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1、Page 1已知路程求速度；另一个是已知速度求路程。在已知路程求速度；另一个是已知速度求路程。在等速运动的状况下，这两个问题可以用初等数学等速运动的状况下，这两个问题可以用初等数学来解决，但在变速运动的状况下，只用初等数学来解决，但在变速运动的状况下，只用初等数学就无法解决了。几何上的两个问题是求随意曲线就无法解决了。几何上的两个问题是求随意曲线的切线以及求随意曲线所围成的面积。的切线以及求随意曲线所围成的面积。很多数学家为解决这两类问题都做出了重要很多数学家为解决这两类问题都做出了重要的贡献。这其中以牛顿和莱布尼兹为杰出代表，的贡献。这其中以牛顿和莱布尼兹为杰出代表，他们在前人工作的基础上，
2、分别从力学和几何学他们在前人工作的基础上，分别从力学和几何学独立地创建了微积分学。独立地创建了微积分学。微积分刚一形成，就在解决实际问题中显示微积分刚一形成，就在解决实际问题中显示出强大的威力。例如出强大的威力。例如，在天文学中，它能够精确，在天文学中，它能够精确地计算行星、彗星的运行轨迹和位置。英国天文地计算行星、彗星的运行轨迹和位置。英国天文Page 2学家哈雷就通过这种计算断定学家哈雷就通过这种计算断定1531年、年、1607年、年、1682年出现过的彗星是同一颗彗星，并推想它将年出现过的彗星是同一颗彗星，并推想它将于于1759年再次出现，这个预见后来果真被证明。年再次出现，这个预见后来
3、果真被证明。随后微积分的应用愈来愈广泛，内容也愈来随后微积分的应用愈来愈广泛，内容也愈来愈丰富，但在运用的过程中也出现了一些混乱。愈丰富，但在运用的过程中也出现了一些混乱。这主要是因为当时的微积分并没有准确的数学定这主要是因为当时的微积分并没有准确的数学定义，它的理论体系还不严密，特殊是一些定理的义，它的理论体系还不严密，特殊是一些定理的证明和公式的推导在逻辑上前后冲突，不好理解，证明和公式的推导在逻辑上前后冲突，不好理解，使人感到可疑，但推出的结论往往又是正确无误使人感到可疑，但推出的结论往往又是正确无误的。这样微积分就具有了一种的。这样微积分就具有了一种“奇妙性奇妙性”，微积分，微积分也因
4、此遭到各方面的非议，但是，数学家们并没也因此遭到各方面的非议，但是，数学家们并没有就此止步，在牛顿、莱布尼兹之后，数学家们有就此止步，在牛顿、莱布尼兹之后，数学家们Page 3一方面接着完善微积分的运算体系和推广它的应一方面接着完善微积分的运算体系和推广它的应用，一方面澄清它的基本概念，并建立它的科学用，一方面澄清它的基本概念，并建立它的科学体系，到体系，到19世纪，经过法国的柯西和德国的维尔世纪，经过法国的柯西和德国的维尔斯特拉斯等人的工作，给出了极限概念的精确定斯特拉斯等人的工作，给出了极限概念的精确定义，确立了以极限论为基础的微积分体系之后，义，确立了以极限论为基础的微积分体系之后，才使
5、微积分克服了逻辑上的困难，并使之建立在才使微积分克服了逻辑上的困难，并使之建立在严格的理论基础之上，真正成为一门具有完整科严格的理论基础之上，真正成为一门具有完整科学体系的学科。学体系的学科。微积分是与应用联系着发展起来的，最初牛微积分是与应用联系着发展起来的，最初牛顿应用微积分学及微分方程从开普勒行星运动三顿应用微积分学及微分方程从开普勒行星运动三大定律导出了万有引力定律。此后，微积分学极大定律导出了万有引力定律。此后，微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动自然大的推动了数学的发展，同时也极大的推动自然Page 4科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。科学、社会科学及应用科学各
