性质：周期性和对称性 周期性：周期性：共轭对
5、称共轭对称4.2 傅立叶变换性质傅立叶变换性质 二维傅立叶变换的基本性质：可分性二维傅立叶变换的基本性质：可分性其中其中对于每个对于每个x值，当值，当v0,1,2,N-1时时,该等式是完整的一维傅立叶变换。该等式是完整的一维傅立叶变换。即即F(x,v)是沿着是沿着f(x,y)的一行所进行的傅立叶变换。当的一行所进行的傅立叶变换。当y由由0变为变为N-1时，时，沿着沿着f(x,y)的所有行计算傅立叶变换。然而频率变量的所有行计算傅立叶变换。然而频率变量u仍然保持不变。仍然保持不变。为完成二维变换，将为完成二维变换，将u值从值从0变到变到M-1.这涉及沿这涉及沿F(x,v)的每一列计算的每一列计算
6、一维变换。一维变换。可以通过先沿输入图像的每一行计算一维变换，然后沿中间结果可以通过先沿输入图像的每一行计算一维变换，然后沿中间结果的每一列再计算一维变换的方法来求二维变换。的每一列再计算一维变换的方法来求二维变换。1.1.用用 (-1)(-1)x+yx+y乘以输入图像进行中心变换乘以输入图像进行中心变换 ，使频域图，使频域图像中心平移到像中心平移到u=M/2 u=M/2、v=N/2 v=N/2；2.2.计算图像的计算图像的 DFTDFT，即，即 F(u,vF(u,v)；3.3.用传递函数用传递函数 H(u,vH(u,v)乘以乘以 F(u,vF(u,v)；4.4.计算计算 (3)(3)中结果的
7、反中结果的反DFTDFT；5.5.得到得到 (4)(4)中结果的实部；中结果的实部；6.6.用用 (-1)(-1)x+yx+y 乘以（乘以（5 5）中的结果。）中的结果。图像频域滤波基本步骤图像频域滤波基本步骤图像频域滤波基本步骤图像频域滤波基本步骤4.2 傅立叶变换性质傅立叶变换性质陷波滤波器陷波滤波器滤波器可以置滤波器可以置F(0,0)F(0,0)为零，因为滤为零，因为滤波器除原点处有凹陷外，其它处均为波器除原点处有凹陷外，其它处均为常量函数常量函数 输出图像整体平均灰度降低，边缘输出图像整体平均灰度降低，边缘突出突出 实际上显示的图像平均值并不是零，实际上显示的图像平均值并不是零，因为这
8、样的话，一定存在灰度上的负因为这样的话，一定存在灰度上的负值。图中是按照所有负值显示成黑色，值。图中是按照所有负值显示成黑色，而其它值按比例增加。而其它值按比例增加。Lowpass FilterHighpass Filter高通和低通滤波器高通和低通滤波器高通滤波的结果高通滤波的结果空域滤波与频域滤波的对比空域滤波与频域滤波的对比图像的平滑除了在空间域中进行外，也可以在频图像的平滑除了在空间域中进行外，也可以在频率域中进行。由于噪声主要集中在高频部分，为率域中进行。由于噪声主要集中在高频部分，为去除噪声改善图像质量，滤波器采用低通滤波器去除噪声改善图像质量，滤波器采用低通滤波器H(u,v)H(
9、u,v)来抑制高频成分，通过低频成分，然后再来抑制高频成分，通过低频成分，然后再进行逆傅立叶变换获得滤波图像，就可达到平滑进行逆傅立叶变换获得滤波图像，就可达到平滑图像的目的。图像的目的。4.34.3平滑的频域滤波器平滑的频域滤波器设傅立叶平面上理想低通滤波器离开原点的截止频率为设傅立叶平面上理想低通滤波器离开原点的截止频率为D0D0，则理想低通滤波器的传递函数为：，则理想低通滤波器的传递函数为：由于高频成分包含有大量的边缘信息，因此采用该滤由于高频成分包含有大量的边缘信息，因此采用该滤波器在去噪声的同时将会导致边缘信息损失而使图像边模波器在去噪声的同时将会导致边缘信息损失而使图像边模糊。糊。
10、理想低通滤波器理想低通滤波器理想低通滤波器理想低通滤波器叠加的圆环具有5，15，30，80和230像素的半径，包含了92.0%，94.6%,96.4%,98%和99.5%的图像功率。理想低通滤波器理想低通滤波器用半径为用半径为5 5，1515，3030，8080和和230230的截的截止频率进行理想低止频率进行理想低通，滤除了通，滤除了8.0%8.0%，5.4%,3.6%,2%5.4%,3.6%,2%和和0.5%0.5%的图像能量。的图像能量。Butterworth低通滤波器低通滤波器 n n阶阶ButterworthButterworth滤波器的传递函数为：滤波器的传递函数为：它的特性是连续
