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1、微专题一 多元变量的最值问题经验分享在数学中经常碰到求含有多个变量的最值问题，此类题目题型众多，解法也很多，学生 在面对含有多个变量的问题时，最大的困扰是不知从何处入手.对于高中生，主要掌握的是 一元变量的最值问题.因此，解决多元变量的最值问题，减元是常见的办法.一、代入减元例1设x, yR+,且2丫+8N一xy=。，求x+y的最小值.解 由2x+8)，一孙=()得)，=一,因为x, yR+,所以x8,所以X -o(2r , 2(x8)+16, , 16x+y=x-to=工+2 +,%-8X-8X-8=。-8)+售 +1022、/ (%8占+10= 18, X oX o当且仅当x8=T，即x=
2、12时，取“=”号. 人 O所以，当x=12, y=6时，x+y取得最小值18.点评 此题是一道学生经常见到的求多变量最值的试题，虽然此解法不是最优的解法，但可 能是学生比较容易想到的解法.它的优点是由前面的等式可以得到)，=W，代入x+y中， 从而使二元变量变为一元变量，从而达到解题的目的.二、等量减元例2设正实数x, y, z满足f3xy+4y2z=0,则当手取得最大值时，+；一?的最大值 zX y l为()9A. 0 B. I C.j D. 3答案B解析 由已知得z=l3孙+4)2(*)则节=_3：+4F=j I W1,当且仅当x=2y时取等号，把x=2y代入(*)式，得2= ”-32)
3、?,所以沼乂+；3=_母_1)2+臼.点评 此题是2013年山东高考理科第12题，作为选择题压轴题，其难度在于如何寻求多元 变量x, y, z之间的关系，进而达到减元的目的.其实，由)变到_3：；+4产就已经应用 到了代入消元，再由7_3；+4/变到一仍然用到了整体消元的思想(把,当做整体)，x -3从而寻求到了午取最大值时变量工，)，z之间的关系.最后由+!一?变到一3+,应用到了X, y, Z之间的等量关系进行减元，从而达到求出最值的目的.这是一道典型的利用减元的 方法求多元变量最值的例题.三、换元减元例3已知0, y ,不等式2sin 9cos 夕+sin，+cos。一加+120恒成立，
4、求实数机的取 值范围.解原问题等价于：当0,耳时，不等式 zwW2sin Bcos 9+sin 4-cos 8+1 恒成立.令 y=2sin Jcos 6+sin 夕+cos。+1,夕 0,即求函数的最小值.令 f=sin min = 2.故 ?W2.点评 此题中的sin伙os/sin 9+cos。若不加处理难以将变量统一起来.但是，观察到sin。 cos。与sinO+cos。的关系，通过换元很巧妙的将变量完善统一起来，达到减元的目的. 四、整体减元 例4已知函数/(x)=xln x-jrx-a(aG R)在其定义域内有两个不同的极值点.求的取值范围；(2)设两个极值点分别为为，12,证明：x
5、i-X2e2.解0x20,则由以上两式分别相加和相减得：ln(XlX2)=(Xl+x2),In-=67(XX2).消去4得】n(XM2)=坐/加.又因为要证xi次2/成立，故只需证In(xiX2)2,即只需证+由02,Xi X2 A2z即证源2发,J即只需证忌2.；.E+1令r=7 1，则上式为In Xztr 1构造函数g(f)=ln r2 j7j7j-(/l),则g S=*+?y。，所以函数g在(1,十8)上单调递 t 1增，所以g(g(l)=O,即不等式In2布成立.故孙X2e2.点评 此题属于难题.由证明的结论可知，结论中没有参数出故首先需要先消掉参数 故由In xi=i, In 12=好2变形后再消去。，但是也不能就这两个式子简单地消掉a,只有 这样才能有后面的将非当做整体进行减元的构造，从而达到解决问题的目的，这也是解决此 题的艺术精华所在.以上几题均是求多元变量的最值问题，可以发现这类问题的基本策略是减元，进而利用 单元函数求最值，从而达到解题的目的.可见，减元是解决这类多元最值问题的一把利器.