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1、主主 讲：讲：韩韩 信信专专 业：运筹学与限制论业：运筹学与限制论线性代数线性代数1用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组(1)(2)在中学，我们接触过二元、三元等简在中学，我们接触过二元、三元等简洁的线性方程组洁的线性方程组.但是，从很多实践或理但是，从很多实践或理论问题里导出的线性方程组常常含有大量论问题里导出的线性方程组常常含有大量的未知数，并且未知数的个数与方程的个的未知数，并且未知数的个数与方程的个数也不确定相等数也不确定相等.我们先探讨未知数的个数与方我们先探讨未知数的个数与方程的个数相等的特殊情形程的个数相等的特殊情形.在探讨在探讨这一类线性方程组时，我们引入这一类线性
2、方程组时，我们引入行列式这个计算工具行列式这个计算工具.4第一章第一章 行列式行列式内容提要内容提要1 1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式2 2 全排列和对换全排列和对换3 n 3 n 阶行列式的定义阶行列式的定义4 4 行列式的性质行列式的性质5 5 行列式按行（列）绽开行列式按行（列）绽开行列式的定义行列式的定义.行列式的性质及计算行列式的性质及计算.行列式是线性代数行列式是线性代数的一种工具！的一种工具！学习行列式主要就学习行列式主要就是要能计算行列式是要能计算行列式的值的值.51 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式 我们从最简洁的二元线性方程组动我们从最简洁的二元线性方程组动身，探求其
3、求解公式，并设法化简此身，探求其求解公式，并设法化简此公式公式.一、二元线性方程组与二阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式二元线性方程组二元线性方程组 由消元法，得由消元法，得当当 时，该方程组有唯一解时，该方程组有唯一解 求解公式为求解公式为二元线性方程组二元线性方程组 请视察，此公式有何特点？请视察，此公式有何特点？分母相同，由方程组的四个系数确定分母相同，由方程组的四个系数确定.分子、分母都是四个数分成两对相乘再分子、分母都是四个数分成两对相乘再 相减而得相减而得.其求解公式为其求解公式为二元线性方程组二元线性方程组 我们引进新的符号来表示我们引进新的符号来表示“四个四个数分成两对相乘
4、再相减数分成两对相乘再相减”.记号记号 数表数表 表达式表达式 称为由该称为由该数表所确定的数表所确定的二阶行列式二阶行列式，即，即其中，其中，称为称为元素元素.i 为为行标行标，表明元素位于第，表明元素位于第i 行；行；j 为为列标列标，表明元素位于第，表明元素位于第j 列列.原则：横行竖列原则：横行竖列二阶行列式的计算二阶行列式的计算 主对角线主对角线 副对角线副对角线 即：主对角线上两元素之积副对角线上两元素之积即：主对角线上两元素之积副对角线上两元素之积 对角线法则对角线法则 二元线性方程组二元线性方程组 若令若令 (方程组的系数行列式方程组的系数行列式)则上述二元线性方程组的解可表示
5、为则上述二元线性方程组的解可表示为例例1 求解二元线性方程组求解二元线性方程组解解 因为因为 所以所以 二、三阶行列式二、三阶行列式定义定义 设有设有9个数排成个数排成3行行3列的数表列的数表原则：横行竖列原则：横行竖列引进记号引进记号称为称为三阶行列式三阶行列式.主对角线主对角线 副对角线副对角线 二阶行列式的对角线法则二阶行列式的对角线法则并不适用！并不适用！三阶行列式的计算三阶行列式的计算 对角线法则对角线法则 留意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式留意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.实线上的三个元素的乘积冠正号，实线上的三个元素的乘积冠正号，虚线上的三个元素的乘积冠负号虚线上的
