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1、目录 上页 下页 返回 结束 第二节一、一、偏导数概念及其计算偏导数概念及其计算二二、高阶偏导数、高阶偏导数 偏 导 数 第九章 4/15/2023同济版高等数学课件目录 上页 下页 返回 结束 一、一、偏导数定义及其计算法偏导数定义及其计算法引例引例:研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度,就是中的 x 固定于 x0 处,求一阶导数与二阶导数.关于 t 的将振幅4/15/2023同济版高等数学课件目录 上页 下页 返回 结束 定义定义1.在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数极限设函数注意注意:4/15/2023同济版高等数学课件目录 上页 下页 返回 结束 同样可定义对 y 的
2、偏导数若函数 z=f(x,y)在域 D 内每一点(x,y)处对 x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数偏导数,记为或 y 偏导数存在,4/15/2023同济版高等数学课件目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,三元函数 u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对 x 的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.偏导数定义为(请自己写出)注意：偏导数的记号是一个整体记号，不能看作分子与分母之商。4/15/2023同济版高等数学课件目录 上页 下页 返回 结束 二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点 M0 处的切线对 x 轴的斜率.在点M0 处的切线斜率.是曲线对 y 轴的4/
3、15/2023同济版高等数学课件目录 上页 下页 返回 结束 函数在某点各偏导数都存在,显然例如例如,注意：注意：但在该点不一定连续不一定连续.上节例 在上节已证 f(x,y)在点(0,0)并不连续!4/15/2023同济版高等数学课件目录 上页 下页 返回 结束 例例1.求解法解法1解法解法2在点(1,2)处的偏导数.先求后代先代后求4/15/2023同济版高等数学课件目录 上页 下页 返回 结束 例例2.设证证:例例3.求的偏导数.解解:求证4/15/2023同济版高等数学课件目录 上页 下页 返回 结束 偏导数记号是一个例例4.已知理想气体的状态方程求证:证证:说明说明:(R 为常数),
4、不能看作分子与分母的商!此例表明,整体记号,4/15/2023同济版高等数学课件目录 上页 下页 返回 结束 二、高阶偏导数二、高阶偏导数设 z=f(x,y)在域 D 内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:4/15/2023同济版高等数学课件目录 上页 下页 返回 结束 类似可以定义更高阶的偏导数.例如，例如，z=f(x,y)关于 x 的三阶偏导数为z=f(x,y)关于 x 的 n 1 阶偏导数,再关于 y 的一阶偏导数为4/15/2023同济版高等数学课件目录 上页 下页 返回 结束 例例5.求函数解解:注
5、意注意:此处但这一结论并不总成立.的二阶偏导数及 4/15/2023同济版高等数学课件目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,二者不等4/15/2023同济版高等数学课件目录 上页 下页 返回 结束 例例6.证明函数满足拉普拉斯证：证：利用对称性,有方程4/15/2023同济版高等数学课件目录 上页 下页 返回 结束 则定理定理.例如例如,对三元函数 u=f(x,y,z),说明说明:本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续连续时,有而初等(证明略)
6、证明 4/15/2023同济版高等数学课件目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.偏导数的概念及有关结论 定义;记号;几何意义 函数在一点偏导数存在函数在此点连续 混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义 求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)4/15/2023同济版高等数学课件目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习解答提示:P129 题 5P129 题 5,6即 xy0 时,4/15/2023同济版高等数学课件目录 上页 下页 返回 结束 P129 题6(1)(2)4/15/2023同济版高等数学课件目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P68 1（4）,（6）,（8）；3；5；6（3）；7；8；9（2）第三节 4/15/2023同济版高等数学课件目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 设方程确定 u 是 x,y 的函数,连续,且求解解:4/15/2023同济版高等数学课件