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1、差分方程的求解差分方程的求解zz差分方程求解方法有两种：差分方程求解方法有两种：差分方程求解方法有两种：差分方程求解方法有两种：zz(1)(1)基于解析方法的基于解析方法的基于解析方法的基于解析方法的Z Z变换法变换法变换法变换法zz(2)(2)基于计算机求解的迭代法基于计算机求解的迭代法基于计算机求解的迭代法基于计算机求解的迭代法zz用用用用Z Z变换法求解差分方程较为简便，且可求得差分方程变换法求解差分方程较为简便，且可求得差分方程变换法求解差分方程较为简便，且可求得差分方程变换法求解差分方程较为简便，且可求得差分方程解的数学解析式。解的数学解析式。解的数学解析式。解的数学解析式。zz用用
2、用用Z Z变换法求解差分方程的步骤为：变换法求解差分方程的步骤为：变换法求解差分方程的步骤为：变换法求解差分方程的步骤为：zz(1)(1)对差分方程进行对差分方程进行对差分方程进行对差分方程进行Z Z变换；变换；变换；变换；zz(2)(2)用用用用Z Z变换的平移定理将时域差分方程转化为变换的平移定理将时域差分方程转化为变换的平移定理将时域差分方程转化为变换的平移定理将时域差分方程转化为Z Z域差分方程，代入域差分方程，代入域差分方程，代入域差分方程，代入初始条件并求解；初始条件并求解；初始条件并求解；初始条件并求解；zz(3)(3)将将将将Z Z变换写成有理多项式的形式，再求变换写成有理多项
3、式的形式，再求变换写成有理多项式的形式，再求变换写成有理多项式的形式，再求Z Z反变换，得到差分方程反变换，得到差分方程反变换，得到差分方程反变换，得到差分方程的解。的解。的解。的解。1计算机限制技术课程讲义例：用例：用Z变换求解差分方程：变换求解差分方程：解：解：2计算机限制技术课程讲义3计算机限制技术课程讲义4.5 脉冲传递函数脉冲传递函数4.5.1 4.5.1 基本概念基本概念基本概念基本概念脉冲传递函数的定义：在零初始条件下，线性定常系统输出采脉冲传递函数的定义：在零初始条件下，线性定常系统输出采样信号的样信号的Z变换变换Y(z)与输入采样信号的与输入采样信号的Z变换变换R(z)之比，
4、称为该之比，称为该系统的脉冲传递函数或系统的脉冲传递函数或Z传递函数传递函数，记为，记为G(z),即即G(z)y(k)Y(z)r(k)R(z)单输入单输出离散系统方框图单输入单输出离散系统方框图4计算机限制技术课程讲义4.5.2 脉冲传递函数与差分方程脉冲传递函数与差分方程zz差分方程和脉冲函数是对系统特性的不同的数学描述，差分方程和脉冲函数是对系统特性的不同的数学描述，差分方程和脉冲函数是对系统特性的不同的数学描述，差分方程和脉冲函数是对系统特性的不同的数学描述，虽然形式不同，但本质一样，可相互转换虽然形式不同，但本质一样，可相互转换虽然形式不同，但本质一样，可相互转换虽然形式不同，但本质一
5、样，可相互转换一、离散系统的脉冲传递函数：一、离散系统的脉冲传递函数：对上式两边作对上式两边作Z变换，并利用延迟定理，有：变换，并利用延迟定理，有：5计算机限制技术课程讲义若已知离散系统的脉冲传递函数，同样也可得到相应的若已知离散系统的脉冲传递函数，同样也可得到相应的差分方程，将上式交叉相乘，则得差分方程，将上式交叉相乘，则得再对函数再对函数Y(z)和和R(z)进行进行Z反变换，得到各自的离散形式反变换，得到各自的离散形式y(kT)和和r(kT)，而，而z的负幂表示延迟因子，因此可得到相的负幂表示延迟因子，因此可得到相应的应的n阶差分方程。阶差分方程。6计算机限制技术课程讲义二、连续系统的脉冲
6、传递函数二、连续系统的脉冲传递函数zz所谓连续系统的脉冲传递函数是指连续系统的输入与输所谓连续系统的脉冲传递函数是指连续系统的输入与输所谓连续系统的脉冲传递函数是指连续系统的输入与输所谓连续系统的脉冲传递函数是指连续系统的输入与输出采样函数出采样函数出采样函数出采样函数Z Z变换之比，即：变换之比，即：变换之比，即：变换之比，即：在输出端虚设一采样开关，对输出的连续时间信号做假在输出端虚设一采样开关，对输出的连续时间信号做假想采样，采样周期与输入端采样开关的周期想采样，采样周期与输入端采样开关的周期T相同。相同。G(s)G(z)y*(t)y(t)r(t)r*(t)TT实际采样系统G(Z)等价离
7、散系统R(z)Y(z)7计算机限制技术课程讲义zz假如已知采样系统的连续传递函数假如已知采样系统的连续传递函数假如已知采样系统的连续传递函数假如已知采样系统的连续传递函数G(s),G(s),并且当其输入端加并且当其输入端加并且当其输入端加并且当其输入端加入虚拟开关变为离散系统时，采样系统的脉冲传递函数求解入虚拟开关变为离散系统时，采样系统的脉冲传递函数求解入虚拟开关变为离散系统时，采样系统的脉冲传递函数求解入虚拟开关变为离散系统时，采样系统的脉冲传递函数求解步骤为：步骤为：步骤为：步骤为：zz1.1.对连续传递函数对连续传递函数对连续传递函数对连续传递函数G(s)G(s)进行拉氏变换，求出脉冲