6、三个元素的乘积冠负号.例例2 计算行列式计算行列式 解解按对角线法则，有按对角线法则，有方程左端方程左端解解由由 得得例例3 求解方程求解方程 2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数问题问题 把把 n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的个不同的元素排成一列，共有多少种不同的 排法？排法？定义定义 把把 n 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元个元素的全排列素的全排列.n 个不同元素的全部排列的种数，通个不同元素的全部排列的种数，通常用常用Pn 表示表示.明显明显 即即n 个不同的元素一共有个不同的元素一共有n!种不同的排法种不同的排法.全全部部6种种不不同同的的
7、排排法法中中，只只有有一一种种排排法法（123）中中的的数数字字是是按按从从小小到到大大的的自自然然依依次次排排列列的的，而而其其他他排排列列中中都都有有大大的的数排在小的数之前数排在小的数之前.因因此此大大部部分分的的排排列列都都不不是是“依依次次”，而是而是“逆序逆序”.3个不同的元素一共有个不同的元素一共有3!=6种不同的排法种不同的排法123，132，213，231，312，321对于对于n 个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序.n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序个不同的自然数，规定从小到大为标准次序.定义定义 当某两个元素的先后次序
8、与标准次序不同时，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就称这两个元素组成一个就称这两个元素组成一个逆序逆序.例如例如 在排列在排列32514中，中，3 2 5 1 4逆序逆序 逆序逆序 逆序逆序 思索题：还能找到其它逆序吗？思索题：还能找到其它逆序吗？答：答：2和和1，3和和1也构成逆序也构成逆序.21定义定义 排列中全部逆序的总数称为此排列的逆序数排列中全部逆序的总数称为此排列的逆序数.排列排列 的逆序数通常记为的逆序数通常记为 .奇排列：奇排列：逆序数为奇数的排列逆序数为奇数的排列.偶排列：偶排列：逆序数为偶数的排列逆序数为偶数的排列.思索题：符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？思索
9、题：符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？答：答：符合标准次序的排列（例如：符合标准次序的排列（例如：123）的逆序数）的逆序数等于零，因而是偶排列等于零，因而是偶排列.计算排列的逆序数的方法计算排列的逆序数的方法则此排列的逆序数为则此排列的逆序数为设设 是是 1,2,n 这这n 个自然数的任一排列，并规个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序定由小到大为标准次序.先看有多少个比先看有多少个比 大的数排在大的数排在 前面，记为前面，记为 ；再看有多少个比再看有多少个比 大的数排在大的数排在 前面，记为前面，记为 ;最终看有多少个比最终看有多少个比 大的数排在大的数排在 前面，记为前面，记为
10、 ;例例1：求排列求排列 52341 的逆序数的逆序数.解：解：练习：练习：求排列求排列 541326 的逆序数的逆序数.解：解：3 n 阶行列式的定义阶行列式的定义一、概念的引入一、概念的引入规律：规律：1.1.三阶行列式共有三阶行列式共有6项，即项，即3!项项2.2.每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积3.3.每一项可以写成每一项可以写成 （正负号除外），其中（正负号除外），其中 是是1、2、3的某个排列的某个排列.1.1.当当 是是偶排列偶排列时，对应的项取时，对应的项取正号正号；2.2.当当 是是奇排列奇排列时，对应的项取时，对应的项取负
11、号负号.所以，三阶行列式可以写成所以，三阶行列式可以写成 其中其中 表示对表示对1 1、2 2、3 3的全部排列求和的全部排列求和.二阶行列式有类似规律二阶行列式有类似规律.下面将行列式推广到一般的情形下面将行列式推广到一般的情形.二、二、n 阶行列式的定义阶行列式的定义1.n 阶行列式共有阶行列式共有 n!项项2.2.每一项都是位于不同行不同列的每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积个元素的乘积3.3.每一项可以写成每一项可以写成 （正负号除外），其中（正负号除外），其中 是是1,2,n 的某个排列的某个排列.1.1.当当 是是偶排列偶排列时，对应的项取时，对应的项取正号正号；2.2
