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1、逻辑代数是分析和设计数字电路的重逻辑代数是分析和设计数字电路的重要工具。利用逻辑代数，可以把实际逻辑要工具。利用逻辑代数，可以把实际逻辑问题抽象为逻辑函数来描述，并且可以用问题抽象为逻辑函数来描述，并且可以用逻辑运算的方法，解决逻辑电路的分析和逻辑运算的方法，解决逻辑电路的分析和设计问题。设计问题。与与、或或、非非是是3 3种种基基本本逻逻辑辑关关系系，也也是是3 3种种基基本本逻逻辑辑运运算算。与与非非、或或非非、与与或或非非、异异或或则则是是由由与与、或或、非非3 3种种基基本本逻逻辑辑运算复合而成的运算复合而成的4 4种常用逻辑运算。种常用逻辑运算。逻逻辑辑代代数数的的公公式式和和定定理
2、理是是推推演演、变变换换及化简逻辑函数的依据。及化简逻辑函数的依据。逻辑函数及其相等概念逻辑函数及其相等概念（1）逻辑表达式：由逻辑变量和与、或、非3种运算符连接起来所构成的式子。在逻辑表达式中，等式右边的字母A、B、C、D等称为输入逻辑变量，等式左边的字母Y称为输出逻辑变量，字母上面没有非运算符的叫做原变量，有非运算符的叫做反变量。（2）逻辑函数：假如对应于输入逻辑变量A、B、C、的每一组确定值，输出逻辑变量Y就有唯一确定的值，则称Y是A、B、C、的逻辑函数。记为留意：与一般代数不同的是，在逻辑代数中，不管是变量还是函数，其取值都只能是0或1，并且这里的0和1只表示两种不同的状态，没有数量的
3、含义。（3）逻辑函数相等的概念：设有两个逻辑函数它们的变量都是A、B、C、，假如对应于变量A、B、C、的任何一组变量取值，Y1和Y2的值都相同，则称Y1和Y2是相等的，记为Y1=Y2。若两个逻辑函数相等，则它们的真值表确定相同；反之，若两个函数的真值表完全相同，则这两个函数确定相等。因此，要证明两个逻辑函数是否相等，只要分别列出它们的真值表，看看它们的真值表是否相同即可。证明等式：3.1逻辑代数的公式、定理和规则逻辑代数的公式、定理和规则1 1、逻辑代数的公式和定理逻辑代数的公式和定理（1）常量之间的关系（2）基本公式分别令分别令A=0及及A=1代入这些代入这些公式，即可证公式，即可证明它们的
4、正确明它们的正确性。性。（3）基本定理利用真值表很简洁证利用真值表很简洁证明这些公式的正确性。明这些公式的正确性。如证明如证明AB=BA：(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC安排率安排率A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC=A+AB+AC+BC等幂率等幂率AA=AAA=A=A(1+B+C)+BC安排率安排率A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC=A+BC0-10-1率率A+1=1A+1=1证明安排率：A+BA=(A+B)(A+C)证明：证明：（4）常用公式安排率安排率A+BC=(A+B)(A+C)A+BC=(A+B)(A+C)互补率互补率A+A=1A+A=10-1
5、0-1率率A A1=11=1互补率互补率A+A=1A+A=1安排率安排率A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC0-10-1率率A+1=1A+1=1例如，已知等式 ，用函数Y=AC代替等式中的A，依据代入规则，等式仍旧成立，即有：2 2、逻辑代数运算的基本规则逻辑代数运算的基本规则（1）代入规则：任何一个含有变量A的等式，假如将全部出现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍旧成立。这个规则称为代入规则。（2）反演规则：对于任何一个逻辑表达式Y，假如将表达式中的全部“”换成“”，“”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得到的表达式就是
6、函数Y的反函数Y（或称补函数）。这个规则称为反演规则。例如：（3）对偶规则：对于任何一个逻辑表达式Y，假如将表达式中的全部“”换成“”，“”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，而变量保持不变，则可得到的一个新的函数表达式Y，Y称为函Y的对偶函数。这个规则称为对偶规则。例如：对偶规则的意义在于：假如两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目削减一半。例如：留意：在运用反演规则和对偶规则时，必需依据逻辑运算的优先依次进行：先算括号，接着与运算，然后或运算，最终非运算，否则简洁出错。逻辑函数的表达式逻辑函数的表达式一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式
