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1、导数与微分导数与微分一、一、两个实例两个实例1.变速直线运动的速度变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为则 到 的平均速度为而在 时刻的瞬时速度为自由落体运动2.曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线在 M 点处的切线割线 M N 的极限位置 M T(当 时)割线 M N 的斜率切线 MT 的斜率两个问题的共性共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变更率问题二、导数的概念二、导数的概念定义定义1.设函数在点存在,
2、并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导可导,在点的导数导数.运动质点的位置函数在 时刻的瞬时速度曲线在 M 点处的切线斜率说明说明:在经济学中,边际成本率,边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.若上述极限不存在,在点 不可导.若也称在若函数在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:留意留意:就说函数就称函数在 I 内可导.的导数为无穷大.在点的某个右右 邻域内2.左左 右导数右导数若极限则称此极限值为在 处的右右 导数导数,记作即(左)(左左)定义定义2.设函数有定义,存在,定理定理 函数在点且存在简写为简写为在点处右右 导数存在定理定理
3、3.函数在点必 右右 连续.(左左)(左左)若函数与都存在,则称在开区间 内可导,在闭区间 上可导.可导的充分必要条件是且3.导数的几何意义导数的几何意义曲线在点的切线斜率为若曲线过上升;若曲线过下降;若切线与 x 轴平行,称为驻点驻点;若切线与 x 轴垂直.曲线在点处的切线方程切线方程:法线方程法线方程:三、三、可导与连续可导与连续定理定理1.证证:设在点 x 处可导,存在,因此必有其中故所以函数在点 x 连续.留意留意:函数在点函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.反例反例:在 x=0 处连续,但不行导.即*例例 3 求函数求函数 y=c(c为常数为常数)的导数的导数.解解 因为因为 y
4、=c为常数为常数,所以所以 y=0,这就是说这就是说:常数的导数等于零常数的导数等于零.即即例如例如:若若 y=8 8 ,则则四、求导举例四、求导举例 解解(sin x)=cos x.(cos x)=-sin x.*例例 4求函数求函数 y=sin x 的导的导数数.即即同理可得同理可得1,2,31,2,3步合并步合并解解即即(ex)=ex.特殊地特殊地,当当a=e a=e 时时,有有(ax)=ax lna.例例 5求函数求函数 y=ax(a0,a1)的导的导数数.(当当 x0 时时,与与 xlna 是等价无穷小是等价无穷小)1,2,31,2,3合并合并*例例 6求函数求函数 y=ln x(x
5、 (0,)的导的导数数.解解即即同理可得同理可得1,2,31,2,3合并合并思索题：思索题：3.函数 在某点 处的导数区分:是函数,是数值;联系:留意留意:有什么区分与联系?？与导函数4.4.设存在,则小结小结 1.1.导数的概念导数的概念:2.2.可导与连续可导与连续:3.3.求导举例求导举例:可导必定连续可导必定连续,连续不确定可导连续不确定可导4.4.已学过的导数公式已学过的导数公式(sin x)=cos x.(cos x)=-sin x.(ex)=ex.(ax)=ax lna.作业作业 P60 2.3.6.7 P60 2.3.6.7感谢同学们感谢同学们 一、一、函数的和、差、积、商的求
6、导法则函数的和、差、积、商的求导法则 二、二、复合函数的求导法则复合函数的求导法则 四、四、初等函数的求导公式初等函数的求导公式 三、三、反函数的求导法则反函数的求导法则 五、五、三个求导方法三个求导方法六、六、高阶导数高阶导数其次节其次节 求导法则求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则 例例2.求证证证:类似可证:二、复合函数求导法则二、复合函数求导法则证证:在点 u 可导,故（当 时 )故有例如,关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.推广推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.解解 对对于于复复合合函函数数的的分分解解比比较较熟熟悉悉后后,就就不不
7、必必再再写写出出中中间间变量变量,而可以接受下列例题的方式来计算而可以接受下列例题的方式来计算 例例5.求下列导数:解解:(1)(2)(3)说明说明:类似可得例例6.设求解解:思索思索:若若存在,如何求的导数?这两个记号含义不同练习练习:设例例7.设解解:记则(反双曲正弦)的反函数三、反函数的求导法则三、反函数的求导法则 定理定理2.y 的某邻域内单调可导,证证:在 x 处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知 因此例例9.求反三角函数及指数函数的导数.解解:1)设则类似可求得利用,则2)设则特别当时,小结小结:解解:1.基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式 四、初等函数的求导公