8、响应函数进行拉氏变换，求出脉冲响应函数进行拉氏变换，求出脉冲响应函数进行拉氏变换，求出脉冲响应函数zz g(t)=L-1G(s)g(t)=L-1G(s)zz2.2.求出求出求出求出g(t)g(t)的采样函数的采样函数的采样函数的采样函数g*(t)g*(t)zz3.3.对对对对g*(t)g*(t)进行进行进行进行Z Z变换，求得该系统的脉冲传递函数变换，求得该系统的脉冲传递函数变换，求得该系统的脉冲传递函数变换，求得该系统的脉冲传递函数G(z)G(z)脉冲传递函数还可由脉冲传递函数还可由G(s)经部分分式法，干脆查找经部分分式法，干脆查找Z变换变换和拉普拉斯变换对应表求得。和拉普拉斯变换对应表求
9、得。8计算机限制技术课程讲义例：已知采样系统的连续传递函数为：例：已知采样系统的连续传递函数为：试求该系统的脉冲传递函数试求该系统的脉冲传递函数G(z)解：解：9计算机限制技术课程讲义4.5.3 开环脉冲传递函数开环脉冲传递函数zz一、连续系统串联环节一、连续系统串联环节一、连续系统串联环节一、连续系统串联环节方框图方框图G1(s)G2(s)R(s)Y(s)但是，对离散系统而言，串联环节的脉冲传递函数不确但是，对离散系统而言，串联环节的脉冲传递函数不确定如此，这由各环节之间有无同步采样开关来确定定如此，这由各环节之间有无同步采样开关来确定10计算机限制技术课程讲义二、离散系统串联环节二、离散系
10、统串联环节1、串联各环节之间有采样器的状况、串联各环节之间有采样器的状况G1(s)脉冲传递函数等于两个环节脉冲传递函数等于两个环节脉冲传递函数等于两个环节脉冲传递函数等于两个环节的脉冲传递函数之积。的脉冲传递函数之积。的脉冲传递函数之积。的脉冲传递函数之积。G2(s)11计算机限制技术课程讲义2、串联各环节之间无采样器的状况、串联各环节之间无采样器的状况G2(s)G1(s)没有采样开关分隔的两个线性环节串联时，其脉冲传没有采样开关分隔的两个线性环节串联时，其脉冲传没有采样开关分隔的两个线性环节串联时，其脉冲传没有采样开关分隔的两个线性环节串联时，其脉冲传递函数为这两个环节的传递函数相乘之积的递
11、函数为这两个环节的传递函数相乘之积的递函数为这两个环节的传递函数相乘之积的递函数为这两个环节的传递函数相乘之积的Z Z变换。变换。变换。变换。12计算机限制技术课程讲义例例 设设两个环节串联，分别求出中间有采样开关和无采样开关时系两个环节串联，分别求出中间有采样开关和无采样开关时系统的开环脉冲传递函数。统的开环脉冲传递函数。解：解：两个环节中间有采样开关时两个环节中间有采样开关时两个环节中间无采样开关时两个环节中间无采样开关时13计算机限制技术课程讲义三、有零阶保持器的开环脉冲传递函数三、有零阶保持器的开环脉冲传递函数zz零阶保持器的传递函数为零阶保持器的传递函数为零阶保持器的传递函数为零阶保
12、持器的传递函数为GGh h(s)=(s)=G(s)带有零阶保持器的限制系统方框图带有零阶保持器的限制系统方框图采样后经零阶保持器相当于串联环节之间无采样开关的状况采样后经零阶保持器相当于串联环节之间无采样开关的状况14计算机限制技术课程讲义4.5.4 采样系统的闭环脉冲传递函数采样系统的闭环脉冲传递函数B(z)15计算机限制技术课程讲义闭环脉冲传递函数闭环脉冲传递函数闭环脉冲传递函数闭环脉冲传递函数误差脉冲传递函数误差脉冲传递函数误差脉冲传递函数误差脉冲传递函数对于单位反馈系统对于单位反馈系统闭环脉冲传递函数闭环脉冲传递函数闭环脉冲传递函数闭环脉冲传递函数误差脉冲传递函数误差脉冲传递函数误差脉
13、冲传递函数误差脉冲传递函数16计算机限制技术课程讲义例：已知采样限制系统如下图，求计算系统的闭环脉冲传递例：已知采样限制系统如下图，求计算系统的闭环脉冲传递 函数函数解：解：y(t)Y(z)r(t)+系统开环脉冲传递函数为：系统开环脉冲传递函数为：17计算机限制技术课程讲义4.6 方框图及其分析方框图及其分析脉冲传递函数也可用方块图表示，增加一个部件脉冲传递函数也可用方块图表示，增加一个部件脉冲传递函数也可用方块图表示，增加一个部件脉冲传递函数也可用方块图表示，增加一个部件 采样开关采样开关采样开关采样开关4.6.1 采样开关位置与脉冲传递函数的关系采样开关位置与脉冲传递函数的关系1、连续输入，连续输出、连续输入，连续输出2、连续输入，离散输出、连续输入，离散输出3、离散输入，离散输出、离散输入，离散输出4、离散输入，连续输出、离散输入，连续输出例：方框图分析例：方框图分析例例1、例、例2、18计算机限制技术课程讲义