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1、3.103.11 取样与取样定理取样与取样定理连续连续离散离散取样取样还原还原(有条件有条件)取样取样时域时域频域频域自然取样自然取样理想取样理想取样(矩形取样矩形取样)(冲激取样冲激取样)低通低通(掌握掌握)带通带通(3-42)(了解了解)模模拟拟语语音音信信号号输输入入反混迭失真反混迭失真滤波器滤波器取取样样量量化化码码化化器器A/DPCM数数字字语语音音信信号号输输出出 pulse code modulation(PCM)Mpeg audio layer3(mp3)数字信号处理系统简单框图数字信号处理系统简单框图一一.取样的目的及所遇到的问题取样的目的及所遇到的问题问题问题:1)取样后离
2、散信号的频谱是什么样的？它与未被取样的连续信号的频谱有什么关系？2)连续信号被取样后，是否保留了原信号的所有信息？即在什么条件下，可以从取样的信号还原成原始信号？二二.时域时域 抽样抽样抽样过程可以看成由原信号抽样过程可以看成由原信号f(t)和一个开关函数和一个开关函数p(t)的乘积来描述。的乘积来描述。1)矩形脉冲的抽样矩形脉冲的抽样(自然抽样自然抽样)此时的抽样脉冲此时的抽样脉冲p(t)是矩形。由于是矩形。由于fs(t)=f(t)p(t)抽样信号在抽样期间脉冲顶部随抽样信号在抽样期间脉冲顶部随f(t)变化，故这种变化，故这种采样称为采样称为“自然抽样自然抽样”。时域抽样简图时域抽样简图连续
3、信连续信号号f(t)抽样脉冲抽样脉冲p(t)抽样信号抽样信号量化量化编码编码数字信号数字信号*抽样信号频谱推导：抽样信号频谱推导：令模拟带限信号傅立叶变换为令模拟带限信号傅立叶变换为 ,即即抽样脉冲序列的傅立叶变换为抽样脉冲序列的傅立叶变换为设抽样为均匀抽样，周期为设抽样为均匀抽样，周期为Ts，则抽样角频率为，则抽样角频率为由于由于p(t)是周期信号，可知是周期信号，可知p(t)的傅立叶变换为的傅立叶变换为:其中(参看p157.3-100)由频域卷积定理得，时域相乘的傅立叶变换等于它由频域卷积定理得，时域相乘的傅立叶变换等于它们的频谱在频域里相卷积。们的频谱在频域里相卷积。把计算出的把计算出的
4、 代入上式得代入上式得：上式表明上式表明:信号在时域被抽样后，它的频谱信号在时域被抽样后，它的频谱 是连续信是连续信号的频谱号的频谱 以抽样频率角以抽样频率角 为间隔周期地重复为间隔周期地重复而得到的。在重复过程中，幅度被抽样脉冲而得到的。在重复过程中，幅度被抽样脉冲p(t)的的傅立叶系数所加权，加权系数取决于抽样脉冲序列傅立叶系数所加权，加权系数取决于抽样脉冲序列的形状。的形状。(p157 图图350)由以上推导可知，当抽样脉冲为矩形抽样脉冲时，由以上推导可知，当抽样脉冲为矩形抽样脉冲时，幅度以幅度以Sa函数的规律变化。从函数的规律变化。从 的频谱图可见的频谱图可见抽样后的信号频谱包括有原信
5、号的频谱以及无限个抽样后的信号频谱包括有原信号的频谱以及无限个经过平移的原信号的频谱，平移的频率为抽样频率经过平移的原信号的频谱，平移的频率为抽样频率及其各次谐波频率。且平移后的频谱幅值随频率而及其各次谐波频率。且平移后的频谱幅值随频率而呈呈Sa函数分布。函数分布。(1)如果抽样脉冲宽度与系统中各时间常数相比十分小的时如果抽样脉冲宽度与系统中各时间常数相比十分小的时候，这个冲激函数的假定将是一个很好的近似，它将使分候，这个冲激函数的假定将是一个很好的近似，它将使分析简化。析简化。(2)通过冲激抽样的方法来表明数字信号在数字信号处理中通过冲激抽样的方法来表明数字信号在数字信号处理中有着广泛的应用
6、。有着广泛的应用。(点抽样；均匀抽样点抽样；均匀抽样)结语：抽样率必须选得大于信号频谱最高频率的两倍结语：抽样率必须选得大于信号频谱最高频率的两倍。）冲激抽样）冲激抽样(参看参看p157)若抽样脉冲是冲激序列，此时称为若抽样脉冲是冲激序列，此时称为“冲激抽样冲激抽样”或或“理想抽样理想抽样”。设。设Ts为抽样间隔，则抽样脉冲为为抽样间隔，则抽样脉冲为由于由于 T(t)的傅立叶系数为的傅立叶系数为:所以冲激抽样信号的频谱为：所以冲激抽样信号的频谱为：上式表明：由于冲激序列的傅立叶系数上式表明：由于冲激序列的傅立叶系数Pn为常数，为常数，所以所以 是以是以 为周期等幅地重复，如下图所示：为周期等幅