6、个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用。微积分诞并在这些学科中有越来越广泛的应用。微积分诞生之初的主要背景是物理学和几何学，而今，它生之初的主要背景是物理学和几何学，而今，它几乎为一切领域所运用。几乎为一切领域所运用。从从1665年牛顿创建了流数法到年牛顿创建了流数法到1855年维尔斯年维尔斯特拉斯给出极限的严格定义，经验了特拉斯给出极限的严格定义，经验了190年。假年。假如从我国魏晋时代就有微积分计算方法的萌芽如从我国魏晋时代就有微积分计算方法的萌芽割圆术算起，大约经验了割圆术算起，大约经验了1600多年，若再从阿多年，若再从阿基米德于公元前基米德于公元前3世纪提出世纪提出“穷竭法
7、穷竭法”算起，则算起，则经验了经验了2000多年。微积分这个漫长的发展史，给多年。微积分这个漫长的发展史，给我们的重要启示就是：一个新的理论的诞生，须我们的重要启示就是：一个新的理论的诞生，须要很多人付出艰辛的劳动，甚至要经过几代人的要很多人付出艰辛的劳动，甚至要经过几代人的努力，科学探讨的道路从来就是不平坦的。努力，科学探讨的道路从来就是不平坦的。Page 5 积分学的作用是使人们能够从物体现在的积分学的作用是使人们能够从物体现在的位置和作用在物体上力的学问计算该物体将来位置和作用在物体上力的学问计算该物体将来的位置，求平面上不规则区域的面积，度量曲的位置，求平面上不规则区域的面积，度量曲线
8、的长度，以及求随意空间物体的体积和质量线的长度，以及求随意空间物体的体积和质量 2.2.微积分的作用微积分的作用 微积分是关于运动和变更的数学。哪里有运微积分是关于运动和变更的数学。哪里有运动或增长，哪里要用到的数学就是微积分。动或增长，哪里要用到的数学就是微积分。微分学的作用是使人们能够定义曲线的斜率，微分学的作用是使人们能够定义曲线的斜率，计算运动物体的速度和加速度，求得炮弹能达计算运动物体的速度和加速度，求得炮弹能达到其最大射程的放射角，预料何时行星靠得最到其最大射程的放射角，预料何时行星靠得最近或离得最远。近或离得最远。Page 63.3.如何学好微积分如何学好微积分(1)(1)端正看
9、法是关键端正看法是关键看法确定一切看法确定一切 (2)驾驭方法很重要驾驭方法很重要预习、复习、做练习预习、复习、做练习Page 7 早在几年前早在几年前,世界经济组织进行了一次全球世界经济组织进行了一次全球青少年阅读实力的调查。青少年阅读实力的调查。这个组织在调查报告中指出，这个组织在调查报告中指出，1515岁的青少年岁的青少年不行能在学校里学习到成年以后所需的一切学问不行能在学校里学习到成年以后所需的一切学问技能，因此学校教化必需为终生学习奠定稳固的技能，因此学校教化必需为终生学习奠定稳固的学问基础，而阅读实力是一个人终生学习的基础学问基础，而阅读实力是一个人终生学习的基础和最大的本钱。和最
10、大的本钱。一个经济组织为什么要关注青少年的阅读能一个经济组织为什么要关注青少年的阅读能力呢？原来他们在探讨国际成人阅读实力时发觉力呢？原来他们在探讨国际成人阅读实力时发觉，阅读实力强的人不但比较简洁找到工作，甚至，阅读实力强的人不但比较简洁找到工作，甚至薪水也比较高。学历凹凸当然会影响就业机会，薪水也比较高。学历凹凸当然会影响就业机会，Page 8 犹太民族饱经磨难，但在智力领域中，却常犹太民族饱经磨难，但在智力领域中，却常能处于优势。在犹太人家里，小孩略微懂事，母能处于优势。在犹太人家里，小孩略微懂事，母亲就会翻开圣经，滴一点蜂蜜在上面，然后亲就会翻开圣经，滴一点蜂蜜在上面，然后叫孩子去吻圣
11、经上的蜂蜜。这仪式的用意是叫孩子去吻圣经上的蜂蜜。这仪式的用意是:书本是甜的。犹太人家庭还有一个世代相传的传书本是甜的。犹太人家庭还有一个世代相传的传统，那就是书橱要放在床头，要是放在床尾，就统，那就是书橱要放在床头，要是放在床尾，就会被认为是对书的不敬。会被认为是对书的不敬。1414岁以上的犹太人平均岁以上的犹太人平均每月读一本书，为世界之最。每月读一本书，为世界之最。但是当学历相当时，阅读实力强的人担当高技能但是当学历相当时，阅读实力强的人担当高技能白领工作的机率就明显高得多，而且阅读实力比白领工作的机率就明显高得多，而且阅读实力比学历凹凸更能精确预料一个人在职场的发展。学历凹凸更能精确预
