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1、函数的单调性函数的单调性 杨杨 阳阳数数与与形形,本本是是相相倚倚依依焉焉能能分分作作两两边边飞飞数数无无形形时时少少直直觉觉形形少少数数时时难难入入微微数数形形结结合合百百般般好好隔隔离离分分家家万万事事休休切切莫莫忘忘,几几何何代代数数统统一一体体永永远远联联系系莫莫分分离离 华华罗罗庚庚 y246810O-2x84121620246210141822如图为五常某日如图为五常某日24小时内的气温变化图观察这小时内的气温变化图观察这张气温变化图，观察图形张气温变化图，观察图形,你能得到什么信息你能得到什么信息?能用图象上动点能用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标）的横、纵坐标关系来关系来说说
2、明上升明上升或下降或下降趋势吗趋势吗？xyoxyoxyo 在某一区间内，在某一区间内，当当x的值增大时的值增大时,函数值函数值y也增大也增大图像在该区间内逐渐上升；图像在该区间内逐渐上升；当当x的值增大时的值增大时,函数值函数值y反而减小反而减小图像在该区间内逐渐下降。图像在该区间内逐渐下降。函数的这种性质称为函数的单调性函数的单调性局部上升或下降局部上升或下降下降下降上升上升 y246810O-2x84121620246210141822D对区间对区间D内内 x1，x2，当当x1x2时，时，有有f(x1)f(x2)图象在图象在区间区间D逐渐上升逐渐上升？OxDy区间区间D内内随着随着x的增大
3、，的增大，y也增大也增大x1x2f(x1)f(x2)MN对区间对区间D内内 x1，x2，当当x1x2时，时，有有f(x1)f(x2)xx1x2？Dyf(x1)f(x2)OMN任意任意区间区间D内内随着随着x的增大，的增大，y也增大也增大图象在图象在区间区间D逐渐上升逐渐上升对区间对区间D内内 x1，x2，当当x1x2时，时，有有f(x1)f(x2)xx1x2都都yf(x1)f(x2)O设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I,区间区间D I.如果对于如果对于区间区间D的的任意任意当当x1x2时，时，都有都有f(x1)f(x2)，定定义义MN任意任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2，
4、D称为称为 f(x)的的单调单调增区间增区间.那么就说那么就说 f(x)在区间在区间D上上 是单调是单调增函数增函数，区间区间D内内随着随着x的增大，的增大，y也增大也增大图象在图象在区间区间D逐渐上升逐渐上升D 那么就说在那么就说在f(x)这个区间上是单调这个区间上是单调减减函数函数，D称为称为f(x)的的单调单调 减减 区间区间.Oxyx1x2f(x1)f(x2)类比单调增函数的研究方法定义单调减函数类比单调增函数的研究方法定义单调减函数.xOyx1x2f(x1)f(x2)设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I,区间区间D I.如果对于属于定义如果对于属于定义I域内域内某个区间某个
5、区间D上上的的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2，设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I,区间区间D I.如果对于属于定义域如果对于属于定义域I内内某个区间某个区间D上上的的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2，那么就说在那么就说在f(x)这个区间上是单调这个区间上是单调增增 函数函数，D称为称为f(x)的的单调单调 区间区间.增增当当x1x2时，时，都有都有f(x1)f(x2)，当当x1x2时，时，都有都有 f(x1)f(x2)，单调区间单调区间（2 2）函数单调性是针对某个）函数单调性是针对某个区间区间而言的，是一个局部性质而言的，是一个局部性质;（1 1）如
6、果函数）如果函数 y=f(x)在区间在区间I I是单调增函数或单调减函数，那么是单调增函数或单调减函数，那么就说函数就说函数 y=f(x)在区间在区间I I上具有单调性。上具有单调性。在单调区间上，在单调区间上，增函数的图象是增函数的图象是上升上升的，减函数的图象是的，减函数的图象是下降下降的。的。判断判断1 1：函数函数 f(x)=x2 在在 是单调增函数；是单调增函数；xyo下表是函数 中y随x的变化情况分析函数值的变化可得到函数的单调性。分析函数值的变化可得到函数的单调性。（2 2）函数单调性是针对某个）函数单调性是针对某个区间区间而言的，是一个局部性质而言的，是一个局部性质;（1 1）
7、如果函数）如果函数 y=f(x)在区间在区间I I是单调增函数或单调减函数，那么是单调增函数或单调减函数，那么就说函数就说函数 y=f(x)在区间在区间I I上具有单调性。上具有单调性。在单调区间上，在单调区间上，增函数的图象是增函数的图象是上升上升的，减函数的图象是的，减函数的图象是下降下降的。的。判断判断2 2：定义在：定义在R上的函数上的函数 f(x)满足满足 f(1)(1)0)yxo y=kx+b (k0)（2 2）二次函数单调性二次函数单调性的对称轴为（3 3）反比例函数的单调性）反比例函数的单调性例例1.画出下列函数图像，并写出单调区间：画出下列函数图像，并写出单调区间：xy_,讨
8、论讨论1：根据函数单调性的定义，根据函数单调性的定义，？xyy=-x2+21-1122-1-2-2_;_.例例2.画出下列函数图像，并写出单调区间：画出下列函数图像，并写出单调区间：例例3:下图是定义在下图是定义在5，5上的函数上的函数yf（x）的图象，）的图象，根据图象说出根据图象说出yf（x）的单调区间，以及在每一单调区）的单调区间，以及在每一单调区间上，间上，yf（x）是增函数还是减函数？）是增函数还是减函数？解：解：y yf f（x x）的）的单调区间单调区间有有5，2），），2，1）1，3），），3，5.其中其中y yf f（x x）在）在5，2），1，3）上上是是减减函数，函数，在
9、在 2 2，1 1），），33，5 5）上是）上是增增函数函数.-5Ox y12345-1-2-3-4123-1-2作图是发作图是发现函数单现函数单调性的方调性的方法之一法之一.单调区间的书写：单调区间的书写：函数在其定义域内某一点处的函数值函数在其定义域内某一点处的函数值是确定的，讨论函数在某点处的单调是确定的，讨论函数在某点处的单调性无意义。性无意义。若若函数在区间端点处有定函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，当然写成开区间义，则写成闭区间，当然写成开区间也可以；也可以；若若函数在区间端点处无定义，函数在区间端点处无定义，则必须写成开区间。则必须写成开区间。例例3.3.判断函数判断函数
10、在定义域在定义域 上的单调性上的单调性.1.任取任取x1，x2D，且，且x1x2；2.作差作差f(x1)f(x2)；3.变形（通常是因式分解和配方）；变形（通常是因式分解和配方）；4.定号（即判断差定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；的正负）；5.下结论下结论主要步骤主要步骤并给出证明并给出证明证明：在区间证明：在区间 上任取两个上任取两个值值 且且 则则，且，且所以函数所以函数 在区间上在区间上 是增函数是增函数.取值取值作差作差变变形形定号定号结论结论 试用定义法证明函数 在区间 上是单调增函数。1 1.两个定义：增函数、减函数的定义两个定义：增函数、减函数的定义；2.两种方法两种方法:图象法图象法判断函数的单调性判断函数的单调性：增增函数的图象函数的图象从左到右减减函数的图象函数的图象从左到右从左到右上升上升下降下降定义法定义法证明函数单调性，步骤证明函数单调性，步骤:取值取值定号定号作差变形作差变形下结论下结论3.一个数学思想：一个数学思想：数形结合数形结合作业作业练习册练习册：