7、地重复，如下图所示：抽样前信号频谱抽样前信号频谱抽样后信号频谱抽样后信号频谱下面对矩形脉冲抽样和冲激抽样进行比较和下面对矩形脉冲抽样和冲激抽样进行比较和小结：小结：时域理想抽样的傅立叶变换时域理想抽样的傅立叶变换FT 相卷积相卷积FT关于非理想抽样关于非理想抽样理想抽样理想抽样非理想抽样非理想抽样唯一唯一唯一唯一*结语结语f.不满足抽样定理时产生频率混叠现象不满足抽样定理时产生频率混叠现象设有一连续信号设有一连续信号 f(t)，它的频谱它的频谱则只要抽样间隔满足则只要抽样间隔满足 ，连续信号连续信号f(t)就可表示为：就可表示为：三三.抽样定理抽样定理(定理一定理一)Fs(w)证明：由于证明：
8、由于f(t)的频带有限的频带有限,而时域而时域抽样必导致频域周期。在周期重复抽样必导致频域周期。在周期重复时，为保证时，为保证 内为内为 ，则重复，则重复周期应满足周期应满足 ,将抽样信号通将抽样信号通过截止频率为过截止频率为 的理想低通滤波的理想低通滤波器，便能从中恢复器，便能从中恢复 ,也就是说，也就是说，能从抽样信号能从抽样信号fs(t)中恢复中恢复复原始信号复原始信号f(t)。设。设 、,则当则当 通过截止频率为通过截止频率为 的理想低通滤波器时，滤波器的理想低通滤波器时，滤波器的响应频谱为的响应频谱为 ，显然滤波器的作用等效于一，显然滤波器的作用等效于一个开关函数个开关函数 同同 的
9、相乘。的相乘。由时域卷积定理知：由时域卷积定理知：由傅立叶变换的对称性可知：由傅立叶变换的对称性可知：而而则则 （内插公式）（内插公式）证毕证毕 上式表明上式表明f(t)可以展开为正交的抽样函数的无穷级数。可以展开为正交的抽样函数的无穷级数。且级数的系数等于抽样值且级数的系数等于抽样值f(nTs),这样，若在抽样信号这样，若在抽样信号fs(t)的每个抽样值上画一个峰值为的每个抽样值上画一个峰值为f(nTs)的的Sa函数的波形，合函数的波形，合成的波形就是成的波形就是f(t).另外，我们知道：另外，我们知道：Sa函数的波形就是理函数的波形就是理想低通滤波器的冲激响应想低通滤波器的冲激响应h(t)
10、，这样，若，这样，若fs(t)通过理想低通通过理想低通滤波器，那么每一个抽样值产生一个冲激响应滤波器，那么每一个抽样值产生一个冲激响应h(t)，这些，这些响应进行叠加便得到响应进行叠加便得到f(t)，从而达到恢复信号的目的。，从而达到恢复信号的目的。Tsfs(t)Tsh(t)Tsf(t)卷积卷积1H(w)相乘相乘由抽样信号恢复原连续信号由抽样信号恢复原连续信号n取主频带取主频带 ：n时域卷积定理：时域卷积定理：定理二：设定理二：设f(t)是一带限连续信号，最高频率为是一带限连续信号，最高频率为 ,根据定理一对根据定理一对f(t)进行抽样，得进行抽样，得f(nT)，则，则f(nT)经经过一个频率
11、响应为如图的理想低通滤波器后便得到过一个频率响应为如图的理想低通滤波器后便得到f(t).(自证自证)H(jw)wwc-wc10由于定理二是讨论由离散由于定理二是讨论由离散信号恢复成连续信号，所信号恢复成连续信号，所以又称重建定理。以又称重建定理。三.频域抽样但反之不一定成立如：白噪声时域抽样与频域抽样的对称性频域有限时域无限时域有限频域无限f(t)以ws为周期重复f(t)以T为周期重复 *频域抽样定理频域抽样定理 若信号若信号 为时限信号，它集中在为时限信号，它集中在 的时间范围内，若在频的时间范围内，若在频域中，以不大于域中，以不大于 的频率间隔对的频率间隔对 的频谱的频谱 进行抽样，则抽样
12、后的进行抽样，则抽样后的频谱频谱 可以唯一地表示原信号。可以唯一地表示原信号。根据时域和频域对称性，可推出频域抽样根据时域和频域对称性，可推出频域抽样定理定理偶函数偶函数变变量量置置换换*频域抽样后的时间函数频域抽样后的时间函数相相乘乘卷卷积积抽样定理小结抽样定理小结n时域对时域对 抽样等效于频域对抽样等效于频域对 重复重复时域抽样间隔不大于时域抽样间隔不大于 。n频域对频域对 抽样等效于时域对抽样等效于时域对 重复重复频域抽样间隔不大于频域抽样间隔不大于 。n满足抽样定理，则不会产生混叠。满足抽样定理，则不会产生混叠。*一余弦信号的周期为一余弦信号的周期为T0，用，用Ts=T0/12的时间间隔对它进的时间间隔对它进行理想抽样，求抽样信号的频谱。行理想抽样，求抽样信号的频谱。图b图c 矩形脉冲的抽样矩形脉冲的抽样(p157 图图350)乘乘卷卷*时域理想抽样的傅立叶变换时域理想抽样的傅立叶变换(图图351)相相乘乘相相卷卷时时域域抽抽样样频频域域周周期期重重复复