7、、或与表达式、与非-与非表达式、或非-或非表达式、与或非表达式5种表示形式。一种形式的函数表达式相应于一种逻辑电路。尽管一个逻辑函数表达式的各种表示形式不同，但逻辑功能是相同的。1 1、逻辑函数的最小项及其性质逻辑函数的最小项及其性质（1）最小项：假如一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。3个变量A、B、C可组成8个最小项：（2）最小项的表示方法：通常用符号mi来表示最小项。下标i的确定：把最小项中的原变量记为1，反变量记为0，当变量依次确定后，可以按依次排列成一个二进制数，则与这
8、个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标i。3个变量A、B、C的8个最小项可以分别表示为：最小项的编号：最小项的编号：把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十进制数，就是该最小项的编号，用相应的十进制数，就是该最小项的编号，用 mi 表示。表示。对应规律：对应规律：原变量原变量 1 反变量反变量 00 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 10 1 234567m0m1m2m3m4m5m6m7（3）最小项的性质：随意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1。全部最小项的和必为1。ABCABC随意两个不
9、同的最小项的乘积必为0。2 2、逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的最小项表达式任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用公式AA1 和A(B+C)ABBC来配项展开成最小项表达式。假如列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。m1ABCm5ABCm3ABCm2ABC将真值表中函数值为0的那些最小项相加，便可得到反函数的最小项表达式。例例 写出下列函数的标准与或式：写出下列函数的标准与或式：解解 或或m6m7m1m3作业：作业：将将+BC+BC化成最小项表达式化成最小项表达式
10、=m7m6m3m1 逻辑函数的化简逻辑函数的化简1 1 逻辑函数的最简表达式逻辑函数的最简表达式逻辑函数的最简表达式逻辑函数的最简表达式2 2 逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法3 3 逻辑函数的图形化简法逻辑函数的图形化简法逻辑函数的图形化简法逻辑函数的图形化简法4 4 含随意项的逻辑函数的化简含随意项的逻辑函数的化简含随意项的逻辑函数的化简含随意项的逻辑函数的化简退出退出退出退出 逻辑函数的化简逻辑函数的化简 在逻辑运算中有些逻辑函数往往不是以最简的形式给出，这既在逻辑运算中有些逻辑函数往往不是以最简的形式给出，这既不利于推断这些逻辑函数的因果
11、关系，也不利于用最少的电子器不利于推断这些逻辑函数的因果关系，也不利于用最少的电子器件来实现这些逻辑函数，因而有必要对这些逻辑函数进行化简。件来实现这些逻辑函数，因而有必要对这些逻辑函数进行化简。化简方法有代数法和卡诺图法。化简方法有代数法和卡诺图法。一、逻辑函数表达式的类型和最简式的含义一、逻辑函数表达式的类型和最简式的含义1、表达式的类型、表达式的类型 一个逻辑函数，其表达式的类型是多种多样的。人们常依据逻一个逻辑函数，其表达式的类型是多种多样的。人们常依据逻辑电路的结构不同，把表达式分成辑电路的结构不同，把表达式分成5类：与类：与-或、或或、或-与、与非与、与非-与与非、或非非、或非-或
12、非、与或非、与-或或-非。非。例如：例如：与与-或或 =与非与非-与非与非 与与-或或-非非 或或-与与 或非或非-或非或非2、最简与-或表达式 所谓最简与-或表达式，是指乘积项的个数是最少的，而且每个乘积项中变量的个数也是最少的与-或表达式。这样的表达式逻辑关系更明显，而且便于用最简的电路加以实现（因为乘积项最少，则所用的与门最少；而每个乘积项中变量的个数最少，则每个与门的输入端数也最少），所以化简有其好用意义。二、代数法化简逻辑函数 代数法化简就是反复运用逻辑代数的基本公式和定理，消去多余的乘积项和每个乘积项中的多余因子，从而得到最简表达式。逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法1 1、
