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1、自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明 例：炉温采样限制系统例：炉温采样限制系统 第一节第一节 采样基本概念采样基本概念 连续限制方式：由于炉温上升有惰性，阀门敏感连续限制方式：由于炉温上升有惰性，阀门敏感,造成炉温大幅度震荡。造成炉温大幅度震荡。采样限制方式：只有检流计指针与电位器接触时，电动机才旋转。间隔采样限制方式：只有检流计指针与电位器接触时，电动机才旋转。间隔T时时 间间,接通接通时间时间,等待炉温变更等待炉温变更,避开振荡。避开振荡。自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明 炉 燃料 供应阀放大器与执行电机给定炉温误差信号离散误差信号电机转速阀门开度炉温-T误差信号离散误差信号采样系
2、统典型结构图采样系统典型结构图自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明n1.青藏铁路环境监测系统n2.微机监测n3.日本新干线综合平安监测系统n4.计算机限制系统其它典型采样限制系统其它典型采样限制系统自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明 一.采样过程 连续信号变换为脉冲信号。输出为宽度等于的调幅脉冲系列，在采样瞬时nT(n=0,1,2,)时出现。其次节其次节 采样过程与采样定理采样过程与采样定理自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明特别小，通常为毫秒到微秒级，一般远小于采样周期T。e*(t)=e(t)T(t）其中:(t-nT)是时刻t=nT时强度为1的单位脉冲 e(t)只有在采样瞬间才有意义
3、.志向采样器(单位脉冲序列)幅值调制过程连续信号二二.采样过程的数学描述采样过程的数学描述自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明采样过程的拉氏变换 有有:依据拉氏变换的位移定理自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明设 ，试求采样拉氏变换E*(s)解解：上式是上式是 eTs 的有理函数的有理函数.但但 eTs是含变量是含变量S的超越函数，不便进行分析和运算，的超越函数，不便进行分析和运算，因此常用因此常用Z变换代替拉氏变换。变换代替拉氏变换。举例举例自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明 从理论上指明白从采样信号中不失真的复现原连续信号所必需的理论上的最小采样周期T.香农采样定理香农采样定理：假
4、如采样器的输入信号e(t)具有有限带宽，并且最高角频率为 Wmax,则只要采样频率满足Ws2Wmax，则采样后的脉冲序列中将包含了连续信号的全部信息。三三.采样定理采样定理自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明第三节第三节 信号复现与零阶保持器信号复现与零阶保持器一.信号保持 把离散信号转换为连续信号，称为信号保持，该装置称保持器。保持器：用离散时刻信号复现连续时刻信号。自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明二二.零阶保持器零阶保持器1.作用：把采样信号e*(t)每一个采样瞬时值e(kT)始终保持到下一个采样瞬间e(k+1)T,从而使采样信号 e*(t)变成 阶梯信号eh(t)。2.名称由来：
5、处在每个采样区间内的信号值为常数，导数为零，故得名。将阶梯信号eh(t)的每个区间中点连接起来，可得到与e(t)形态一样时间上落后T/2的曲线e(t-T/2)。自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明3.3.零阶保持器的传递函数和频率特性零阶保持器的传递函数和频率特性 r(t)=(t),R(s)=1 志向单位脉冲gh(t)=1(t)-1(t-T)单位脉冲响单位脉冲响应应传递函数传递函数 幅频特性：幅频特性：相频特性相频特性:其中其中:S S=2=2/T 频率特性频率特性:自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明零阶保持器的频率特性零阶保持器的频率特性低通特征：幅频特性中幅值随频率值的增大而快速衰减
6、.相角滞后特性：w=ws 处，相角滞后可达180 零阶保持器可以用无源网络近似代替.|G0(j)|S 2S 3S-自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明零阶保持器的频率特性零阶保持器的频率特性信号e(t)在t=nT 及t=(n+1)T 之间的数值可以用一个级数来描述 外推法:用采样点数值外推求得采样点之间的数值.只取第一项-零阶保持器.只取前两项-一阶保持器.一阶保持器比零阶保持器信号复原更精确,但相位滞后增加,对稳定性不利.自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明第四节第四节 Z Z变换理论变换理论 各项均含有 esT 因子，为S的超越函数。为便于应用，对离散系统的分析一般接受Z变换.同拉氏变
