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1、LOGO报告人：告人：张晖日期：日期：2012年年12月月3日日几种高程几种高程拟合方法比合方法比较关关键词：大地高 正常高 二次曲面法 多面函数法摘要摘要 GPS平面测量数据由于其高精度的特性已在测绘领域到了广泛的应用。如何有效利用其高程信息，把大地高转化为正常高，直接为测绘行业服务是一个非常实际且有意义的课题。针对目前GPS高程拟合的研究现状，本文主要讨论GPS点位成面状分布时的两种拟合方法，即对二次曲面法和多面函数法比较。目目录GPSGPSGPSGPS高程高程高程高程拟拟拟拟合基本理合基本理合基本理合基本理论论论论二次曲面法二次曲面法二次曲面法二次曲面法拟拟拟拟合合合合多面函多面函多面函
2、多面函数数数数法法法法拟拟拟拟合合合合实实实实例分析例分析例分析例分析总结总结总结总结分析分析分析分析GPS高程高程拟合基本理合基本理论v高程基准面：高程基准面是地面点的高程起算面，即水准零点。v测量中主要涉及三个高程基准面：地球的物理表面大地水准面，地球的数学表面参考椭球面，还有一个抽象的曲面似大地水准面。v高程系统：与三个高程基准面相对应有三个常用的高程系统，正高高程系统、大地高高程系统、似大地高高程系统。v目前我国所用的高程系统为似大地高高程系统而GPS高程是大地高高程系统。由于参考椭球面与似大地水准面不重合。大地高与正常高之间就存在一个高程异常。如下图所示GPS高程高程拟合的基本理合的
3、基本理论v正常高与大地高之间的关系为：v因此求出高程异常进而求的正常高，建立似大地水准面的过程就是GPS高程拟合的过程。二次曲面法高程二次曲面法高程拟合合 v曲面拟合法：当GPS点布设成一定区域面时，可以用数学曲面拟合法求定待定点的正常高。其原理是:根据测区中已知点的平面坐标x、y(或大地坐标B、L)和高程异常值，用数值法拟合，拟合出测区似大地水准面，再内插出待求点的高程异常，从而求出待求点的正常高。v多项式曲面拟合：多项式曲面拟合法是近年来使用的主要拟合方法，其中二次多项式曲面拟合最为常见。多项式曲面拟合的一般模型为:v式中 为模型的待定参数。v当控制点为n个，所取的项数为n项时，则存在如下
4、方程组矩阵:二次曲面法高程二次曲面法高程拟合合v其中v通过高斯消元法求出模型参数A，然后求出未知点的高程异常值，进而求出正常高 。二次曲面法高程二次曲面法高程拟合合v当控制点个数多于多项式的项数时，为了充分利用己知数据，通常会采用最小二乘法拟合。v设点的高程异常 与其平面坐标 存在以下关系式：v其中其中 v根据最小二乘原理可求：带入模型公式可求出未知点的高程异常，进而求出正常高。二次曲面法高程二次曲面法高程拟合合v在工程中应用较多的是二次曲面法拟合，其数学模型为：v在求模型参数时需要至少6个已知点的高程异常值。多面函数法高程多面函数法高程拟合合v多面函数拟合曲面的方法是美国Hardy教1977
5、年提出的，其理论基础是，任何一个圆滑的数学曲面总可以用一系列有规则的数学表面的综合，以任意精度逼近。vGPS高程多面函数拟合法就是把拟合区域的高程异常，用多个曲面高度逼近，建立数学模型，借此可以求得未知点的高程异常，然后根据GPS所求的大地高来计算常规基准下的正常高。v一个数学表面上点 的函数值 可表达成多面函数法高程多面函数法高程拟合合v式中，为待定系数；是x和y的二次核函数，其中核心在 处，可由二次式的和确定，故称多面函数；x,y为待求点的坐标，为已知点坐标。v其矩阵形式为:v根据最小二乘原理可知其模型参数：v将模型参数代入函数模型可得高程异常值，进而求出未知点的正常高。v常用的核函数有正
6、双曲面和倒双曲面两种，其函数模型如下：v正双曲面：其中 称为光滑因子，当其值为0时，正双曲面退化为圆锥面。v倒双曲面：多面函数法高程多面函数法高程拟合合v高程拟合的精度评定指标v内符合精度：根据参与计算的己知点的高程异常值 和计算后得到的高程异常值 用 求得残差值，按下式计算GPS水准的内符合精度v外符合精度：同样根据参与检核的己知点的高程异常值 和计算后得到的高程异常值 用 求得残差值，按下式计算GPS水准的内符合精度多面函数法高程多面函数法高程拟合合v内符合精度与外符合精度都是从点的统计角度出发的，可以说是一种相对意义上的绝对精度评定。垂直数据因参考基准的不同，会有不同的系统偏差，所以在某
7、种意义上相对精度的评定更有说服力。水准限差注：L为已知点与检核点的距离（单位：公里）测量等量等级 允允许的最大限差（的最大限差（mm）三等几何水准测量 四等几何水准测量普通几何水准测量 实例分析例分析v 右图为某中型城市的城市控制网，图中共有37个GPSE级控制点。为了研究GPS拟合原理，对以上所有控制点都进行了三等水准测量，并应用稳健估计进行粗差探测，未发现粗差。v 为了保证试验数据的可靠性，其具体数据见下表。实例分析例分析实验数据表（部分）序号序号X坐坐标Y坐坐标大地高大地高正常高正常高高程异常高程异常1-9230.899-30277.67911.8793.4938.3862-10589.