12、料一个人在职场的发展。Page 9二、两个故事二、两个故事介绍数学家欧拉介绍数学家欧拉 1707 1707年年4 4月月1515日欧拉日欧拉（Euler,1707-1783Euler,1707-1783）诞生于瑞士其）诞生于瑞士其次名城巴塞尔，次名城巴塞尔，17201720年进入巴塞尔高年进入巴塞尔高校学习神学、医学和东方语言。由于校学习神学、医学和东方语言。由于受到该校著名教授约翰受到该校著名教授约翰.伯努利及其伯努利及其家族的赏识和影响，欧拉阅读了不少家族的赏识和影响，欧拉阅读了不少数学家的原著，在数学的广袤天地里数学家的原著，在数学的广袤天地里纵横弛骋。欧拉纵横弛骋。欧拉1717岁就获得
13、了巴塞尔岁就获得了巴塞尔高校的硕士学位，高校的硕士学位，1818岁起先发表数学岁起先发表数学论文，论文，17271727年由丹尼尔年由丹尼尔.伯努利举荐伯努利举荐到彼得堡科学院工作，到彼得堡科学院工作，2626岁接替丹尼岁接替丹尼尔担当彼得堡科学院数学教授，并被尔担当彼得堡科学院数学教授，并被选为科学院院士。选为科学院院士。Page 10 欧拉一生的论著数量巨大，涉猎面广，开创性的成果多，共发表论文、著作500多篇（部），以欧拉名字命名数学公式、数学定律、数学量则数不胜数。如欧拉常数、欧拉恒等式、欧拉级数、欧拉方程、欧拉定理等。他还是一位将数学用于物理学、天文学的典范。他创立了分析力学及刚体力
14、学，是理论流体力学的创始人。欧拉有坚忍的毅力和勤奋刻苦的拼搏精神。他在28岁时，为计算彗星轨道，奋战三天，因过度劳累，患了眼疾，使右眼失明。Page 11后来他又不顾自己的眼病，毅然回到寒冷的彼得堡工后来他又不顾自己的眼病，毅然回到寒冷的彼得堡工作，左眼视力很快衰退，他深知自己的双眼将完全失作，左眼视力很快衰退，他深知自己的双眼将完全失明，但没有消沉和倒下，抓紧最终的时间，在黑板上明，但没有消沉和倒下，抓紧最终的时间，在黑板上疾书他发觉的公式，口述其内容，让人笔录。后来，疾书他发觉的公式，口述其内容，让人笔录。后来，他的双目失明白。不幸的事情接踵而来，他的双目失明白。不幸的事情接踵而来，177
15、1年彼年彼得堡大火殃及欧拉的住宅，书籍和手稿全部被焚。得堡大火殃及欧拉的住宅，书籍和手稿全部被焚。1776年，与他朝夕相处的爱妻柯黛玲病故。在这些年，与他朝夕相处的爱妻柯黛玲病故。在这些不幸面前，欧拉没有退缩，而是以非凡的毅力，奋斗不幸面前，欧拉没有退缩，而是以非凡的毅力，奋斗着、拼搏着。他凭借惊人的记忆力和罕见的心算实力，着、拼搏着。他凭借惊人的记忆力和罕见的心算实力，艰苦卓绝地从事探讨，接着让人笔录他的发觉，直到艰苦卓绝地从事探讨，接着让人笔录他的发觉，直到生命生命Page 12的最终一刻。在双目失明的的最终一刻。在双目失明的1717年内，他竟口述年内，他竟口述了了400400篇左右的论文
16、和几本书，其中包括经典名篇左右的论文和几本书，其中包括经典名著积分学原理、代数基础。著积分学原理、代数基础。欧拉的渊博学识，科学上的卓越贡献以及欧拉的渊博学识，科学上的卓越贡献以及他的高尚品德，赢得了全世界的敬重，他不愧他的高尚品德，赢得了全世界的敬重，他不愧为为“数学家之英雄数学家之英雄”。在他晚年的时侯，几乎。在他晚年的时侯，几乎欧洲全部数学家都尊称他为老师。欧洲全部数学家都尊称他为老师。Page 13 关于费马大定理关于费马大定理等。尤其是被誉为相当于数学诺贝尔奖之菲尔兹奖，原来等。尤其是被誉为相当于数学诺贝尔奖之菲尔兹奖，原来只授予不超过只授予不超过40岁的数学家，这次特地为他颁发了一
