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1、一、模糊集及模糊关系一、模糊集及模糊关系1、模糊问题的提出、模糊问题的提出在自然科学或社会科学研究中在自然科学或社会科学研究中,存在着许多定义存在着许多定义不很严格或者说具有模糊性的概念。这里所谓的模糊不很严格或者说具有模糊性的概念。这里所谓的模糊性，主要是指客观事物的差异在中间过渡中的不分明性，主要是指客观事物的差异在中间过渡中的不分明性，如某一生态条件对某种害虫、某种作物的存活或性，如某一生态条件对某种害虫、某种作物的存活或适应性可以评价为适应性可以评价为“有利、比较有利、不那么有利、有利、比较有利、不那么有利、不利不利”；灾害性霜冻气候对农业产量的影响程度为；灾害性霜冻气候对农业产量的影
2、响程度为“较重、严重、很严重较重、严重、很严重”，等等。这些通常是本来就属，等等。这些通常是本来就属于模糊的概念，为处理分析这些于模糊的概念，为处理分析这些“模糊模糊”概念的数据，概念的数据，便产生了模糊集合论。便产生了模糊集合论。根据集合论的要求，一个对象对应于一个集合，根据集合论的要求，一个对象对应于一个集合，要么属于，要么不属于，二者必居其一，且仅居其一。要么属于，要么不属于，二者必居其一，且仅居其一。这样的集合论本身并无法处理具体的模糊概念。为处这样的集合论本身并无法处理具体的模糊概念。为处理这些模糊概念而进行的种种努力，催生了模糊数学。理这些模糊概念而进行的种种努力，催生了模糊数学。
3、模糊数学的理论基础是模糊集。模糊集的理论是模糊数学的理论基础是模糊集。模糊集的理论是1965年美国自动控制专家查德年美国自动控制专家查德(L.A.Zadeh)教授首先提出教授首先提出来的，近来的，近10多年来发展很快。多年来发展很快。模糊集合论的提出虽然较晚，但目前在各个领域模糊集合论的提出虽然较晚，但目前在各个领域的应用十分广泛。的应用十分广泛。2、模糊集的概念、模糊集的概念对对于于一一个个普普通通的的集集合合A，空空间间中中任任一一元元素素x，要要么么x A，要要么么x A，二二者者必必居居其其一一。这这一一特特征征可可用用一一个个函数表示为：函数表示为：A(x)即即为为集集合合A的的特特
4、征征函函数数。将将特特征征函函数数推推广广到到模模糊糊集集，在在普普通通集集合合中中只只取取0、1两两值值推推广广到到模模糊糊集集中中为为0,1区间。区间。简单地可表达为：简单地可表达为：设设U是论域，称映射是论域，称映射A(x)：U0,1确定了一个确定了一个U上的模糊子集上的模糊子集A，映射，映射A(x)称为称为A的隶属的隶属函数，它表示函数，它表示x对对A的隶属程度的隶属程度.l使使A(x)=0.5的点的点x称为称为A的过渡点，此点最具模的过渡点，此点最具模糊性糊性.l当映射当映射A(x)只取只取0或或1时，模糊子集时，模糊子集A就是经典子就是经典子集，而集，而A(x)就是它的特征函数就是
5、它的特征函数.可见经典子集就是可见经典子集就是模糊子集的特殊情形模糊子集的特殊情形.例例：设论域：设论域U=x1(140),x2(150),x3(160),x4(170),x5(180),x6(190)(单位：单位：cm)表示人的身高，表示人的身高，那么那么U上的一个模糊集上的一个模糊集“高个子高个子”(A)的隶属函数的隶属函数A(x)可定义为可定义为也可用也可用Zadeh表示法：表示法：上式表示一个有上式表示一个有n个元素的模糊子集。个元素的模糊子集。“+”叫做查德记号，不是求和。叫做查德记号，不是求和。模糊集的运模糊集的运算算也可以表示也可以表示为：为：相等相等：A=BA(x)=B(x)；
6、包含包含：A BA(x)B(x)；并并：AB的隶属函数为的隶属函数为(AB)(x)=A(x)B(x)；交交：AB的隶属函数为的隶属函数为(AB)(x)=A(x)B(x)；余余：Ac的隶属函数为的隶属函数为Ac(x)=1-A(x).模糊集的并、交、余运算性质模糊集的并、交、余运算性质幂等律：幂等律：AA=A，AA=A；交换律：交换律：AB=BA，AB=BA；结合律：结合律：(AB)C=A(BC)，(AB)C=A(BC)；吸收律：吸收律：A(AB)=A，A(AB)=A；分配律：分配律：(AB)C=(AC)(BC)；(AB)C=(AC)(BC)；0-10-1律：律：AU=U，AU=A；A =A，A