12、.当当 是是奇排列奇排列时，对应的项取时，对应的项取负号负号.简记作简记作 ，其中其中 为行列式为行列式D的的(i,j)元元思索题：思索题：成立吗？成立吗？答：符号答：符号 可以有两种理解：可以有两种理解：若理解成确定值，则若理解成确定值，则 ；若理解成一阶行列式，则若理解成一阶行列式，则 .留意：当留意：当n=1时，一阶行列式时，一阶行列式|a|=a，留意不要与，留意不要与确定值的记号相混淆确定值的记号相混淆.例如：一阶行列式例如：一阶行列式 .例：例：写出四阶行列式中含有因子写出四阶行列式中含有因子 的项的项.例：例：计算行列式计算行列式解：解：和和解：解：其中其中 四个结论：四个结论：(
13、1)(1)对角行列式对角行列式 (2)(2)(3)(3)上三角形行列式上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为（主对角线下侧元素都为0 0）(4)(4)下三角形行列式下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为（主对角线上侧元素都为0 0）思索题思索题已知已知 ，求，求 的系数的系数.36故故 的系数为的系数为1.解解含含 的项有两项，即的项有两项，即对应于对应于4 对换对换一、对换的定义一、对换的定义定义定义 在排列中，将随意两个元素对调，其余的元素在排列中，将随意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换不动，这种作出新排列的手续叫做对换将相邻两个元素对换，叫做将相邻两个元素对换，
14、叫做相邻对换相邻对换例如例如 备注备注相邻对换是对换的特殊情形相邻对换是对换的特殊情形.一般的对换可以通过一系列的相邻对换来实现一般的对换可以通过一系列的相邻对换来实现.假如连续施行两次相同的对换，那么排列就还原了假如连续施行两次相同的对换，那么排列就还原了.m 次相邻对换次相邻对换 m+1次相邻对换次相邻对换 m 次相邻对换次相邻对换 m+1次相邻对换次相邻对换 二、对换与排列奇偶性的关系二、对换与排列奇偶性的关系定理定理1 1对换变更排列的奇偶性对换变更排列的奇偶性.证明证明先考虑相邻对换的情形先考虑相邻对换的情形 留意到除留意到除 外，其它元素的逆序数不变更外，其它元素的逆序数不变更.当
15、当 时，时，.当当 时，时，.因此相邻对换变更排列的奇偶性因此相邻对换变更排列的奇偶性.既然相邻对换变更排列的奇偶性，那么既然相邻对换变更排列的奇偶性，那么 2m+1次相邻对换次相邻对换因此，一个排列中的随意两个元素对换，排列的奇偶性变更因此，一个排列中的随意两个元素对换，排列的奇偶性变更.推论推论 奇排列奇排列变成标准排列的对换次数为变成标准排列的对换次数为奇数奇数，偶排列偶排列变成标准排列的对换次数为变成标准排列的对换次数为偶数偶数.由定理由定理1 1知，对换的次数就是排列奇偶性的变更次知，对换的次数就是排列奇偶性的变更次数，而标准排列是偶排列数，而标准排列是偶排列(逆序数为零逆序数为零)
16、，因此可知推论，因此可知推论成立成立.证明证明 因为数的乘法是可以交换的，所以因为数的乘法是可以交换的，所以 n n 个元素相乘的次个元素相乘的次序是可以随意的，即序是可以随意的，即 每作一次交换，元素的行标与列标所成的排列每作一次交换，元素的行标与列标所成的排列 与与 都同时作一次对换，即都同时作一次对换，即 与与 同同时变更奇偶性，但是这两个排列的逆序数之和的奇偶性时变更奇偶性，但是这两个排列的逆序数之和的奇偶性不变不变.于是于是 与与 同时为奇数或同时为偶数同时为奇数或同时为偶数.即即 是偶数是偶数.因为对换变更排列的奇偶性，因为对换变更排列的奇偶性，是奇数，是奇数，也是奇数也是奇数.设
17、对换前行标排列的逆序数为设对换前行标排列的逆序数为 ，列标排列的逆序数为，列标排列的逆序数为 .所以所以 是偶数，是偶数，因此，交换因此，交换 中随意两个元素的位置后，其中随意两个元素的位置后，其行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性不变行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性不变.设经过一次对换后行标排列的逆序数为设经过一次对换后行标排列的逆序数为 列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为经过一次对换是如此，经过多次对换还是如此经过一次对换是如此，经过多次对换还是如此.所以，所以，在一系列对换之后有在一系列对换之后有定理定理2 n 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为 定理定理3 n 阶行列式也可