17、个特岁的数学家，这次特地为他颁发了一个特殊奖。韦尔斯获此殊荣当之无愧，他攻下了殊奖。韦尔斯获此殊荣当之无愧，他攻下了350多年来数多年来数学史上最大的难题。学史上最大的难题。1995年年5月权威性的数学年刊刊载月权威性的数学年刊刊载了英国数学家韦尔斯了英国数学家韦尔斯(A.Wiles,1953-)证明证明费费马大定理的长篇论文。由于这一成就，韦尔马大定理的长篇论文。由于这一成就，韦尔斯几乎囊括了数学界全部的大奖，包括著名斯几乎囊括了数学界全部的大奖，包括著名的沃尔夫奖、费马奖、科尔奖、肖克奖，等的沃尔夫奖、费马奖、科尔奖、肖克奖，等 费马是法国数学家，自学成才，曾提出并证明过很多费马是法国数学
18、家，自学成才，曾提出并证明过很多数学定理。他提出费马大定理，但并未给出证明，只是一数学定理。他提出费马大定理，但并未给出证明，只是一个猜想。还有一个好玩的小插曲：个猜想。还有一个好玩的小插曲：1637年费马在一本拉丁年费马在一本拉丁文书算术中的第八个问题旁边空白处写下了这个猜想，文书算术中的第八个问题旁边空白处写下了这个猜想，接着他写道：接着他写道：“我对此已经有了一个我对此已经有了一个Page 14的确特别奇异的证明，只是此处空白太小，写不下。的确特别奇异的证明，只是此处空白太小，写不下。”后人曾为此专访费马故居，翻遍他的手稿，始终未后人曾为此专访费马故居，翻遍他的手稿，始终未发觉有关证明。
19、这种轶事流传至今，为费马大定理平发觉有关证明。这种轶事流传至今，为费马大定理平添了几分传奇色调。添了几分传奇色调。中学生都知道直角三角形的勾股（弦）定理：x2+y2=z2,其中x、y、z分别为勾、股、弦的长度。奇妙的是x、y、z可以是整数，例如周髀算经记载的“勾三股四弦五”，即x=3，y=4，z=5，就是一组能满足该式的整数解。古希腊的毕达哥达斯学派对之曾进行过深化的探讨，找到了很多组整数解。他们还考察过：x3+y3=z3,出乎意料，始终无人能找出满足此式的x、y、z之非零整数解。费马考察了一般公式：xn+yn=zn，其中n是大于2的整数。他费尽心机，始终找不到非零整数解，于是提出猜想:Pag
20、e 15 费马大定理虽然简洁，证明却难于上青天。很多数学大师包括德国的莱布尼茨和高斯，瑞士的欧拉，法国的勒让徳和柯西都曾试图证明费马大定理，其他数学家以及业余爱好者尝试的更是不计其数，但是统统失败了。曾多次有人宣布证明白费马大定理，仅在1909年至1911年这三年内就提出了一千多篇证明，都因为有人指出证明中有漏洞而被否定了。还有人为此废寝忘食、神魂颠倒，甚至有自杀的。“xn+yn=zn，对于，对于n大于大于2的整数，不存在的整数，不存在x、y、z之非之非零整数解。零整数解。”这就是著名的费马大定理，就这么简洁，这就是著名的费马大定理，就这么简洁，中学生也看得懂。中学生也看得懂。韦尔斯十岁时在一
21、本书中接触到费马大定理，立韦尔斯十岁时在一本书中接触到费马大定理，立刻被迷住了，立志要证明它刻被迷住了，立志要证明它初生之犊不畏虎初生之犊不畏虎!他他的数学老师并未认为他年幼无知而一笑置之，而是不的数学老师并未认为他年幼无知而一笑置之，而是不断激励他、引导他，为他介绍必要的基础学问。断激励他、引导他，为他介绍必要的基础学问。Page 16韦尔斯从剑桥高校毕业后，韦尔斯从剑桥高校毕业后，1980年到美国普林斯顿高年到美国普林斯顿高校做探讨，这些年来他从未忘掉求证费马大定理。校做探讨，这些年来他从未忘掉求证费马大定理。1986年他下决心攻这个难题，但能否成功，他没有把年他下决心攻这个难题，但能否成
22、功，他没有把握。假如心无旁骛专攻费马大定理，不知何时才能发握。假如心无旁骛专攻费马大定理，不知何时才能发表论文。教授必需常常发表论文，否则就有碍声誉和表论文。教授必需常常发表论文，否则就有碍声誉和发展前途。韦尔斯最终想出了两全之计：将自己在其发展前途。韦尔斯最终想出了两全之计：将自己在其他课题取得的成果写成若干篇论文，留着以后渐渐发他课题取得的成果写成若干篇论文，留着以后渐渐发表。韦尔斯起先潜心专攻费马大定理，他很快发觉问表。韦尔斯起先潜心专攻费马大定理，他很快发觉问题极为困难题极为困难当然！否则早就有人解决了。为了求当然！否则早就有人解决了。为了求证费马大定理，不仅要用到最新的数学成果和技巧