7、=；还原律：还原律：(Ac)c=A；对偶律：对偶律：(AB)c=AcBc，(AB)c=AcBc；对偶律的证明：对于任意的对偶律的证明：对于任意的x U(论域论域)，(AB)c(x)=1-(AB)(x)=1-(A(x)B(x)=(1-A(x)(1-B(x)=Ac(x)Bc(x)=AcBc(x)模糊集的运算性质基本上与经典集合一模糊集的运算性质基本上与经典集合一致，除了排中律以外，即致，除了排中律以外，即AAc U，AAc .模糊集不再具有模糊集不再具有“非此即彼非此即彼”的特点，的特点，这正是模糊性带来的本质特征这正是模糊性带来的本质特征.例：例：设论域设论域U=x1,x2,x3,x4,x5(商
8、品集商品集)，在在U上定义两个模糊集：上定义两个模糊集：A=“商品质量好商品质量好”，B=“商品质量坏商品质量坏”，并设，并设A=(0.8,0.55,0,0.3,1).B=(0.1,0.21,0.86,0.6,0).则则Ac=“商品质量不好商品质量不好”,Bc=“商品质量不坏商品质量不坏”.Ac=(0.2,0.45,1,0.7,0).Bc=(0.9,0.79,0.14,0.4,1).可见可见Ac B,Bc A.又又AAc=(0.8,0.55,1,0.7,1)U,AAc=(0.2,0.45,0,0.3,0).3、截集、截集定义定义2若若A为为X上的任一模糊集，对任意上的任一模糊集，对任意0 1，
9、记，记A=xx X,A(x),称称A 为为A的的 截集。截集。(A)=A=x|A(x)A 是普通集合而不是模糊集。由于模糊集的是普通集合而不是模糊集。由于模糊集的边界是模糊的边界是模糊的,如果要把模糊概念转化为数学语如果要把模糊概念转化为数学语言，需要选取不同的置信水平言，需要选取不同的置信水平(0 1)来确来确定其隶属关系。定其隶属关系。截集就是将模糊集转化为普通截集就是将模糊集转化为普通集的方法。模糊集集的方法。模糊集A是一个具有游移边界的集是一个具有游移边界的集合，它随合，它随 值的变小而增大，即当值的变小而增大，即当 1 2时，有时，有A 1A 2。模糊集的模糊集的-截集截集A 是一个
10、经典集合，由隶属是一个经典集合，由隶属度不小于度不小于 的成员构成的成员构成.例：论域例：论域U=u1,u2,u3,u4,u5,u6(学生集学生集)，他们的成绩依次为他们的成绩依次为50,60,70,80,90,9550,60,70,80,90,95，A=“学习学习成绩好的学生成绩好的学生”的隶属度分别为的隶属度分别为0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.950.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.95，则，则A0.9(90分以上者分以上者)=u5,u6,A0.6(60分以上者分以上者)=u2,u3,u4,u5,u6.定理：定理：设设A,B(U)(A,B是论域是论域U 的两的两个模糊
11、子集个模糊子集)，,0,1，于是有，于是有-截集的截集的性质：性质：(1)A BA B；(2)A A；(3)(AB)=A B，(AB)=A B.4、隶属函数的确定、隶属函数的确定1.模糊统计方法模糊统计方法 与概率统计类似，但有区别：若把概率与概率统计类似，但有区别：若把概率统计比喻为统计比喻为“变动的点变动的点”是否落在是否落在“不动的不动的圈圈”内，则把模糊统计比喻为内，则把模糊统计比喻为“变动的圈变动的圈”是否盖住是否盖住“不动的点不动的点”.2.指派方法指派方法一种主观方法，一般给出隶属函数的解一种主观方法，一般给出隶属函数的解析表达式。析表达式。3.借用已有的借用已有的“客观客观”尺