7、换一样,是一种数学变换.离散信号e*(t)的拉氏变换为:自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明一一.Z.Z变换变换1.Z变换定义：代入上式得:e(kT)表征采样脉冲的幅值，Z的幂次表征采样脉冲出现的时刻。自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明2.2.典型信号的典型信号的Z Z变换变换（1）单位脉冲函数 E(z)=1由此可见，只要e*(t)相同，E(z)就相同，无论e(t)是否相同。（3）单位志向脉冲序列（2）单位阶跃信号（4）单位斜坡序列 e(t)=t e(t)=t常用Z变换可查表。自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明例1:求指数函数 e-at(a 0)的Z变换。解：指数函数采样后所得的脉冲
8、序列如下所示 e(nT)=e-anT (n=0,1,)代入Z变换的定义式可得 E(z)=1+e-aTz-1+e-2aTz-2+e-3aTz-3+若|e aT z-1|1，该级数收敛，利用等比级数求和公式，其Z变换的闭合形式为:(级数求和法)举例举例自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明设 ,求e*(t)的Z变换。留意：不行将 干脆代入E(s)求E(z)，因为E(s)是连续信号e(t)的拉氏变换，而Z 变换是对离散的e*(t)而言的。解：举例举例自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明求正弦函数e(t)=sint 的Z 变换解：对e(t)=sint取拉氏变换得 绽开为部分分式，即 求拉氏反变换得
9、分别求各部分的Z变换，得 化简后得举例举例自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明（1）线性定理（2）时移定理 实数位移的含义是指整个采样序列在时间轴上左右平移若干采样周期.左移为超前,右移为延迟.3.Z3.Z变换的基本定理变换的基本定理自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明例:试计算 e-a(t T)的Z 变换，其中a为常数。解：由时移定理例:已知e(t)=t-T，求E(z)。解：由时移定理举例举例自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明（3）复数位移定理 复数位移定理的含义是：函数e(t)乘以指数序列e aT 的 Z 变换，就等于在E(z)中，以 ze+aT 取代原算子 z。（4）终值定理 E
10、(z)=Ze(t)，且E(z)在Z平面的单位圆上除1之外没有极点，在单位圆外解析,则有:Z Z变换的基本定理变换的基本定理自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明例:已知 e(t)=te-at，求E（z）。解：由复数位移定理举例举例自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明例:设Z 变换函数为 试利用终值定理确定e(nT)的终值。解：由终值定理举例举例自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明二二.Z.Z反变换反变换 Z反变换 已知Z变换表达式 E(z)，求相应离散序列 e(nT)的过程 自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明例：E(z)/z 绽开部分分式，然后所得每一项都乘以绽开部分分式，然后所得每一
11、项都乘以z，即得，即得E(z)绽开式。绽开式。1.1.部分分式绽开法部分分式绽开法自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明2.2.幂级数法（综合除法）幂级数法（综合除法）分子分母同时除以分母得依据Z变换定义:E(Z)=e(KT)Z-K e(KT)表征采样脉冲的幅值，Z的幂次表征采样脉冲出现的时刻。自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明举例举例例：自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明用用Z Z 变换法求解差分方程变换法求解差分方程 用Z 变换法解差分方程的实质和用拉氏变换解微分方程类似，对差分方程两端取 Z 变换，并利用Z 变换的实数位移定理，得到以 Z 为变量的代数方程，然后对代数方程的解C(
12、z)取 Z 反变换，求得输出序列c(k)。自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明例：试用Z 变换法解下列二阶差分方程 c(k+2)+3c(k+1)+2c(k)=0 设初始条件为：c(0)=0,c(1)=1解：对差分方程的每一项，进行Z变换，依据实数位移定理 Zc(k+2)=z2c(k)-z2c(0)zc(1)=z2C(z)z Z3c(k+1)=3zC(z)-3c(0)=3z C(z)Z2c(k)=2C(z)于是差分方程转换为Z 的代数方程：(z2+3z+z)C(z)=z 举例举例自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明举例举例查Z变换表，求出Z反变换 即 c(k)=(-1)K (-2)K （K=
