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1、第十四章 计数原理（选修理科）高考总复习 数学第十四章 计数原理（选修理科）高考总复习 数学第十四章 计数原理（选修理科）高考总复习 数学1排列的定义(1)一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照 排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的(2)两个排列相同，当且仅当两个排列的 ，且元素的(3)n个不同元素的一个排列，叫做n个元素的一个全排列一定的顺序一个排列元素完全相同排列顺序也相同全部取出第十四章 计数原理（选修理科）高考总复习 数学2排列数的定义和排列数公式(1)排列数：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的叫做从n个不同元素中取出m个元素的，用符号Anm表示全排列数公式：A
2、nnn(n1)(n2)321n！.也叫做 所有不同排列的个数排列数n的阶乘第十四章 计数原理（选修理科）高考总复习 数学(3)记住下列几个阶乘：0！1,1！1,2！2,3！6,4！24,5！120,6！720,7！5040.3组合的定义(1)一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 (2)只要两个组合的 ，不论元素的顺序如何，都是一个组合元素相同相同的组合第十四章 计数原理（选修理科）高考总复习 数学(3)排列与组合的共同点与区别：两者都是从n个不同元素中取出m(mn)个元素，这是排列、组合的共同点两者的不同点是，4组合数的定义和组合数公式(1)
3、从 n个 不 同 元 素 中 取 出 m(mn)个 元 素 的，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 ，用符号Cnm表示排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关所有不同组合的个数组合数第十四章 计数原理（选修理科）高考总复习 数学第十四章 计数原理（选修理科）高考总复习 数学1(2009四川卷理)3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是()A360B188C216D96第十四章 计数原理（选修理科）高考总复习 数学解析本小题考查排列综合问题，基础题解法一：6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有A33C32A42
4、A22332种，其中男生甲站两端的有A21A22C32A32A22144，符合条件的排法故共有188.解 法 二：由 题 意 有 2A22(C32A22)C21C31A22(C32A22)A42188，选B.答案B第十四章 计数原理（选修理科）高考总复习 数学2(2011惠州二模)从4名男生和3名女生中选出4人参加迎新座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，不同的选法共有()A140种 B120种 C35种 D34种解析由题意，可分为三种情况：1男3女，2男2女，3男1女，其选法分别为C41C33，C42C32，C43C31，故共有C41C33C42C32C43C3134种选法，故选D.答案D
5、第十四章 计数原理（选修理科）高考总复习 数学3(2010北京，4)8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为()AA88A92 BA88C92 CA88A72 DA88C72解析不相邻问题用插空法，8名学生先排有A88种，产生9个空，2位老师插空有A92种排法，所以最终有A88A92种排法故选A.答案A第十四章 计数原理（选修理科）高考总复习 数学第十四章 计数原理（选修理科）高考总复习 数学 3名男生4名女生排成一列求满足下列不同要求下的排法数(1)甲、乙两人排在两头；(2)甲、乙两人必须排在一起；(3)男生必须排在一起；(4)男生互不相邻；第十四章 计数原理（选修理科）高
6、考总复习 数学(5)甲、乙、丙三人自左而右的顺序保持不变；(6)甲、乙两人之间恰有3人；(7)若7人高矮互不相同，要求从左到右，女生从矮到高排列解(1)先排甲、乙两人，共有A22种排法，其余5人有A55种排法，故共有A22A55240种排法(2)将甲、乙两人看成一个元素，与其余5人一起进行全排列，有A66种排法，又甲、乙两人之间有A22种排法，故共有A66A221440种排法第十四章 计数原理（选修理科）高考总复习 数学第十四章 计数原理（选修理科）高考总复习 数学解法二：由于甲、乙、丙顺序一定，故只需在7个位置中任选4个位置让其余4人进行排列即可，故所求不同的排列数为A74840.(6)先选