12、度尺度5、模糊关系与模糊矩阵、模糊关系与模糊矩阵1）模糊关系的定义）模糊关系的定义定义定义3.5设设X、Y是两个非空集合，则直积是两个非空集合，则直积XY=(x,y)|x X，y Y为论域中的一个模糊子集为论域中的一个模糊子集R,称为从集合称为从集合X到到Y的一的一个模糊关系，也称二元模糊关系。个模糊关系，也称二元模糊关系。R由其隶属函数由其隶属函数 R：X Y0,1刻画。刻画。R(x,y)表明表明(x,y)具有关系具有关系R的程度。的程度。当当X=Y时，称时，称R为为X上的模糊集合上的模糊集合;当论域为当论域为n个个集合的直积集合的直积X1 X2 Xn时时,则称则称R为为n元模糊关系。元模糊
13、关系。2）模糊关系的合成）模糊关系的合成定义：定义：设设U、V、W是论域，是论域，Q是是U到到V的一个的一个模糊关系，模糊关系，R是是V到到W的一个模糊关系，则的一个模糊关系，则Q对对R的合成的合成Q R指的是指的是U到到W的一个模糊关系，它具的一个模糊关系，它具有隶属函数有隶属函数3）模糊关系的运算）模糊关系的运算模糊关系是一类特殊的模糊集，同模糊集合模糊关系是一类特殊的模糊集，同模糊集合一样有交、并、补、包含、相等等运算。法则相一样有交、并、补、包含、相等等运算。法则相似。似。4）模糊关系的性质）模糊关系的性质设设R,R1,R2 F(UV),且且 t T，Rt F(UV),则则5）模糊矩阵
14、的定义）模糊矩阵的定义定义：定义：设设A=u1,u2,un,B=v1,v2,vm及及R F(A B),将序偶将序偶(ui,vj)的隶属度的隶属度R(ui,vj)0,1记作记作rij，称矩阵，称矩阵R=(rij)n m为模糊矩阵。为模糊矩阵。6）模糊矩阵的运算）模糊矩阵的运算设设R和和S均为均为nm m阶模糊矩阵，则其并运算为对应阶模糊矩阵，则其并运算为对应元素求大；交运算为对应元素求小；补运算为元素求大；交运算为对应元素求小；补运算为1 1减每减每个元素。个元素。7）模糊矩阵的截矩阵）模糊矩阵的截矩阵R=(rij)mn，对任意，对任意 0,1,记记R=(rij)mn，其中，其中则称则称R R
15、为为R R的的截矩截矩阵阵。8）模糊矩阵的合成）模糊矩阵的合成定义：设定义：设Q=(qij)nm,R=(rjk)ml为模糊矩阵为模糊矩阵,合合成矩阵成矩阵S=(sik)nl,S=Q R:9）模糊矩阵的性质）模糊矩阵的性质恒等律恒等律,交换律交换律,分配律分配律,结合律结合律,吸收律吸收律,复原律复原律,对对偶律偶律,同一律和模糊集合的性质一样。另外有同一律和模糊集合的性质一样。另外有对模糊矩阵，互补律不成立。例例1：模糊矩阵的合成：模糊矩阵的合成10）模糊关系和模糊矩阵的合成例子）模糊关系和模糊矩阵的合成例子例例2：某家中，子女与父母的长像相似关系：某家中，子女与父母的长像相似关系R是模糊关系
16、。是模糊关系。可看作A=子，女、B=父，母模糊关系可表示为：模糊关系可表示为：R父父母母子子0.20.8女女0.60.1模糊矩阵模糊矩阵R=该家中父母与祖该家中父母与祖父母（父母（C=祖父，祖父，祖母祖母）的相似）的相似关系也是模糊关关系也是模糊关系：系：S祖父祖父祖母祖母父父0.50.7母母0.10模糊矩阵模糊矩阵S=孙子、孙女孙子、孙女与祖父母的与祖父母的相似程度？相似程度？R S=此模糊关系表明：孙子与祖父、祖母的相似程度为此模糊关系表明：孙子与祖父、祖母的相似程度为0.2、0.2;孙女孙女与祖父、祖母的相似程度为与祖父、祖母的相似程度为0.5、0.6。二、模糊聚类分析方法二、模糊聚类分
17、析方法模糊聚类分析方法分类伴随着模糊性，将模糊数学中的有关概念与方法引进聚类分析，通过建立模糊相似关系，进而对客观事物进行分类。（1）原始数据标准化方法要构造模糊关系矩阵，必须对样本数据进行预处理，使样本数据压缩到0，1闭区间内。这样就可以将原始数据标准化值为例如，可以先求出n个样本的第j个指标的平均值和标准差。2）标定各分类对象之间相似性统计量rij的计算，可以采用夹角余弦法和相似系数法。如：这里rij表示两个样本之间相似程度的变量，当rij接近于1，表明这两个样本越接近。下面是相关系数法确定的rij：（3）聚类通过上述标定，得到模糊相似矩阵，反映了样本间的相似关系，但它只具有自反性和对称性