13、0，1，2，）自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明第五节第五节 脉冲传递函数脉冲传递函数 说明：（1）零初始条件：t0，输入脉冲序列各采样值r(-T)，r(-2T)及输出脉冲序列各采样值C(-T)，C(-2T),均为零。零初始条件下，输出采样信号的Z变换与输入量C采样信号的Z变换之比。一 脉冲传递函数定义 （2）输出的采样信号为:c*(t)=z-1C(z)=z-1 G(z)R(z)自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明（3）实际系统的输出可能是连续信号，此时可以想象输出端虚设一采 样开关，与输入采样开关同步工作，并具有相同的采样周期。只由系数及方程结构确定。分母为脉冲传递函数的特征方程。（4
14、）脉冲传递函数与差分方程式一一对应说明说明自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明（1）由定义动身（2）由S变换Z变换关系求得例:设某环节的差分方程为 c(nT)=r(n-k)T 试求其脉冲传递函数G(z)。解：对差分方程取Z 变换，并由实数位移定理得 C(z)=z-k R(z)由脉冲传递函数的定义二二 脉冲传递函数的求法脉冲传递函数的求法自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明例例：举例举例单位脉冲响应-单位脉冲作用下的输出单位脉冲作用下输出采样信号的Z变换-输出的Z变换单位脉冲(输入)Z变换=1单位脉冲传递函数=输出的Z变换.自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明过程过程 假如已知连续系统或元
15、件的传递函数G(s)，g(t)=L-1G(s)取其离散值得 g*(t)，则 G(z)=Zg*(t)自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明2.2.串联连续环节的脉冲传递函数串联连续环节的脉冲传递函数例：ZG1(S)G2(S)ZG1(S)ZG2(S)自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明（1 1）串联环节之间有采样开关）串联环节之间有采样开关 由脉冲传递函数定义 D(z)=R(z)G1(z)C(z)=D(z)G2(z)所以 C(z)=R(z)G1(z)G2(z)即开环系统脉冲传递函数 G(z)=G1(z)G2(z)上式表明，有志向采样开关隔开的两个线性环节串联时的脉冲传递函数,等于这两个环节各自的
16、脉冲传递函数之积。G1(s)G2(s)c*(t(t)G1(z)G2(z)G(z)D(z)R(z)自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明（2 2）串联环节之间无采样开关）串联环节之间无采样开关D(s)=R*(s)G1(s)C(s)=D(s)G2(s)C(s)=R*(s)G1(s)G2(s)对C(s)取离散化，并由采样拉氏变换的性质C*(s)=R*(z)G1G2(s)*取Z 变换，得C(z)=R(z)G1G2(z)即 G(z)=G1G2(z)上式表明，没有志向采样开关隔开的两个线性连续环节串联时的脉冲传递函数，等于这两个环节传递函数乘积后的Z 变换。G1(s)G2(s)*(t)c(t c)G(z)
17、R(z)D(s)R(s)C(s)自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明n 3.3.有零阶保持器的开环脉冲传递函数有零阶保持器的开环脉冲传递函数f*(t-T)为其采样后信号，比f*(t)延时一个周期T,由Z变换的时移定理自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明例:设如图所示离散系统，求系统的脉冲传递函数G(z)。其中解:举例举例自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明举例举例 加入零阶保持器，不会影响脉冲传递函数的分母，从而也不会影响采样系统的稳定性.自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明三三 闭环系统脉冲传递函数闭环系统脉冲传递函数说明:（1）无确定公式，采样开关位置不同，则(z)不同；（2）(z
18、)有可能无法求出，而只能得到C(z)。自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明例1：举例举例自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明结论：闭环离散系统的特征方程 D(z)=1+HG(z)相同举例举例自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明例2：设闭环离散系统结构如图，试证其输出采样信号的Z变换函数:证：C(s)=G(s)E(s)E(s)=R(s)-H(s)C*(s)C(s)=G(s)R(s)-G(s)H(s)C*(s)C*(s)=GR*(s)-GH*(s)C*(s)举例举例自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明例3:如图所示的多环系统，求系统的输出的表达式。解：整理得 又 代入得 举例举例自动控制原