18、定义为阶行列式也可定义为 例例1 试推断试推断 和和是否都是六阶行列式中的项是否都是六阶行列式中的项.解解下标的逆序数为下标的逆序数为所以所以 是六阶行列式中的项是六阶行列式中的项.行标和列标的逆序数之和行标和列标的逆序数之和所以所以 不是六阶行列式中的项不是六阶行列式中的项.例例2 用行列式的定义计算用行列式的定义计算 解解1.对换变更排列奇偶性对换变更排列奇偶性2.行列式的三种表示方法行列式的三种表示方法三、小结三、小结5 5 行列式的性质行列式的性质一、行列式的性质一、行列式的性质行列式行列式 称为行列式称为行列式 的的转置行列式转置行列式.若记若记 ，则，则 .记记性质性质1 行列式与
19、它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等,即即 .性质性质1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.证明证明依据行列式的定义，有依据行列式的定义，有若记若记 ，则，则行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立成立的对列也同样成立.性质性质2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式变号行列式变号.验证验证于是于是推论推论 假如行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零假如行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 ，所以，所以 .备注：交换第
20、备注：交换第 行（列）和第行（列）和第 行（列），记作行（列），记作 .性质性质3 3 行列式的某一行（列）中全部的元素都乘以同一个行列式的某一行（列）中全部的元素都乘以同一个倍数倍数 ，等于用数，等于用数 乘以此行列式乘以此行列式.验证验证我们以我们以三三阶行列式为例阶行列式为例.记记 依据三阶行列式的对角线法则，有依据三阶行列式的对角线法则，有备注：第备注：第 行（列）乘以行（列）乘以 ，记作，记作 .推论推论 行列式的某一行（列）中全部元素的公因子可以提到行列式的某一行（列）中全部元素的公因子可以提到行列式符号的外面行列式符号的外面备注：第备注：第 行（列）提出公因子行（列）提出公因子
21、，记作，记作 .验证验证我们以我们以4阶行列式为例阶行列式为例.性质性质4 4 行列式中假如有两行（列）元素成比例，则此行列行列式中假如有两行（列）元素成比例，则此行列式为零式为零性质性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,例如：例如：则则验证验证我们以我们以三三阶行列式为例阶行列式为例.性质性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行列式不变对应的元素上去，行列式不变则则验证验证我们以我们以三三阶行列式为例阶行列式为例.记记 备注：以数备
22、注：以数 乘第乘第 行（列）加到第行（列）加到第 行（列）上，记作行（列）上，记作 .例例二、应用举例二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值上三角形行列式，从而算得行列式的值解解例例2 计算计算 阶行列式阶行列式解解将第将第 列都加到第一列得列都加到第一列得例例3 设设 证明证明 证明证明对对 作运算作运算 ，把，把 化为下三角形行列式化为下三角形行列式 设为设为对对 作运算作运算 ，把，把 化为下三角形行列式化为下三角形行列式 设为设为对对 D 的前的前 k 行作运算行作运算 ，再对后，再对后 n 列作运