13、并项法、并项法利用公式1，将两项合并为一项，并消去一个变量。若两个乘积项中分别包含同一个因子的原变量和反变量，而其他因子都相同时，则这两项可以合并成一项，并消去互为反变量的因子。运用摩根定律运用安排律运用安排律2 2、吸取法、吸取法假如乘积项是另外一个乘积项的因子，则这另外一个乘积项是多余的。运用摩根定律（）利用公式，消去多余的项。（）利用公式+，消去多余的变量。假如一个乘积项的反是另一个乘积项的因子，则这个因子是多余的。、配项法、配项法（）利用公式（），为某一项配上其所缺的变量，以便用其它方法进行化简。（）利用公式，为某项配上其所能合并的项。、消去冗余项法、消去冗余项法利用冗余律，将冗余项消
14、去。例：化简函数解：先求出Y的对偶函数Y，并对其进行化简。求Y的对偶函数，便得的最简或与表达式。例：例：已知逻辑函数表达式为已知逻辑函数表达式为把它化为最简的与把它化为最简的与-或逻辑函数表达式。或逻辑函数表达式。解：解：解：例：化简逻辑函数：（利用 ）（利用A+AB=A）解：例：例：化简逻辑函数化简逻辑函数（利用反演律）利用 ）（配项法）（利用A+AB=A）（利用A+AB=A）（利用 ）三、卡诺图法化简逻辑函数 卡诺图化简法是逻辑函数式的图解化简方法。它克服了代数化简法对最终化简结果难以确定的缺点，具有确定的化简步骤，能比较便利地获得逻辑函数的最简与-或表达式。1、逻辑函数的最小项（1）最小
15、项的定义 在逻辑函数表达式中，假如一个乘积项包含了全部的输入变量，而且每个变量都是以原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次，该乘积项就称为最小项。、A(B+C)等则不是最小项。例如，A、B、C三个逻辑变量的最小项有（23）8个，即、31（2）、）、最小项的编号最小项的编号 三个变量的全部最小项的真值表三个变量的全部最小项的真值表 m0m1m2m3m4m5m6m7最小项的表示：通常用最小项的表示：通常用mi表示最小项，表示最小项，m 表示最小项表示最小项,下标下标i为为最小项号。最小项号。0001000000000101000000010001000001000000100001100010
16、00010100000100110000000101110000000132对于变量的任一组取值，全体最小项之和为对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1 1。对于随意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为对于随意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1 1；对于变量的任一组取值，随意两个最小项的乘积为对于变量的任一组取值，随意两个最小项的乘积为0 0；0001000000000101000000010001000001000000100001100010000101000001001100000001011100000001三个变量的全部最小项的真值表三个变量的全部最小项的真值表 （3）
17、、）、最小项的性质最小项的性质 33（4）、）、逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的最小项表达式 l为为“与或与或”逻辑表达式；逻辑表达式；l 在在“与或与或”式中的每个乘积项都是最小项。式中的每个乘积项都是最小项。例例1 1 将将化成最小项表达式化成最小项表达式=m7m6m3m5 逻辑函数的最小项表达式：逻辑函数的最小项表达式：34（4）、）、逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的最小项表达式 l为为“与或与或”逻辑表达式；逻辑表达式；l 在在“与或与或”式中的每个乘积项都是最小项。式中的每个乘积项都是最小项。例例1 1 将将化成最小项表达式化成最小项表达式=m7m6m3m5 逻辑函数的最小项表达式：
18、逻辑函数的最小项表达式：35 例例2 将将 化成最小项表达式化成最小项表达式 a.去掉非号去掉非号b.去括号去括号2、逻辑函数的卡诺图（1）卡诺图的画法规则 n个逻辑变量可以组成2n个最小项。在这些最小项中，假如两个最小项仅有一个因子不同，而其余因子均相同，则称这两个最小项为逻辑相邻项。为表示最小项之间的逻辑相邻关系，美国工程师卡诺设计了一种最小项方格图。他把逻辑相邻项支配在相邻的方格中，按此规律排列起来的最小项方格图成为卡诺图。在画卡诺图时，应遵循如下规定：将n变量函数填入一个分割成2n个小方格的矩形图中，每个最小项占一格，方格的序号和最小项的序号一样，由方格左边和上边二进制代码的数值确定。