18、，不具有传递性，此时，可以通过平方法得到的传递闭包，也就是论域上的一个模糊等价矩阵，选择不同的值，得到不同的水平截集，得到动态聚类结果，生成动态聚类树。l因此，为了聚类，我们必须采用这样下去，就必然会存在一个自然数K，使得：示例显然，对于上述所描述的九个农业区域，用夹角余弦公式计算所得的相似系数矩阵就是这九个农业区域所构成的分类对象集合上的一个模糊相似关系，经过自乘计算后可以验证：R=R4R4=R4这样就可以在不同的截集水平下进行聚类了(1)取=1，得：各自成为一类。(2)取=0.99，得：G6，G7归并为一类，而G1，G2，G3，G4，G8，G9各自成为一类。行与第3行和其它各行均不相同，故
19、G2与G8聚为一类，G4与G9聚为一类，G5、G6、G7聚为一类，而G1和G3各自成为一类。(3)取=0.95，得：和其它各行均不相同，故G2、G4、G8、G9聚为一类，G5、G6、G7聚为一类，G1和G3各自聚为一类。(4)取=0.94，得：其它各行均不相同，故G1、G2、G4、G8、G9聚为一类，G5、G6、G7聚为一类，G3各自成为一类。(5)取=0.93，得：G4、G8、G9聚为一类，G3、G5、G6、G7聚为一类。(6)取=0.80，得：(7)取=0.67，得：G9均聚为一类。三、模糊综合评判方法三、模糊综合评判方法模糊综合评判方法模糊综合评判方法模模糊糊综综合合评评判判方方法法，是
20、是一一种种运运用用模模糊糊数数学学原原理理分分析析和和评评价价具具有有“模模糊糊性性”的的事事物物的的系系统统分分析析方方法法。它它是是一一种种以以模模糊糊推推理理为为主主的的定定性性与与定定量量相相结结合合、精精确确与与非非精精确确相相统统一一的的分分析析评评价价方方法法。由由于于这这种种方方法法在在处处理理各各种种难难以以用用精精确确数数学学方方法法描描述述的的复复杂杂系系统统问问题题方方面面所所表表现现出出的的独独特特的的优优越越性性，近近年来已在许多学科领域中得到了十分广泛的应用。年来已在许多学科领域中得到了十分广泛的应用。单层次模糊评判1、确定评判系统指标集和指标权重、确定评判系统指
21、标集和指标权重集集单层次模糊评判2、确定评判指标评价等级（备择集）、确定评判指标评价等级（备择集）单层次模糊评判3、确定单因素评判矩阵、确定单因素评判矩阵rij表示第表示第i个指标对第个指标对第j个备择类的隶属度大小。个备择类的隶属度大小。单层次模糊评判单层次模糊评判优优良良中中差差U15311U23322Un4231单层次模糊评判单层次模糊评判4、评判、评判5、评价结果处理、评价结果处理maxdi对应为评判等级对应为评判等级计算得分计算得分f=90d1+80d2+703+60d4多层次模糊评判在复杂大系统中，需要考虑的因素往在复杂大系统中，需要考虑的因素往往是很多的，而且因素之间还存在着不同
22、往是很多的，而且因素之间还存在着不同的层次。这时，应用单层次模糊综合评判的层次。这时，应用单层次模糊综合评判模型就很难得出正确的评判结果。所以，模型就很难得出正确的评判结果。所以，在这种情况下，就需要将评判因素集合按在这种情况下，就需要将评判因素集合按照某种属性分成几类，先对每一类进行综照某种属性分成几类，先对每一类进行综合评判，然后再对各类评判结果进行类之合评判，然后再对各类评判结果进行类之间的高层次综合评判。这样，就产生了多间的高层次综合评判。这样，就产生了多层次模糊综合评判问题。层次模糊综合评判问题。多层次模糊评判1、确定评判系统指标集和指标权重、确定评判系统指标集和指标权重集集指标类：
23、各类指标：指标类权重：子指标权重：多层次模糊评判2、确定类指标和子指标评价等级（备择集）、确定类指标和子指标评价等级（备择集）多层次模糊评判3、确定各类因素评判矩阵确定各类因素评判矩阵R1，R2，Rn多层次模糊评判4、各类评价、各类评价多层次模糊评判5、形成按类评价矩阵、形成按类评价矩阵R多层次模糊评判多层次模糊评判6、总评价、总评价7、评价结果处理、评价结果处理maxmaxd di i 对应为评判等级对应为评判等级 计算得分计算得分f=90d1+80d2+703+60d4例1：农业生态经济系统，是一类多要素的复杂系统，农业生态经济系统，是一类多要素的复杂系统，其内部诸要素之间的相互作用关系及