23、算列作运算 ，把把 D 化为下三角形行列式化为下三角形行列式故故 (行列式中行与列具有同等行列式中行与列具有同等的地位的地位,凡是对行成立的性质对列也同样成立凡是对行成立的性质对列也同样成立).).计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)(1)利用定义利用定义;(2);(2)利利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值行列式的值三、小结三、小结行列式的行列式的6 6特性质特性质6 行列式按行(列)绽开对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高本节主要考虑如何用低阶行列式来
24、表示高阶行列式阶行列式.一、引言结论结论 三阶行列式可以用二阶行列式表示三阶行列式可以用二阶行列式表示.思索题思索题 随意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？随意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？例如例如 把把 称为元素称为元素 的的代数余子式代数余子式在在n 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划后，留列划后，留下来的下来的n1阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作 .结论结论 因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子
25、式式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.引理引理 一个一个n 阶行列式，假如其中第阶行列式，假如其中第 行全部元素除行全部元素除 外都为零，那么这行列式等于外都为零，那么这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，与它的代数余子式的乘积，即即 例如例如 即有即有又又从而从而下面再探讨一般情形下面再探讨一般情形.分析分析 当当 位于第位于第1 1行第行第1 1列时列时,（依据（依据P.14例例10的结论）的结论）我们以我们以4阶行列式为例阶行列式为例.思索题：能否以思索题：能否以 代替上述两次行变换？代替上述两次行变换？思索题：能否以思索题：能否以 代替上述两次行变换？代替上述两次行变
26、换？答：答：不能不能.被调换到第被调换到第1行，第行，第1列列二、行列式按行（列）绽开法则定理定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即的代数余子式乘积之和，即同理可得同理可得例例（P.12例例7续）续）证明证明 用数学归纳法用数学归纳法例例 证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式所以所以n=2时时(1)式成立式成立.假设假设(1)对于对于n1阶范德蒙行列式成立，从第阶范德蒙行列式成立，从第n行起先，后行行起先，后行减去前行的减去前行的 倍：倍：依据第依据第1列绽开，并提出每列的公因子列绽开，并提
27、出每列的公因子 ，就有，就有 n1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即应元素的代数余子式乘积之和等于零，即分析分析 我们以我们以3阶行列式为例阶行列式为例.把第把第1行的元素换成第行的元素换成第2行的对应元素，则行的对应元素，则 定理定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即的代数余子式乘积之和，即推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素
28、的代数余子式乘积之和等于零，即应元素的代数余子式乘积之和等于零，即综上所述，有综上所述，有同理可得同理可得例例 计算行列式计算行列式解解例例 设设 ,的的 元的余子式和元的余子式和代数余子式依次记作代数余子式依次记作 和和 ，求，求分析分析 利用利用及及解解7 克拉默法则二元线性方程组二元线性方程组 若令若令 (方程组的系数行列式方程组的系数行列式)则上述二元线性方程组的解可表示为则上述二元线性方程组的解可表示为一、克拉默法则假如线性方程组假如线性方程组的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程组右端的常列的元素用方程组右端