19、卡诺图要求上下、左右相对的边界、四角等相邻格只允许一个变量发生变更(即相邻最小项只有一个变量取值不同)。（2）用卡诺图表示逻辑函数 既然任何一个逻辑函数都可以表示为若干个最小项之和形式，那么也就可以用卡诺图来表示逻辑函数。实现用卡诺图来表示逻辑函数的一般步骤是：先将逻辑函数化成最小项表达式；在相应变量卡诺图中标出最小项，把式中所包含的最小项在卡诺图相应小方格中填1，其余的方格填上0(或不填)。38AB10100100011110 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m110001111000011110ABCD三变量卡诺图三变量卡
20、诺图四变量卡诺图四变量卡诺图两变量卡诺图两变量卡诺图m0m1m2m3ACCBCA m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7ADBB39（3）、已知逻辑函数画卡诺图当逻辑函数为最小项表达式时，在卡诺图中找出和表达式中最小项对应的小方格填上1，其余的小方格填上0（有时也可用空格表示），就可以得到相应的卡诺图。任何逻辑函数都等于其卡诺图中为1的方格所对应的最小项之和。例1：画出逻辑函数L(A,B,C,D)=(0,1,2,3,4,8,10,11,14,15)的卡诺图40例例2 画出下式的卡诺图画出下式的卡诺图0 00 00 00 00 0解解1.1.将逻辑函数化为最小项表达式将逻辑函数化为最小项
21、表达式2.2.填写卡诺图填写卡诺图3、用卡诺图化简逻辑函数 化简的依据：基本公式、常用公式 。因为卡诺图中最小项的排列符合相邻性规则，因此可以干脆的在卡诺图上合并最小项。因而达到化简逻辑函数的目的。（1）、化简的依据）、化简的依据42（2）、化简的步骤）、化简的步骤用卡诺图化简逻辑函数的步骤如下：用卡诺图化简逻辑函数的步骤如下：、将全部包围圈对应的乘积项相加。、将全部包围圈对应的乘积项相加。、将逻辑函数写成最小项表达式将逻辑函数写成最小项表达式、按最小项表达式填卡诺图，凡式中包含了的最小项，、按最小项表达式填卡诺图，凡式中包含了的最小项，其对应方格填其对应方格填1，其余方格填，其余方格填0。、
22、合并最小项，即将相邻的、合并最小项，即将相邻的1方格圈成一组方格圈成一组(包围圈包围圈)，每一组含每一组含2n个方格，对应每个包围圈写成一个新的乘积个方格，对应每个包围圈写成一个新的乘积项。本书中包围圈用虚线框表示。项。本书中包围圈用虚线框表示。43画包围圈时应遵循的原则：画包围圈时应遵循的原则：、包围圈内的方格数一定是、包围圈内的方格数一定是2n个，且包围圈必须呈矩形。个，且包围圈必须呈矩形。、循环相邻特性包括上下底相邻，左右边相邻和四角相邻。、循环相邻特性包括上下底相邻，左右边相邻和四角相邻。、同一方格可以被不同的包围圈重复包围多次，但新增的、同一方格可以被不同的包围圈重复包围多次，但新增
23、的包围圈中一定要有原有包围圈未曾包围的方格。包围圈中一定要有原有包围圈未曾包围的方格。、一个包围圈的方格数要尽可能多、一个包围圈的方格数要尽可能多,包围圈的数目要可能少。包围圈的数目要可能少。44例例 :用卡诺图法化简下列逻辑函数用卡诺图法化简下列逻辑函数（2）画包围圈合并最小项，得最简与）画包围圈合并最小项，得最简与-或表达式或表达式 解：解：(1)由由L 画出卡诺图画出卡诺图(0，2，5，7，8，10，13，15)45011 1 11 1 1 111111 10例:用卡诺图化简011 1 11 1 1 111111 10圈圈0圈圈1两点说明：在有些状况下，最小项的圈法不只一种，得到的各个乘
24、积项组成的与或表达式各不相同，哪个是最简的，要经过比较、检查才能确定。不是最简最简 在有些状况下，不同圈法得到的与或表达式都是最简形式。即一个函数的最简与或表达式不是唯一的。含随意项的逻辑函数的化简含随意项的逻辑函数的化简随意项随意项：函数可以随意取值（可以为0，也可以为1）或不会出现的变量取值所对应的最小项称为随意项，也叫做约束项或无关项。1 1、含随意项的逻辑函数含随意项的逻辑函数例如：推断一位十进制数是否为偶数。不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现 说 明 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 1 01 0 1 1 0 1 1 0 10 0 1 0 1 1 1 0 01