11、性衰减，而不象理想滤波器那样陡峭变它的特性是连续性衰减，而不象理想滤波器那样陡峭变化，即明显的不连续性。因此采用该滤波器滤波在抑制噪化，即明显的不连续性。因此采用该滤波器滤波在抑制噪声的同时，图像边缘的模糊程度大大减小，没有振铃效应声的同时，图像边缘的模糊程度大大减小，没有振铃效应产生。产生。Butterworth低通滤波器低通滤波器巴特沃斯滤波器的空间解释巴特沃斯滤波器的空间解释高斯低通滤波器高斯低通滤波器 Gauss滤波器的传递函数为：高斯低通滤波器的傅立叶反变换也是高斯的，这意味着反变换后高斯滤波器将没有振铃现象产生。高斯低通滤波器高斯低通滤波器低通滤波实例低通滤波实例低通滤波实例低通滤
12、波实例4.4频域锐化滤波频域锐化滤波理想高通滤波器理想高通滤波器巴特沃斯高通滤波器巴特沃斯高通滤波器高斯型高通滤波器高斯型高通滤波器频率域的拉普拉斯算子频率域的拉普拉斯算子高频提升与高频加强滤波高频提升与高频加强滤波理想高通滤波器巴特沃斯高通滤波器高斯高通滤波器三种高通滤波器的空间解释三种高通滤波器的空间解释理想高通滤波结果理想高通滤波结果巴特沃斯高通滤波结果巴特沃斯高通滤波结果高斯高通滤波结果高斯高通滤波结果4.4 频率域锐化滤波器频率域锐化滤波器频率域的拉普拉斯算子频率域的拉普拉斯算子:二维傅立叶变换后的拉普拉斯算子二维傅立叶变换后的拉普拉斯算子:一维傅立叶变换后的拉普拉斯算子一维傅立叶变
13、换后的拉普拉斯算子:即即:因此因此,频率域的拉普拉斯算子可以由如下滤波器实现频率域的拉普拉斯算子可以由如下滤波器实现:4.4 频率域锐化滤波器频率域锐化滤波器钝化模板、高频提升滤波器和高频加强滤波钝化模板、高频提升滤波器和高频加强滤波钝化模板简单地由从一幅图像减去其自身模糊图像而生成的锐化图像构成。钝化模板简单地由从一幅图像减去其自身模糊图像而生成的锐化图像构成。采用频率技术，这意味这从图像自身减去低通滤波后的图像而得到高通滤波采用频率技术，这意味这从图像自身减去低通滤波后的图像而得到高通滤波的图像的图像.高频提升过滤通过将高频提升过滤通过将f(x,y)乘上一个大于乘上一个大于1的常熟的常熟A
14、产生：产生：可改写为：可改写为：钝化模板在频率域中可由混合滤波器直接执行：钝化模板在频率域中可由混合滤波器直接执行：类似的类似的,高频提升过滤也可由混合滤波器直接执行：高频提升过滤也可由混合滤波器直接执行：其中，其中，A1A1，当，当A=1A=1时，高频提升过滤为常规的高通过滤，时，高频提升过滤为常规的高通过滤，A1A1时，图象自身的贡献更加显著。时，图象自身的贡献更加显著。高频提升滤波高频提升滤波(a)输入图像输入图像(b)(a)的拉普拉斯图像的拉普拉斯图像(c)A=2时高频提升滤波得到时高频提升滤波得到 的图像的图像(d)A=2.7时的图像时的图像与图与图3.43相同相同,但用频率域滤波但
15、用频率域滤波4.4频率域锐化滤波器频率域锐化滤波器利用图像的高频成分强调增强的作用利用图像的高频成分强调增强的作用高频增强高频增强:在高通滤波器前简单地乘以一个常数在高通滤波器前简单地乘以一个常数,再增加一个再增加一个偏移以便使零频率不被滤波器除掉偏移以便使零频率不被滤波器除掉.4.4频率域锐化滤波器频率域锐化滤波器(a)胸部胸部X光图像光图像(b)巴特沃思高通滤波的结果巴特沃思高通滤波的结果(c)高频增强滤波的结果高频增强滤波的结果(d)执行直方图均衡的结果执行直方图均衡的结果作业题1、近似一个离散导数的基本方法是对f(x+1,y)-f(x,y)取差分。试找到空域一阶微分滤波器传递函数在频域
16、中进行等价的操作H(u,v)；答案答：已知空域滤波器在x方向的差分描述，则可写出y方向的差分描述f(x,y+1)-f(x,y)则空域一阶微分滤波器可写为：g(x,y)=f(x+1,y)-f(x,y)+f(x,y+1)-f(x,y)则对应频域表达式为：则：作业题2、给出一幅MN大小的图像，要求做一个实验，它由截止频率为D0 的高斯型低通滤波器重复进行低通滤波。可以忽略计算的舍入误差。令k代表滤波器使用的次数。在没有实验前，你能预测K为足够大的值时结果将是什么吗？如果能，结果是什么？答案答：图像经高斯低通滤波表达式如下：k次滤波，则相当于若k足够大，则滤波器相当于陷波滤波器，仅通过F(0,0)，即平均灰度图像