23、，证费马大定理，不仅要用到最新的数学成果和技巧，而且还须要创建出新的方法。韦尔斯为了避开干扰，而且还须要创建出新的方法。韦尔斯为了避开干扰，闭门谢客，此事除妻子外无人知晓。面壁七载，最终闭门谢客，此事除妻子外无人知晓。面壁七载，最终“大功告成大功告成”。韦尔斯写出了证明费马大定理的论文，。韦尔斯写出了证明费马大定理的论文，1993年年6月月21日应邀在剑桥高校的国际数学探讨会上日应邀在剑桥高校的国际数学探讨会上宣读。前一天在电脑网宣读。前一天在电脑网Page 17络中已有传言说韦尔斯的论文可能有关费马大定理，络中已有传言说韦尔斯的论文可能有关费马大定理，会场上济济一堂，走道上也站满了新颖会场上
24、济济一堂，走道上也站满了新颖的学生。韦的学生。韦尔斯的论文宣读持续了三天，黑板上写满一排排公式，尔斯的论文宣读持续了三天，黑板上写满一排排公式，擦掉后又写满了，两百多位听众急迫地想知道结果究擦掉后又写满了，两百多位听众急迫地想知道结果究竟如何。直到竟如何。直到6月月23日快结束时，韦尔斯才在黑板上写日快结束时，韦尔斯才在黑板上写出了费马大定理，然后转过身来谦逊地说：出了费马大定理，然后转过身来谦逊地说：“我想就我想就到到此为止。此为止。”费马大定理最终被证明白！大厅里响起一片费马大定理最终被证明白！大厅里响起一片掌声，纷纷向韦尔斯庆贺，消息立刻传遍全世界。掌声，纷纷向韦尔斯庆贺，消息立刻传遍全
25、世界。惋惜兴奋地太早了，不久就在韦尔斯的证明中发觉了漏洞。数学证明中出现漏洞可不是一件小事，证明定理全靠严密的逻辑推理，从前提到结论一步一步环环相扣，不能有一个环节脱扣，否则前功尽弃。对于韦尔斯来说，假如漏洞补不起来，千里长堤溃于一穴，七载艰辛付诸东流。而且将不成熟的论文公开发表也是丢脸的事，韦尔斯这个错误犯大了！但他没有灰心，立刻找了Page 18他的一个学生，两人一起着手补救。又是一年多功夫，他的一个学生，两人一起着手补救。又是一年多功夫，皇天不负苦心人，漏洞最终补起来了。韦尔斯终算幸运皇天不负苦心人，漏洞最终补起来了。韦尔斯终算幸运，类似状况下漏洞补不起来的，大有人在。，类似状况下漏洞补
26、不起来的，大有人在。Page 19三、课程简介三、课程简介 高等数学是高校里工科、理科高等数学是高校里工科、理科以及一些文科专业的必修课程，是一以及一些文科专业的必修课程，是一门数学基础课程。开设本课程的主要门数学基础课程。开设本课程的主要目的，一方面是要使学生比较系统地目的，一方面是要使学生比较系统地理解数学的基本概念和基本理论，驾理解数学的基本概念和基本理论，驾驭数学的基本方法，从而为学好专业驭数学的基本方法，从而为学好专业课学问和进一步学习深层次的数学学课学问和进一步学习深层次的数学学问打好坚实基础；另一方面是要培育问打好坚实基础；另一方面是要培育学生的抽象思维实力、逻辑推理实力、学生的
27、抽象思维实力、逻辑推理实力、空间想象实力、运算实力和综合运用空间想象实力、运算实力和综合运用所学的学问分析和解决问题的实力。所学的学问分析和解决问题的实力。Page 20第一节第一节 函数函数第一章第一章 函数与极限函数与极限一、基本概念一、基本概念二、函数概念二、函数概念三、函数的特性三、函数的特性四、反函数四、反函数五、复合函数五、复合函数 初等函数初等函数Page 21一、基本概念一、基本概念1.1.集合集合:具有某种特定性质的事物的具有某种特定性质的事物的全体全体.组成集合的事物称为该集合的组成集合的事物称为该集合的元素元素.有限集有限集 无限集无限集Page 22不含任何元素的集合称
