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1、一、填空题不定积分练习题A1. 已知 2 e2 x是 f (x)的一个原函数， 则 f (x)dx =4e2 x+ C ， f (x)dx =2e2 x+ C ， f (sin x)cos xdx = 2e2sin x+ C ， f (x +1)dx =2e2( x+1) + C ， xf (x)dx =2(2 x -1)e2 x+ C .2. 若 f (2 x)dx = 2cos x + C ，则 f (x) = -2sinx.（两边求导得 f (2 x) = -2sin x ，再换元）2x3. 过点(1,1) 且在任一点(x, y) 处切线斜率为 x2的曲线方程为 y =275+x 2.7
2、74. 若 f (x)dx = x2 + x + C ，则 f (2 x +1)dx =1(2 x +1)2 + 2x +1+ C.25. 若 f (ex ) = 1+ x，则 f (x) = x ln x + C. （由已知 f (x) = 1+ ln x ，再积分即可）6. 若 f (x) 具有连续的一阶导数，则 ex f (x) + f (x)dx =ex f (x) + C.（后半部分用分部积分可与前半部分抵消） 二、计算题1. 解： x41+ x2dx = (x2 -1+11+ x2)dx =x3 - x + arctan x + C；132. 解： x31+ x2dx = (x -
3、x1+ x2)dx；11= 1 x2 - 1 1d (1+ x2 ) =x2 -ln(1+ x2 ) + C221+ x23. 解：sin3 xdx = - (1- cos2221x)d cos x = - cos x +cos3 x + C ；34. 解： x +1dx =1 2x - 2dx + 2dx =1 d (x2 - 2x + 5) + 2dxx2 - 2x + 52x2 - 2x + 5x2 - 2x + 52x2 - 2x + 5(x -1)2 + 221x -1=ln x2 - 2x + 5 + arctan+ C；222x + 3d (x2 + 3x -10)5. 解： d
4、x = x2 + 3x -10x2 + 3x -10x1d (x2 - 9)dx = ln x2 + 3x -10 + C ；x2 - 9x2 - 9x2 - 96. 解： dx =2+ C；7. 解： xdx = - 1 d (9 - x2 ) = -9 - x29 - x29 - x29 - x22+ C；8. 解： dx = 3cos t 3cos tdt = 3 1- sin2 t dt = 3 (csc t - sin t)dt x3sin tsin t9 - x23 -9 - x2x= 3ln csc t - cot t + 3cos t + C = 3ln+ C；x2 - 99.
5、 解：当 x 0 时， dx = 3tan t 3sec t tan tdt = 3 tan2 tdt = 3 (sec2 t -1)dt x3sec t= 3tan t - 3t + C =+ 3arccos 3 + C，x2 - 9x33x2 - 9u2 - 9u2 - 9x2 - 9当 x 0 时， dx= du =+ 3arccos+ C =+ 3arccos+ C ，所以xx=- ux2 - 9x2 - 9xdx =uu-xx+ 3arccos 3 + C ；(1+ x2 )310. 解： 1dx = 1 sec3 tsec2 tdt = cos tdt = sin t + C =1
6、+ C；1+ x211. 解： arctanxdx = arctan tdt 2= t 2 arctan t - dt = t 2 arctan t - (1-)dt= t 2 arctan t - t + arctan t + C = (x + 1)arctan1+ t 2xt 21-x+ C ；1+ t 212. 解： dx = 2 ln(1+ t 2 )dt = 2(t ln(1+ t 2 ) - 2dt)xxln(1+2x)t1+ t 2x= 2t ln(1+ t 2 ) - 4t + 4arctan t + C = 21. 求下列不定积分ln(1+ x) - 4xB+ 4arctan
7、+ C；1. 解： tan3 x sec4xdx = tan3 x sec2 xd tan x = (tan5 x - tan3 x)d tan x =tan6 x -tan4 x + C ；1164sin(x + p - p )sin(x + p ) - cos(x + p )2. 解： sin xsin x + cos xdx = 44dx = 1 2sin(x + p )24p4dx2sin(x +)44= 1 (1- cot(x + p )dx = 1 (x - ln sin(x + p ) + C ；24243. 解： x2 cos2xdx =1 x2 (1+ cos 2x)dx =
8、 1 x3 + 1 x2d sin 2x = 1 x3 + 1 x2 sin 2x - 1 x sin 2xdx264642= 1 x3 + 1 x2 sin 2x + 1 xd cos 2x = 1 x3 + 1 x2 sin 2x + 1 x cos 2x - 1 cos 2xdx64464441+ 1 x2 sin 2x + 1 x cos2x - 16448=x31 + xx4. 解：令= t ，则 x =1t 2 -1sin 2x + C ；，111原式= ln(1+ t)d1= ln(1+ t) - dt=ln(1+ t) - ( 4-4-2)dtt 2 -1t 2 -1(t 2
9、-1)(t +1)t 2 -1t -1t +1(t +1)2= ln(1+ t) - 1 ln(t -1) + 1 ln(t +1) -1+ Ct 2 -1442(t +1)= x ln(1+1+ x ) + 1 ln() +1+ x +1x1+ x -1xx41+ C ；2(1+ x +1)xarctan ex1115. 解： dx = - arctan exde-2 x = -e-2 x arctan ex + e-2 xd arctan exe2 x22211ex11dex11= - e-2 x arctan ex+ dx = - e-2 x arctan ex+ = - e-2 x+
10、arctan ex + C ；22e-2 x (1+ e-2 x )221 + e2 x22ex -16. 解：令= t ，则 x = ln(t2 +1) ，原式= (t2 +1)ln(t2 +1)t2d ln(t2 +1) = 2 ln(t2 +1)dt = 2t ln(t2 +1) - 4dt tt2 +1= 2t ln(t2 +1)- 4t + 4arctan t + C = 2xex -1 - 4ex -1 + 4arctanex -1 + C ；1 +1d (x - 1 )x - 17. 解： 1+ x2dx = x2dx = x=1 arctanx + C ；221+ x411+
11、x2x2(x -)2 + 2x1 +11 -18. 解： 1dx =1 1+ x2dx + 1 1- x2dx = 1 x2dx + 1 x2dx1+ x421+ x421+ x421+ x221 + x2x2x2x +-xx +x1212111= 1 2d (x -)x1- 1 2d (x +)x1=1 arctanx -1222x -ln+ C ；2(x - )2 + 2(x + )2 - 2xx9. 解：当 x 0 时， e- x dx = e- xdx = -e- x + C ，. 当 x 0 时， e- x dx = exdx = ex + C ，1 -=-e- x所 以 e x d
12、x+ C, x 0-e- x -=，又因为 e x dx+ C, x 0可导，故函数连续，ex+ C , x 01ex+ C , x 0=- -=1所以C+1 = C -1 ，所以C-e- xC2 ，所以 e x dx+ C, x 0.112(x -1),x 1ex- 2 + C, x 02. 已知函数 f (x) = ln x,x 1 ，求 f (x) 的一个原函数.解：记 F (x) = x1f (t)dt ，则 F (x) 为 f (x) 的一个原函数，当 x 1时， F (x) = 当 x 1时， F (x) = x ln tdt = x ln x - x +1 ，1x 2(t -1)dt = (x -1)2 ，1x ln x - x +1,x 1所以 F (x) = .(x -1)2, x 1