8、011-26223.53614.337 5.7578.5803-8775.220-23280.82713.1734.500 8.6734-7666.317-19160.95512.2633.3978.8665-11649.851-36495.57411.5923.430 8.1616-8129.317-33611.14113.3445.1348.2107-4334.088-33564.44012.8174.610 8.2078295.107-32024.10411.8213.5978.22593802.651-31147.31313.0304.7768.25410-11790.336-2164
9、9.388 12.5873.8088.77811-7892.980-26803.83912.3133.7558.558实例分析例分析v续表序号序号X坐坐标Y坐坐标大地高大地高正常高正常高高程异常高程异常122078.745-38769.45612.0974.1737.92513-9337.283-39433.37911.9313.9258.00514-14355.472-39856.99711.4673.4218.04615-17115.063-49101.97211.5793.8847.69516-18538.802-52552.99713.4035.8357.56917-15219.401
10、-53448.17312.377 4.8527.52518-12601.594-53833.91211.3813.9067.47519-12173.846-29772.27611.2502.8228.42820-4986.383-37421.71111.3663.3328.034实例分析例分析v 使用 1、7、9、10、11、13、16、17、18、19、20、22、25、26、27、28、31、33、34、36 共 20 个均匀分布的控制点应作为已知点，2、3、4、5、6、8、12、14、15作为检核点分别用二次曲面法和多面函数法进行拟合计算，其分析结果如下表：数据拟合分析序号序号 已知高程
11、异常已知高程异常 拟合合值 残差残差值 二次曲面 锥面 倒双曲面 二次 锥面 倒双曲面 2 8.580 8.549 8.536 8.624 -0.031 -0.043 0.045 3 8.673 8.626 8.759 8.773 -0.047 0.086 0.100 4 8.866 8.726 9.559 8.380 -0.140 0.693 -0.487 5 8.161 8.213 8.048 8.198 0.052 -0.114 0.037 6 8.210 8.290 8.177 8.279 0.080 -0.033 0.069 8 8.225 8.253 8.174 8.359 0.0
12、28 -0.051 0.13412 7.899 7.901 8.551 7.568 0.002 0.627 -0.35714 8.046 8.107 7.896 8.044 0.061 -0.150 -0.00215 7.695 7.732 7.563 7.716 0.037 -0.133 0.021外符合精度 实例分析例分析v当核函数为锥面函数时C取1，当核函数为到双曲面时 取10000，以下是这三种拟合模型的残差图。实例分析例分析v当选取1、7、9、10、11、13、19、20、22、26、28、33、34、36这14个点作为已知点进行二次曲面拟合时其精度如下表：序号序号 二次曲面二次曲面
13、拟合残差（合残差（14点）点）二次曲面二次曲面拟合残差（合残差（20点）点）2 -0.050 -0.031 3 0.002 -0.047 4 -0.062 -0.140 5 0.016 0.0526 0.061 0.0808 0.018 0.02812 0.135 0.002 14 0.011 0.061 15 -0.055 0.037 总结总结总结与总结与分析分析一一一一二二二二三三三三 对于地势比较平坦，或者高程变化比较 平缓时，二次曲面 法拟合可以满足其 精度要求对于多面函数法拟合 核函数的选取，以及平滑 因子都会对精度产生较大影响一定要多次尝试。已知点的选取一定要均匀，并非已知点越多精度就越高。LOGO