28、为不含任何元素的集合称为空集空集.规定规定空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.数集分类数集分类:N-自然数集自然数集Z-整数集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集实数集数集间的关系数集间的关系:Page 232.2.区间区间:是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.称为开区间称为开区间,称为闭区间称为闭区间,Page 24称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,有限区间有限区间无限区间无限区间区间长度的定义区间长度的定义:两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度
29、.Page 253.3.邻域邻域:Page 26二、函数概念二、函数概念例例 圆内接正多边形的周长圆内接正多边形的周长圆内接正圆内接正n 边形边形Or)Page 27 邮件的费用依靠于邮件的重量，邮局公布的费用邮件的费用依靠于邮件的重量，邮局公布的费用表可依据邮件的重量表可依据邮件的重量W W确定邮件的费用确定邮件的费用C C。自动纪录仪画出了一天中气温随时间变更的曲线图，自动纪录仪画出了一天中气温随时间变更的曲线图，由图形可以找出在一天中的某个时刻由图形可以找出在一天中的某个时刻t t的温度值的温度值T T。tToPage 28特征：特征：两个变量，依靠关系两个变量，依靠关系 Page 29
30、因变量因变量自变量自变量数集数集D叫做这个函数的叫做这个函数的定义域定义域Page 30自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f函数的两要素函数的两要素:定义域定义域与与对应法则对应法则.思索：当思索：当x x变更时，面积变更时，面积S S与与x x之间是否为函数关系之间是否为函数关系?Page 31 (1)符号函数符号函数几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例1-1xyoPage 32(2)取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线例如例如 1.5=1 -1.5=-2Pag
31、e 33有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(3)狄利克雷函狄利克雷函数数Page 34在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.Page 35oyM-Mxy=f(x)X有界有界1函数的有界性函数的有界性:三、函数的特性三、函数的特性几何意义：几何意义：由于由于|f(x)|M M f(x)M.因此因此,f(x)在在(a,b)内有界内有界.就表示了的就表示了的 f(x)图形夹在两平行直线图形夹在两平行直线例例 y=sinx,y=cosx在（在（-,+)上均为有界函数上均为有界函数,y=M 之间
32、之间.Page 36说明说明:(1)(1)有界函数的界不唯一有界函数的界不唯一 (2)(2)有界性与区间有关有界性与区间有关 例如例如 在在(0,1)(0,1)上无界上无界 在在(1,2)(1,2)上有界上有界y011x等价定义等价定义:假如存在常数假如存在常数 和和 ,使得对任一使得对任一 ,都有都有 ,就称就称 在在 上有界上有界,并分并分别称别称 和和 为为 在在 上的一个下界和上界上的一个下界和上界Page 37等价定义等价定义:假如存在常数假如存在常数 和和 ,使得对任一使得对任一 ,都有都有 ,就称就称 在在 上有界上有界,并分并分别称别称 和和 为为 在在 上的一个下界和上界上的