25、0 1 0 0 1 0 1 10 0 0 1 1 1 0 1 01 0 0 1 00 1 0 0 10 0 0 0 11 1 0 0 01 0 0 0 0Y A B C DY A B C D输入变量A，B，C，D取值为00001001时，逻辑函数Y有确定的值，依据题意，偶数时为1，奇数时为0。A，B，C，D取值为1010 1111的状况不会出现或不允许出现，对应的最小项属于随意项。用符号“”、“”或“d”表示。随意项之和构成的逻辑表达式叫做 随意条件或约束条件，用一个值恒为 0 的条件等式表示。含有随意条件的逻辑函数可以表示成如下形式：2 2、含随意项的逻辑函数的化简含随意项的逻辑函数的化简在
26、逻辑函数的化简中，充分利用随意项可以得到更加简洁的逻辑表达式，因而其相应的逻辑电路也更简洁。在化简过程中，随意项的取值可视具体状况取0或取1。具体地讲，假如随意项对化简有利，则取1；假如随意项对化简不利，则取0。不利用随意项的化简结果为：利用随意项的化简结果为：3 3、变量相互排斥的逻辑函数的化简、变量相互排斥的逻辑函数的化简在一组变量中，假如只要有一个变量取值为1，则其它变量的值就确定为0，具有这种制约关系的变量叫做相互排斥的变量。变量相互排斥的逻辑函数也是一种含有随意项的逻辑函数。简化真值表本节小结逻辑函数的化简有公式法和图形法等。公式法是利用逻辑代数的公式、定理和规则来对逻辑函数化简，这
27、种方法适用于各种困难的逻辑函数，但须要娴熟地运用公式和定理，且具有确定的运算技巧。图形法就是利用函数的卡诺图来对逻辑函数化简，这种方法简洁直观，简洁驾驭，但变量太多时卡诺图太困难，图形法已不适用。在对逻辑函数化简时，充分利用随意项可以得到特别简洁的结果。逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法及其相互转换及其相互转换1 1 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法2 2 逻辑函数表示方法之间的转换逻辑函数表示方法之间的转换逻辑函数表示方法之间的转换逻辑函数表示方法之间的转换退出退出退出退出逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法1 1、真值表真值表真值表：是由变量的全部
28、可能取值组合及其对应的函数值所构成的表格。真值表列写方法：每一个变量均有0、1两种取值，n个变量共有2i种不同的取值，将这2i种不同的取值按依次（一般按二进制递增规律）排列起来，同时在相应位置上填入函数的值，便可得到逻辑函数的真值表。例如：当A=B=1、或则B=C=1时，函数Y=1；否则Y=0。2 2、逻辑表达式逻辑表达式逻辑表达式：是由逻辑变量和与、或、非3种运算符连接起来所构成的式子。函数的标准与或表达式的列写方法：将函数的真值表中那些使函数值为1的最小项相加，便得到函数的标准与或表达式。3 3、卡诺图卡诺图卡诺图：是由表示变量的全部可能取值组合的小方格所构成的图形。逻辑函数卡诺图的填写方
29、法：在那些使函数值为1的变量取值组合所对应的小方格内填入1，其余的方格内填入0，便得到该函数的卡诺图。4 4、逻辑图逻辑图逻辑图：是由表示逻辑运算的逻辑符号所构成的图形。、波形、波形图图波形图：是由输入变量的全部可能取值组合的高、低电平及其对应的输出函数值的高、低电平所构成的图形。逻辑函数表示方法之间的转换逻辑函数表示方法之间的转换1 1、由真值表到、由真值表到逻辑图的转换逻辑图的转换真值表真值表逻辑表逻辑表达式或达式或卡诺图卡诺图 1 1 最简与或最简与或表达式表达式化简 2 或 2&画逻辑图画逻辑图 3&1ABCA最简与或最简与或表达式表达式&CBBAACABACYACBBAACY&ABC
30、ABAC若用与非门实若用与非门实现，将最简与现，将最简与或表达式变换或表达式变换乘最简与非乘最简与非-与非表达式与非表达式 3 2 2、由、由逻辑图逻辑图到真值表到真值表的转换的转换逻辑图逻辑图逻辑表逻辑表达式达式 1 1 最简与或最简与或表达式表达式化简 2&A1CBBAACY11 2 从输入到输出逐级写出最简与或最简与或表达式表达式 3 真值表真值表 3 本节小结逻辑函数可用真值表、逻辑表达式、卡诺图、逻辑图和波形图5种方式表示，它们各具特点，但本质相通，可以相互转换。对于一个具体的逻辑函数，原委接受哪种表示方式应视实际须要而定。在运用时应充分利用每一种表示方式的优点。由于由真值表到逻辑图和由逻辑图到真值表的转换，干脆涉及到数字电路的分析和设计问题，因此显得更为重要。