29、的常数项代替后所得到的数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即那么线性方程组那么线性方程组(1)(1)有解并且解是唯一的，解可以表示成有解并且解是唯一的，解可以表示成定理中包含着三个结论：定理中包含着三个结论：方程组有解；方程组有解；（解的存在性）（解的存在性）解是唯一的；解是唯一的；（解的唯一性）（解的唯一性）解可以由公式解可以由公式(2)给出给出.这三个结论是有联系的这三个结论是有联系的.应当留意，该定理所探讨的只是系应当留意，该定理所探讨的只是系数行列式不为零的方程组，至于系数行列式等于零的情形，数行列式不为零的方程组，至于系数行列式等于零的情形，将在第三章的一般情形中一并探讨将在第
30、三章的一般情形中一并探讨.关于克拉默法则的等价命题定理定理4 4 假如线性方程组假如线性方程组(1)(1)的系数行列式不等于零，则的系数行列式不等于零，则该线性方程组确定有解该线性方程组确定有解,而且解是唯一的而且解是唯一的.定理定理4 4 假如线性方程组无解或有两个不同的解，则它的假如线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零系数行列式必为零.设设例例 解线性方程组解线性方程组解解线性方程组线性方程组常数项全为零的线性方程组称为常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组齐次线性方程组，否则，否则称为称为非齐次线性方程组非齐次线性方程组.齐次线性方程组总是有解的，因为齐次线性方程组
31、总是有解的，因为(0,0,0)(0,0,0)就是一个就是一个解，称为零解解，称为零解.因此，齐次线性方程组确定有零解，但因此，齐次线性方程组确定有零解，但不确定有非零解不确定有非零解.我们关切的问题是，齐次线性方程组除零解以外是否存我们关切的问题是，齐次线性方程组除零解以外是否存在着非零解在着非零解.齐次线性方程组的相关定理齐次线性方程组的相关定理定理定理5 5 假如齐次线性方程组的系数行列式假如齐次线性方程组的系数行列式 ，则齐次，则齐次线性方程组只有零解，没有非零解线性方程组只有零解，没有非零解.定理定理5 假如齐次线性方程组有非零解假如齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为则它的系
32、数行列式必为零零.备注备注1.1.这两个结论说明系数行列式等于零是齐次线性方程组有非这两个结论说明系数行列式等于零是齐次线性方程组有非零解的必要条件零解的必要条件.2.2.在第三章还将证明这个条件也是充分的在第三章还将证明这个条件也是充分的.即：即：齐次线性方程组有非零解齐次线性方程组有非零解 系数行列式等于零系数行列式等于零练习题：练习题：问问 取何值时，齐次方程组取何值时，齐次方程组有非零解？有非零解？解解假如齐次方程组有非零解，则必有假如齐次方程组有非零解，则必有 .所以所以 时齐次方程组有非零解时齐次方程组有非零解.思索题思索题当线性方程组的系数行列式为零时，能否用克拉默法则当线性方程
33、组的系数行列式为零时，能否用克拉默法则解方程组？为什么？此时方程组的解为何？解方程组？为什么？此时方程组的解为何？答：当线性方程组的系数行列式为零时，不能用克拉默法答：当线性方程组的系数行列式为零时，不能用克拉默法则解方程组，因为此时方程组的解为无解或有无穷多解则解方程组，因为此时方程组的解为无解或有无穷多解.1.用克拉默法则解线性方程组的两个条件用克拉默法则解线性方程组的两个条件(1)方程个数等于未知量个数；方程个数等于未知量个数；(2)系数行列式不等于零系数行列式不等于零.2.克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间
34、的关系和已知的系数以及常数项之间的关系它主要适用于它主要适用于理论推导理论推导三、小结其次章其次章 矩阵及其运算矩阵及其运算1 矩阵矩阵一、矩阵概念的引入一、矩阵概念的引入二、矩阵的定义二、矩阵的定义三、特殊的矩阵三、特殊的矩阵四、矩阵与线性变换四、矩阵与线性变换其中其中 表示有表示有航班航班始发地始发地ABCD目的地目的地 A B C D例例 某航空公司在某航空公司在 A、B、C、D 四座四座城市之间开拓了若干航线，四座城市城市之间开拓了若干航线，四座城市之间的航班图如图所示，箭头从始发之间的航班图如图所示，箭头从始发地指向目的地地指向目的地.BACD城市间的航班图状况常用表格来表示城市间的