7、3人排在甲、乙之间，有A53种排法，而甲、乙之间有A22种排法再把这5人看成一个整体，当成一个元素与剩余2人进行全排列，有A33种排法故共有A53A22A33720种排法(7)先在7个位置上任取4个位置排男生，有A74种排法，剩下3个位置排女生，因要求“从矮到高”，只有一种排法，故共有A741840种排法第十四章 计数原理（选修理科）高考总复习 数学点评与警示“站队问题”是排列中具有典型意义的问题在解答有关排列问题的应用题时，要遵循“先分类后分步”、“先特殊后一般”、“先选元后排队”等原则对受条件限制的特殊元素或特殊位置，一般采用直接法，即特殊者优先考虑，再考虑一般的元素和位置对于必须相邻的元
8、素通常采用”捆绑“法，即可以把相邻元素看作一个整体再与其他元素进行排列，注意相邻元素之间是否还要排列，即“松绑”对于元素不相邻的排列，通常采用“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面已排好的元素之间的空档中或两端此外，对于分类较多、限制条件较多等情形可用间接法，“正难则反”是处理较复杂排列问题的一个重要策略第十四章 计数原理（选修理科）高考总复习 数学3名男生4名女生排成一列，求满足下列不同要求下的排法数(1)甲、乙两人不能排在一起；(2)甲不在最左边，乙不在最右边；(3)男生站在一起，女生也站在一起；(4)男女生相间；(5)甲必须站在乙的左边(可不相邻)；第十四章
9、计数原理（选修理科）高考总复习 数学(6)若7人身高均不相同，要求正中间的个子最高，从中间向两边看，一个比一个矮；(7)甲必须站在中间，并且乙、丙两位同学要站在一起解(1)先排其余5人，有A55种排法，此五人之间及两端有6个位置让甲、乙去排，有A62种排法，故共有A55A623600种排法(2)解法一：先排最左边，让除了甲之外的6人中的一人去排，有A61种排法，其余6个位置的全排列有A66种排法，其中乙排在最右边时的排法有A51A55种，故共有A61A66A51A553720种排法第十四章 计数原理（选修理科）高考总复习 数学解法二：由于甲不在最左边，因此分为两类：第一类是甲排在第二、三、四、
10、五、六个位置时，有A51种排法，此时乙有A51种排法，剩下的5人有A55种排法；第二类是甲排在最右边时，其余6人有A66种排法综上所述，共有A51A51A55A663720种排法解法三：7个人的全排列，有A77种排法，其中甲在最左边时有A66种排法，乙在最右边时有A66种排法，这两种情形都包含了甲在最左边，乙在最右边的情形，此时有A55种排法，故共有A772A66A553720种排法第十四章 计数原理（选修理科）高考总复习 数学(3)分别将3名男生，4名女生看成一个元素，其排法有A22种排法，而男生间的排法有A33种，女生间的排法有A44种，故共有A22A33A44288种排法(4)3名男生、
11、4名女生要求男女生相间排列，是指“女男女男女男女”，故共有A33A44144种排法第十四章 计数原理（选修理科）高考总复习 数学第十四章 计数原理（选修理科）高考总复习 数学 有9本不同的书下列情况各共有多少种不同分法？(1)分成3堆，每堆3本；(2)分成3堆，每堆分别为2本，3本，4本；(3)分给甲2本，乙3本，丙4本；(4)分给甲、乙、丙3人，其中甲、乙各得2本，丙得5本；(5)分给甲、乙两人各1本，丙、丁两人各2本，戊3本；第十四章 计数原理（选修理科）高考总复习 数学第十四章 计数原理（选修理科）高考总复习 数学(2)分为三步：第一步从9本书中选2本，有C92种选法，第二步从余下的7本
12、书中选3本，有C73种选法，最后余下的四本全选，有C44种选法，由分步乘法计数原理，共有C92C73C441260种方法(3)先从9本书中取2本给甲，再从余下的7本书中取3本给乙，最后剩下的4本书全给丙，故共有C92C73C441260种给法本题实质上与问题(2)一致(4)分步可得：共有C92C72C55756种分法(5)甲先选，有C91种方法，乙再选，有C81种方法，丙再选，有C72种方法，丁再选，有C52种，剩下的3本给戊，所以共有C91C81C72C52C3315120种分法第十四章 计数原理（选修理科）高考总复习 数学点评与警示本题是一个分堆，分配问题，解决的关键是要搞清事件是否与顺序
13、有关，前者堆与堆之间只要元素个数相同是不可区分的，而后者则即使两组元素个数相同，但因组不同，仍然是可区分的解决这类问题的方法是以位置为主，或以元素为主，或先分堆后排列注意平均分堆问题要除以堆数的全排列数，不平均分堆则不需要除，避免产生计数的重复或遗漏第十四章 计数原理（选修理科）高考总复习 数学有9本不同的书，下列情况各有多少种不同分法？(1)分给3个人，每人3本；(2)分给甲、乙、丙3人，一人3本，一人4本，一人2本；(3)分成3堆，其中有2堆各2本，另一堆5本；(4)分成的本数分别为1,1,2,2,3的五堆；(5)摆在3层书架上，每层3本第十四章 计数原理（选修理科）高考总复习 数学第十四