33、一个下界和上界 函数的有界性定义函数的有界性定义:yM-Mxy=f(x)X 邻域邻域:Page 382函数的单调性函数的单调性:xyoxyoPage 393函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数yxox-xPage 40奇函数奇函数yxox-xPage 414函数的周期性函数的周期性:（通常说周期函数的（通常说周期函数的周期周期是指其是指其最小正周期最小正周期）.在在(无穷无穷)多个正周期中多个正周期中若若存在一个最小数，此最小数称为存在一个最小数，此最小数称为最小正周期最小正周期。Page 42四、反函数四、反函数注注:1.假如假如 称为反函数称为反函数,则则y=f(x)称为干脆函数称为干脆
34、函数.对应规则是一一对应的，定义域和值域互换对应规则是一一对应的，定义域和值域互换 2.习惯上习惯上,用用x表示自变量表示自变量,用用y表示因变量表示因变量,函数函数y=f(x)的反函数一般写为的反函数一般写为 ,xf(D).Page 43 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.3.反函数图象特点反函数图象特点4.单调函数必存在反函数单调函数必存在反函数Page 44关于反三角函数关于反三角函数 由于三角函数都是周期函数,对值域中的随意y值有无穷多个x值与之对应,因此,在 整个定义域上不存在反函数,但如果把三角函数的定义域限制在它的一个单调区间上,这样得 到的
35、函数在该区间上是单调的，就存在反函数。Page 45Page 46Page 47Page 48五、复合函数五、复合函数 初等函数初等函数1.复合函数复合函数代入法代入法Page 49注注1 1 不是任何两个函数都可以复合成一不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的个复合函数的;注注2 2 复合函数可以由两个以上的函数经过复复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成合构成.Page 50例：指出下列复合函数是由哪些简洁函数复合例：指出下列复合函数是由哪些简洁函数复合而成？而成？分解的原则：分解的原则：分解为基本初等函数或多项式函数分解为基本初等函数或多项式函数以及它们的和、差、积、商。以及它们的
36、和、差、积、商。Page 51练习：指出下列复合函数是由哪些简洁函数练习：指出下列复合函数是由哪些简洁函数复合而成？复合而成？Page 52基本初等函数基本初等函数1.幂函数幂函数2 2、初等函数、初等函数Page 532.指数函数指数函数Page 543.对数函数对数函数Page 554.三角函数三角函数正弦函数正弦函数Page 56余弦函数余弦函数Page 57正切函数正切函数Page 58余切函数余切函数Page 59正割函数正割函数Page 60余割函数余割函数Page 615.反三角函数反三角函数Page 62Page 63Page 64 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数
37、函数,三角函数和三角函数和反三角函数统称为反三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.Page 65定义定义:由常数及基本初等函数经过有限次四则由常数及基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算所构成并可用一个式子运算及有限次复合运算所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。表示的函数，称为初等函数。例：例：不是初等函数不是初等函数为初等函数为初等函数不是初等函数不是初等函数为初等函数为初等函数Page 66 第一章第一章 小结小结基本概念基本概念集合集合,区间区间,邻域邻域,函数的概念函数的概念函数的特性函数的特性有界性有界性,单调性单调性,奇偶性奇偶性,周期性周期性.反函数反函数复合函数复合函数 初等函数初等函数精品课件精品课件！精品课件精品课件！Page 69指出下列复合函数是由哪些简洁函数复合而成？指出下列复合函数是由哪些简洁函数复合而成？补充作业补充作业