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1、曲线积分曲线积分柱面面积柱面面积1.1.两类曲线积分的联系两类曲线积分的联系2.2.二重积分与曲线积分的关系二重积分与曲线积分的关系格林公式格林公式与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件等等价价命命题题补充：全微分方程及其求法补充：全微分方程及其求法1.1.定义定义:则则若有全微分形式若有全微分形式例如例如全微分方程全微分方程或恰当方程或恰当方程所以是全微分方程所以是全微分方程.2.2.解法解法:应用曲线积分与路径无关应用曲线积分与路径无关.通解为通解为 用直接凑用直接凑全微分的方法全微分的方法.全微分方程全微分方程 不定积分法不定积分法.解解是全微分方程是全微分方程,原方程
2、的通解为原方程的通解为例例1 1曲曲线线积积分分法法解解是全微分方程是全微分方程,将左端重新组合将左端重新组合原方程的通解为原方程的通解为例例2凑凑微微分分法法另解另解是全微分方程是全微分方程,原方程的通解为原方程的通解为例例2又又即即不不定定积积分分法法二、积分因子法*定义:问题:如何求方程的积分因子?1.公式法:求解不容易特殊地:2.观察法:凭观察凑微分得到常见的全微分表达式可选用的积分因子有解例3则原方程为原方程的通解为(公式法)可积组合法解将方程左端重新组合,有例4 求微分方程原方程的通解为解将方程左端重新组合,有原方程的通解为可积组合法例5 求微分方程解1整理得A 常数变易法:B 公
3、式法:例6解解2 2整理得A 用曲线积分法:B 凑微分法:C 不定积分法:原方程的通解为练 习 题练习题答案 2002研究生考题研究生考题(数学一数学一)8分分内具有一阶连续导数内具有一阶连续导数,L是上半平面是上半平面(y 0)内的有向分段光滑曲线内的有向分段光滑曲线,其起点为其起点为(a,b),终点为终点为(c,d).记记(1)证明证明曲线积分曲线积分I 与路径与路径L无关无关;(2)当当ab=cd 时时,求求I 的值的值.证证 因为因为所以在上半平面内所以在上半平面内曲线积分曲线积分I 与路径与路径L无关无关.(1)解解(2)由于由于曲线积分曲线积分I 与路径与路径L无关无关,L是上半平
4、面是上半平面(y 0)内的有向分段光滑曲线内的有向分段光滑曲线,起点起点(a,b),终点终点(c,d).所以所以(2)当当ab=cd 时时,求求I 的值的值.法一法一解解(2)L是上半平面是上半平面(y 0)内的有向分段光滑曲线内的有向分段光滑曲线,起点起点(a,b),终点终点(c,d).(2)当当ab=cd 时时,求求I 的值的值.法二法二设设F(x)为为f(x)的一个原函数的一个原函数,则则由此得由此得当当 时时，被，被积积函数小于函数小于0，故当，故当 时时，此二重，此二重积积分将达到最大分将达到最大值值。也就是也就是说说当当 是是 的正向的正向边边界界时时 将取得大将取得大值值。第一类
5、曲面积分2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算域上的二重积分计算.1、对面积的曲面积分的概念对面积的曲面积分的概念;（一投！二代！三换！）（一投！二代！三换！）则则补充：参数方程曲面上的第一类补充：参数方程曲面上的第一类曲面积分计算法曲面积分计算法则则例例4 4解解由轮换对称性，由轮换对称性，再由对称性，再由对称性，oyxy=a-xD Dxyxya例例解解积分曲面方程积分曲面方程轮换轮换对称对称提示提示即三个变量轮换位置方程不变即三个变量轮换位置方程不变.具有具有轮换对称性轮换对称性,中的变量中的变量x、y、z思考题思考题 在对面积的曲
6、面积分化为二重积分在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中的公式中,有因子有因子 ,试说明试说明这个因子的几何意义这个因子的几何意义.思考题解答思考题解答是曲面元的面积是曲面元的面积,故故 是曲面法线与是曲面法线与 轴夹角的余弦轴夹角的余弦的倒数的倒数.思考题思考题 定积分、二重积分、三重积分、对弧长的定积分、二重积分、三重积分、对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为是非题是非题是是因为若因为若为直线上的区间为直线上的区间a,b,则则故故是是 若若是平面区域是平面区域G,则则故故是是 若若是空间区域是空间区域,则则故故是是 若若为平面为平面(空间空间
7、)曲线曲线L,则则部分和式的极限为曲线积分部分和式的极限为曲线积分是是 若若为曲面为曲面,则上述部分和式的极限就是则上述部分和式的极限就是曲面积分曲面积分其中其中是球面是球面解解的方程的方程方程是方程是:方程是方程是:投影域投影域记记上半球面上半球面为为下半球面下半球面为为不是单值的不是单值的.计算曲面积分计算曲面积分的值的值.对对上半球上半球得得对对下半球下半球是球面是球面所以所以极坐标极坐标计算计算其中其中为球面为球面之位于平面之位于平面 曲面曲面的方程的方程在在xOy面上的面上的投影域投影域解解上方的部分上方的部分.因曲面因曲面于是于是x3是是x的奇函数，的奇函数，x2y是是y的奇函数的奇函数.关于关于yOz面及面及xOz面对称面对称;1995年研究生考题年研究生考题,计算计算,6分分解解 积分曲面积分曲面在在xOy面上的面上的投影域投影域积分曲面积分曲面练 习 题练习题答案