14、章 计数原理（选修理科）高考总复习 数学第十四章 计数原理（选修理科）高考总复习 数学 有5张卡片，它们的正、反面分别写着0与1,2与3,4与5,6与7,8与9，将其中任意三张并排放在一起组成三位数共可组成多少个不同的三位数？解解法一：由于0不能排在百位，而0与1在同一卡片上，故可从0与1这张卡片入手，分为三类：第一类：取0不取1.先从另外4张卡片中任选一张排在百位，有C41种方法；0可排在十位或个位，有C21种排法；再从剩下的三张卡片中任取一张排在余下的位置上，有C31种方法；又除含0的那张外，其它两张都有正面、反面两种可能，故共有C41C21C312296个不同的三位数第十四章 计数原理（
15、选修理科）高考总复习 数学第二类：取1不取0.先从另外四张卡片中任取两张，有C42种取法，其中每张卡片都有正、反面两种排法三张卡片排成三位数，有A33C4222144个第三类：0和1都不取有C43A3323192个不同的三位数综上所述，共有不同的三位数为96144192432个解法二：从五张卡片中任取三张可以组成不同的三位数有C53A3323480个，其中不符合题意的是0排在百位时有C4222A2248个故共有不同的三位数有48048432个第十四章 计数原理（选修理科）高考总复习 数学点评与警示本题考查有条件限制的排列组合问题的解决方法和分类讨论的数学思想每张卡片都有正面与反面两种可能，因此
16、既可以用直接法，也可以用间接法特别需要注意的是分类讨论时要做到不漏不重第十四章 计数原理（选修理科）高考总复习 数学(1)四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点A在同一个平面上，有多少种不同取法？(2)四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，有多少种不同取法？第十四章 计数原理（选修理科）高考总复习 数学解(1)如图，含顶点A的3个面上，除点A外都有5个点，从中取出3点必与点A共面，共有C53330种取法；含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法因此，与顶点A共面的3点的取法有30333种第十四章 计数原理（选修理科）高考
17、总复习 数学(2)(间接法)从10个顶点中取4个点有C104种取法，其中从四面体每一个面上的6个点任取出的4点必定共面，有4C6460种取法；四面体的每一条棱上3点与相对棱中点必共面，共有6种情况；三对对棱中点中任两对对棱中点必共面，有C323种情况综上所述，从四面体的顶点和各棱中点共10个点中取出4点的不共面的取法有C1046063141种第十四章 计数原理（选修理科）高考总复习 数学 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？分析把不放球的盒子先拿走，再放球到余下的盒子
18、中并且不空第十四章 计数原理（选修理科）高考总复习 数学解(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有C41C42C31A22144种(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法第十四章 计数原理（选修理科）高考总复习 数学点评与警示排列、组合
19、综合题目，一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准第十四章 计数原理（选修理科）高考总复习 数学7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子中，试问：每个盒子都不空的放法共有多少种？解解法一：先将其中4个相同的小球放入4个盒子中，有1种放法；再将其余3个相同的小球放入4个不同的盒子中，有以下3种情况：(1)某一个盒子放3个小球，就可从这4个不同的盒子中任选一个放入这3个小球，有C41种不同的放法；第十四章 计数原理（选修理科）高考总复习 数学(2)这3个小球分别放入其中的3个盒子中，就相当于从4个不
20、同的盒子中任选3个盒子，分别放入这3个相同的小球，有C43种不同放法；(3)这3个小球中有两个小球放在1个盒子中，另1个小球放在另一个盒子中，从这4个不同的盒子中任选两个盒子排成一列，有A42种不同的方法综上可知，满足题设条件的放法为C41C43A4220(种)解法二：“每个盒子都不空”的含义是“每个盒子中至少有一个小球”，合理的分类是正确解题的关键若用“隔板法”，可易得C6320.第十四章 计数原理（选修理科）高考总复习 数学第十四章 计数原理（选修理科）高考总复习 数学解排列组合问题的一般策略：(1)特殊元素、特殊位置优先安排的策略；(2)合理分类与准确分步的策略；(3)排列、组合混合问题先选后排的策略；(4)正难则反，等价转化的策略；(5)相邻问题捆绑处理的策略；(6)不相邻问题插空处理的策略；第十四章 计数原理（选修理科）高考总复习 数学(7)定序问题除法处理的策略；(8)分排问题直排处理的策略；(9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；(10)平均分组问题除法处理的策略；(11)相同元素分配问题插板处理的策略；(12)不尽相异元素排列问题比例法处理的策略；(13)构造模型的策略第十四章 计数原理（选修理科）高考总复习 数学