19、理自动控制原理 蒋大明蒋大明举例举例对其取脉冲变换得 作Z 变换并整理得 自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明第六节第六节 采样系统的性能分析采样系统的性能分析 1.离散系统稳定性的充分必要条件离散系统稳定性的充分必要条件 若离散系统在有界输入序列作用下，其输出序列也是有界的，则称该 离散系统是稳定的。一一 稳定性分析稳定性分析 2.时域中离散系统稳定的充要条件时域中离散系统稳定的充要条件 当差分方程全部特征根的模当差分方程全部特征根的模 时，相应的线性定常离散系统是稳时，相应的线性定常离散系统是稳 定的。定的。自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明 对于连续系统来说，其在S域稳定的充要条件
20、是系统传递函数的极点均严格位于S左半平面，并由劳斯判据进行推断。为了把连续系统在S域分析稳定性的结果移植到Z 域分析离散系统的稳定性，必须要先考虑S 域到 Z 域的映射关系。脉冲传递函数与差分方程的关系 此式与系统的差分方程对应的特征方程式完全相同，即同一系统的差分方程与脉冲传递函数具有相同的特征方程。稳定性分析稳定性分析自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明即S 域负实部根映射于Z 域单位圆内。=0，则|z|=1 0，则|z|0，且 2.736-0.632k0，则k4.33故系统稳定的K值范围是：0k4.33自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明 离散系统的稳态性能是用稳态误差来表征的。与连
21、续系统类似，离散系统稳态误差和系统本身及输入信号都有关系，在系统特性中起主要作用的是系统的型别以及开环增益。稳态误差既可用级数的方法求取，也可用终值定理求取.二二 稳态误差分析稳态误差分析自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明系统如图 假如极点全部严格位于Z平面上的单位圆内，即系统稳定，则应用Z变换的终值定理即可求出采样瞬时的终值误差。由于离散系统没有唯一的典型结构图形式，所以误差脉冲传递函数也给不出一般的计算公式。用终值定理求取稳态误差用终值定理求取稳态误差 自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明例:采样系统结构如图所示，采样周期T=0.2钞，输入信号r(t)=1+t+t2/2 试计算系统的
22、稳态误差。解：1求G(z)查Z变换表可得将采样周期T=0.2秒代入并化简得举例举例自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明闭环特征方程为绽开得即 进行w变换，将 代入上式并整理得列劳斯表第一列全部为正,闭环系统稳定.2.2.判别系统的闭环稳定性判别系统的闭环稳定性自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明 r(t)=1+t+t 2/2 R(z)=+T=0.2 e()=0.13.求系统的稳态误差求系统的稳态误差自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明通过定义误差系数来简化稳态误差的计算过程通过定义误差系数来简化稳态误差的计算过程静态加速度误差系数静态加速度误差系数静态速度误差系数静态速度误差系数静态位置
23、误差系数静态位置误差系数与连续系统类似，定义误差系数误差系数 定义系统的型别型别分别为0型、型、型 依据G(z)在z=1处极点的个数自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明单位反馈采样系统单位反馈采样系统A.B.举例举例自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明 由此可知：对于单位反馈误差采样系统，可干脆用静态误差系数求稳态误差。C.举例举例自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明静态误差系数和系统型别的关系静态误差系数和系统型别的关系假如G(z)在z=1有0，1，2，个极点，则系统的型别分别是0型、I型、II型若G(z)在z=1的极点个数为0，则Kp为有限值，若G(z)在z=1时的极点个数大于或等于
24、1，则Kp=,可见对O型系统，Kp,对于I型及以上系统，Kp=。若G(z)在z=1的极点个数为0，则Kv=0；若G(z)在z=1的极点个数为1，Kv为有限值，若G(z)在z=1的极点个数大于或等于2，Kv=。可见对0型及I型系统，Kv,对于II型及以上系统，Kv=。依次类推，对于O型、I型、II型系统，Ka，对于III型及以上系统，Ka=.自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明单位反馈误差采样系统的误差系数和稳态误差表单位反馈误差采样系统的误差系数和稳态误差表自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明重做上例.3.求e()先求静态误差系数。可见系统为II型系统 所以，由表7-3可知，对于r(t)=