8、式四、初等函数的求导公式3复合函数的求导法则复合函数的求导法则 2函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则 小结小结.和，差，积，商求导法则和，差，积，商求导法则.复合函数求导法则复合函数求导法则.反函数求导法则反函数求导法则.初等函数的求导公式初等函数的求导公式作业作业 P P6 6.(2)(3)(5)(6)(9)10.(2)(3)(5)(6)(9)10.15.(2)(7)(11)15.(2)(7)(11)感谢同学们感谢同学们五、三个求导方法五、三个求导方法若由方程可确定 y 是 x 的函数,由表示的函数,称为显函数显函数.例如例如,可确定显函数可确定 y 是 x 的函数
9、,但此隐函数不能显化.函数为隐函数隐函数.则称此.隐函数求导方法隐函数求导方法:两边对 x 求导(含导数 的方程)例例12.求由方程在 x=0 处的导数解解:方程两边对 x 求导得因 x=0 时 y=0,故确定的隐函数例例13.求椭圆在点处的切线方程.解解:椭圆方程两边对 x 求导故切线方程为即例例14.求的导数.解解:两边取对数,化为隐式两边对 x 求导2.2.对数求导法对数求导法例例14 求求对 x 求导两边取对数的导数.3.由参数方程确定的函数的导数由参数方程确定的函数的导数若参数方程可确定一个 y 与 x 之间的函数可导,且则时,有时,有(此时看成 x 是 y 的函数)关系,不要求驾驭
10、不要求驾驭切线方程为切线方程为:六、高阶导数的概念六、高阶导数的概念速度即加速度即引例引例：变速直线运动定义定义.若函数的导数可导,或即或类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为 n 阶导数,或的二阶导数二阶导数,记作的导数为依次类推,分别记作则称(sin x)=cos x.(cos x)=-sin x.设求解解:依次类推,例例19.思索思索:设设问可得例例20.设求解解:特殊有:解解:规定 0!=1思索思索:例例21.设求例例22.设求解解:一般地,类似可证:作业作业 P P626221.(1)24.(2)21.(1)24.(2)25.(2)27 25.(2)27 感谢同学们感谢
11、同学们 一、一、微分的概念微分的概念 二、二、微分的几何意义微分的几何意义 三、三、微分的运算法则微分的运算法则 四、四、微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用 一、微分的概念一、微分的概念 例例1:一块正方形金属薄片受温度变更的影响一块正方形金属薄片受温度变更的影响,问此薄片面积变更了多少问此薄片面积变更了多少?设薄片边长为设薄片边长为 x,面积为面积为 A,则则面积的增量为面积的增量为关于关于x 的的线性主部线性主部高阶无穷小高阶无穷小时为时为故称为函数在称为函数在 的微分的微分当当 x 在在取取得增量得增量时时,变到变到边长由边长由其其的的微分微分,定义定义:若函数若函数在点在点
12、的增量可表示为的增量可表示为(A 为不依靠于为不依靠于x 的常数的常数)则称函数则称函数而而 称为称为记作记作即即定理定理:函数函数在点在点 可微的可微的充要条件充要条件是是即即在点在点可微可微,说明说明:时时,所以所以时时很小时很小时,有近似公式有近似公式与与是等价无穷小是等价无穷小,当当故当故当二二 微分的几何意微分的几何意义义当当 很小时很小时,则有则有从而从而导数也叫作微商导数也叫作微商切线纵坐标的增量切线纵坐标的增量自变量的微分自变量的微分,记作记作记三、三、微分的运算法则微分的运算法则设设 u(x),v(x)均可微均可微,则则(C 为常数)分别可微分别可微,的微分为的微分为微分形式
13、不变微分形式不变5.复合函数的微分复合函数的微分则复合函数则复合函数基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式(见见 P57表表)例例9.求 解解:例例10.设求 解解:利用一阶微分形式不变性利用一阶微分形式不变性,有有例例11.在下列括号中填入适当的函数使等式成立在下列括号中填入适当的函数使等式成立:说明说明:上述微分的反问题是不定积分要探讨的内容上述微分的反问题是不定积分要探讨的内容.留意留意:数学中的反问题往往出现多值性数学中的反问题往往出现多值性.数学中的反问题往往出现多值性数学中的反问题往往出现多值性,例如例如四、四、微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用当当很小时很小时,运用原则运用原则:得近似等式得近似等式:特殊当特殊当很小时很小时,常用近似公式常用近似公式:很小)证明证明:令得得思索题思索题 小结小结1.1.微分的概念微分的概念2.2.微分的几何意义微分的几何意义3.3.微分的运算法则微分的运算法则4.4.微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用微分基本公式微分基本公式函数的和函数的和,差差,积积,商的微分法则商的微分法则复合函数的微分法则复合函数的微分法则练习 P63 28 29