24、各要素对系统功其内部诸要素之间的相互作用关系及各要素对系统功能的影响程度在量上是难以精确衡量的，即系统具有能的影响程度在量上是难以精确衡量的，即系统具有“模糊性模糊性”特征；其次，农业生态经济系统也还是一特征；其次，农业生态经济系统也还是一个包含着若干不同生产层次个包含着若干不同生产层次(或若干子系统或若干子系统)的复合系的复合系统，其系统功能从整体上来说是一种综合功能，具有统，其系统功能从整体上来说是一种综合功能，具有“多属性多属性”特点。因此，农业生态经济系统功能评价特点。因此，农业生态经济系统功能评价是一种多属性或多准则评价问题。这就要求评价者必是一种多属性或多准则评价问题。这就要求评价
25、者必须根据评价问题的性质、目标、要求等选择适宜的评须根据评价问题的性质、目标、要求等选择适宜的评价模型和方法。在这方面，模糊综合评判模型为我们价模型和方法。在这方面，模糊综合评判模型为我们提供了一种有效的方法。提供了一种有效的方法。农业生态经济系统功能，是一种综合农业生态经济系统功能，是一种综合性功能，它主要由性功能，它主要由经济效益、生态效益和经济效益、生态效益和社会效益社会效益三个方面来反映。所以，对农业三个方面来反映。所以，对农业生态经济系统功能的考察及评价，必须立生态经济系统功能的考察及评价，必须立足于这三个基本方面。而这三个方面的效足于这三个基本方面。而这三个方面的效益又是由不同的要
26、素来体现的，每一种要益又是由不同的要素来体现的，每一种要素都有表征其属性特征的指标。这些要素素都有表征其属性特征的指标。这些要素指标的组合就构成了农业生态经济系统功指标的组合就构成了农业生态经济系统功能综合评价的指标体系能综合评价的指标体系评价要素集合为：评价要素集合为：U=u1，u2，u3其中，各单要素子集其中，各单要素子集ui=(i=1，2，3)分别为：分别为：U1=u11，u12，u13，u14，u15U2=u21，u22，u23，u24，u25U3=u31，u32，u33，u34，u35评语集合的确定评语集合的确定根据评价决策的实际需要，将评判等级标准划分为根据评价决策的实际需要，将评
27、判等级标准划分为“好好”、“较好较好”、“一般一般”、“较差较差”和和“差差”五个等五个等级。即评语集合为：级。即评语集合为：V=v1，v2，v3，v4，v5=好，较好，一般，较差，差好，较好，一般，较差，差各子集权重各子集权重(一级权重一级权重)为：为：A=a1，a2，a3各子集各子集Ui(i=1，2，3)中诸要素的权重中诸要素的权重(二级权重二级权重)分别为分别为所谓评判的实施，就是根据评判对象所谓评判的实施，就是根据评判对象农业生农业生态经济系统的各种实际调查访问材料、各种试验与研态经济系统的各种实际调查访问材料、各种试验与研究数据，采用模糊数学和精确数学方法对各个评价指究数据，采用模糊
28、数学和精确数学方法对各个评价指标进行定量估算，然后由评判专家小组的每一个成员标进行定量估算，然后由评判专家小组的每一个成员根据已确定的评价等级标准依次对各个指标进行评价。根据已确定的评价等级标准依次对各个指标进行评价。假定评判专家小组有假定评判专家小组有20名成员，其中有名成员，其中有7名对系统生名对系统生态效益功能的评价指标之一态效益功能的评价指标之一“水土流失状况水土流失状况(u22)”同意同意“较好较好(v2)”的评价等级，即持同意意见的专家占专家的评价等级，即持同意意见的专家占专家小组总人数的小组总人数的7/20，因此该指标的评价值就是，因此该指标的评价值就是0.35。依次类推，可分别
29、得出各子集依次类推，可分别得出各子集ui(i=1，2，3)中单要素中单要素的评价决策矩阵的评价决策矩阵Ri(i=1，2，3)为：为：在在AHP中得到：中得到：采用普通矩阵乘法，经过合成运算，得各子集采用普通矩阵乘法，经过合成运算，得各子集Ui(i=1，2，3)的综合评判结果分别为：的综合评判结果分别为：因此，因此，U中各子集的综合评价决策矩阵为：中各子集的综合评价决策矩阵为：所以，该农业生态经济系统功能模糊综合评价结果为：所以，该农业生态经济系统功能模糊综合评价结果为：将其归一化得：将其归一化得：评价结果表明，该农业生态经济系统功能还是较好的。评价结果表明，该农业生态经济系统功能还是较好的。例2l模糊综合评判在教学管理中的应用