25、1+t+作用下的稳态误差举例举例自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明三三.动态性能分析动态性能分析 假如已知采样限制系统的数学模型（差分方程、脉冲传递函数等），通过递推计算及Z变换法，不难求出典型输入作用下的系统输出信号的脉冲序列c*(t)，从而可能以很便利地分析系统的动态性能。自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明例:设有零阶保持器的采样系统 如图所示，其中 r(t)=1(t)，T=1(s)，k=1。试分析该系统的动态性能。解：先求开环脉冲传递函数G(z)。由图中可以看出，连续环节包含有零阶保持器，则 查Z变换表并化简得举例举例自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明 再求闭环脉冲传递函数
26、将 代入，求出单位阶跃序列响应的Z 变换利用长除法，将C(z)展成无穷幂级数由Z变换定义，输出序列c(nT)为举例举例自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明依据C(nT)的值，可以绘出单位阶跃响应c*(t)由图求得系统的近似性能指标为：上升时间:tr=2(s)峰值时间:tp=3.5(s)调整时间:ts=12(s)超调量:%=40%。举例举例自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明闭环极点分布与瞬态响应的关系设设(z)无重极点，则无重极点，则C(z)/z可绽开成部分分式为可绽开成部分分式为当输入信号当输入信号r(t)=1(t)时，有时，有设系统闭环脉冲传递函数设系统闭环脉冲传递函数自动控制原理自动
27、控制原理 蒋大明蒋大明n分几种状况探讨瞬态重量 的变更规律 n 1.Pi为实轴上的单极点(f)-1，交替变更符号的发散脉冲序列(e)=-1，交替变更符号的等幅脉冲序列(d)-1 0，交替变更符号的衰减脉冲序列(c)0 1，发散脉冲序列发散脉冲序列Pi Pi Pi Pi Pi Pi 闭环极点分布与瞬态响应的关系闭环极点分布与瞬态响应的关系自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明闭环极点分布与瞬态响应的关系闭环极点分布与瞬态响应的关系自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明2.为共轭复数极点为共轭复数极点 对应的瞬态重量对应的瞬态重量 按振荡规律变更，振荡角频率正比于按振荡规律变更，振荡角频率正比于(
28、1)1，为发散振荡脉冲序列为发散振荡脉冲序列(2)=1，为等幅振荡脉冲序列为等幅振荡脉冲序列(3)1，为衰减振荡脉冲序列为衰减振荡脉冲序列Pi 闭环极点分布与瞬态响应的关系闭环极点分布与瞬态响应的关系自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明闭环极点分布与瞬态响应的关系闭环极点分布与瞬态响应的关系自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明 采样系统暂态响应的基本特性取决于极点在Z平面上的分布.极点越靠近原点,暂态响应衰减得越快；极点的幅角越趋于零,暂态响应振荡的频率就越低;因此为使系统具有较为满足的暂态性能，其闭环极点最 好分布在单位圆的右半部，且尽量靠近原点。闭环极点分布与瞬态响应的关系闭环极点分布
29、与瞬态响应的关系自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明 四四 根轨迹法在采样系统中的应用根轨迹法在采样系统中的应用解：T=1s时，例：考虑一个二阶系统，其开环脉冲传递函数如下，绘出采样周期T=1s 参数k变更时系统的根轨迹，并推断系统稳定时k值范围。区分：临界稳定点是根轨迹与单位圆的交点。同连续系统根轨迹法自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明(5)与单位圆的交点与单位圆的交点 系统的稳定性不仅与系统的稳定性不仅与k有关，也与采样周期有关，也与采样周期T有关，在相同的有关，在相同的k值时，采值时，采样周期样周期T越小，系统越简洁稳定。越小，系统越简洁稳定。(4)分别点(会合点)由下式确定(3)
30、实轴上z=0.368z=0.135，及z=0 z=-为根轨迹部分(2)渐进线为(1)起点z=0.368及z=0.135，终点z=0，z=-根轨迹法在采样系统中的应用根轨迹法在采样系统中的应用自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明五五 频率法在采样系统中的应用频率法在采样系统中的应用 用双线性变换到域后应用频率法.例:考虑脉冲传递函数 把G(z)经双线性变换后绘制波特图。解：将G(Z)进行双线性变换,G(z)变为 写出幅频和相频函数如下 自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明频率法在采样系统中的应用频率法在采样系统中的应用例:单位负反馈限制系统的开环传递函数为:绘制其Nyquist图，并求系统稳定的k值范围。解：由双线性变换得 其Nyquist图为:jIm=0ReK/3自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明精品课件精品课件！自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明精品课件精品课件！自动控制原理自动控制原理 蒋大明蒋大明本章小结本章小结1.采样与保持.2.Z变换.3.脉冲传递函数.4.采样系统稳定性分析.5.采样系统稳态误差和动态性能分析.