35、航班图状况常用表格来表示:一、矩阵概念的引入一、矩阵概念的引入为了便于计算，把表中的为了便于计算，把表中的改成改成1，空白地方填上，空白地方填上0，就得到一个数表：就得到一个数表：ABCD A B C D这个数表反映了四个城市之间交通联接的状况这个数表反映了四个城市之间交通联接的状况.其中其中aij 表示工厂向第表示工厂向第 i 家商店家商店发送第发送第 j 种货物的数量种货物的数量 例例 某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：用数表表示为：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：其
36、中其中bi 1 表示第表示第 i 种货物的单价，种货物的单价，bi 2 表示第表示第 i 种货物的单件重量种货物的单件重量 由由 mn 个数个数 排成的排成的 m 行行 n 列的数表列的数表称为称为 m 行行 n 列矩阵列矩阵，简称，简称 mn 矩阵矩阵 记作记作 二、矩阵的定义二、矩阵的定义简记为简记为元素是实数的矩阵称为元素是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵，元素是复数的矩阵称为元素是复数的矩阵称为复矩阵复矩阵.这这 mn 个数称为矩阵个数称为矩阵A的的元素元素，简称为元，简称为元.n行数不等于列数行数不等于列数n共有共有mn个元素个元素n本质上就是一个数表本质上就是一个数表n行数等于列数行数等
37、于列数n共有共有n2个元素个元素矩阵矩阵行列式行列式1.行数与列数都等于行数与列数都等于 n 的矩阵，称为的矩阵，称为 n 阶方阵阶方阵可记作可记作 .2.只有一行的矩阵只有一行的矩阵 称为称为行矩阵行矩阵(或或行向量行向量).3.4.只有一列的矩阵只有一列的矩阵 称为称为列矩阵列矩阵(或或列向量列向量).5.元素全是零的矩阵称为元素全是零的矩阵称为零距阵零距阵可记作可记作 O.例如：例如：三、特殊的矩阵三、特殊的矩阵形如形如 的方阵称为对角阵的方阵称为对角阵 特殊的，方阵特殊的，方阵 称为单位阵称为单位阵记作记作记作记作 同型矩阵与矩阵相等的概念同型矩阵与矩阵相等的概念1.两个矩阵的行数相等
38、、列数相等时，称为两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵同型矩阵.例如例如为同型矩阵为同型矩阵.2.两个矩阵两个矩阵 与与 为同型矩阵，并且对应元为同型矩阵，并且对应元素相等，即素相等，即则称矩阵则称矩阵 A 与与 B 相等相等，记作，记作 A=B.留意：不同型的零矩阵是不相等的留意：不同型的零矩阵是不相等的.例如例如 表示一个从变量表示一个从变量 到变量到变量 线性变换，线性变换，其中其中 为常数为常数.四、矩阵与线性变换四、矩阵与线性变换 n 个变量个变量 与与 m 个变量个变量 之间的之间的关系式关系式系数矩阵系数矩阵 线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系线性变换与矩阵之间存在着一
39、一对应关系.例例 线性变换线性变换 称为称为恒等变换恒等变换.对应对应 单位阵单位阵 En对应对应 投影变换投影变换 例例 2阶方阵阶方阵 对应对应 以原点为中心逆时针以原点为中心逆时针旋转旋转j j 角角的的旋转变换旋转变换 例例 2阶方阵阶方阵 2 矩阵的运算矩阵的运算例例 某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店发送货物的数量可用数表表示：发送货物的数量可用数表表示：试求：工厂在一年内向各商店发送货物的数量试求：工厂在一年内向各商店发送货物的数量 其中其中aij 表示表示上半年上半年工厂向第工厂向第 i 家家商店发送第商店发送第 j
40、 种货物的数量种货物的数量其中其中cij 表示工厂表示工厂下半年下半年向第向第 i 家家商店发送第商店发送第 j 种货物的数量种货物的数量解：解：工厂在一年内向各商店发送货物的数量工厂在一年内向各商店发送货物的数量一、矩阵的加法一、矩阵的加法定义：定义：设有两个设有两个 mn 矩阵矩阵 A=(aij)，B=(bij)，那么矩阵那么矩阵 A 与与 B 的和记作的和记作 AB，规定为，规定为说明：说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.学问点比较学问点比较矩阵加法的运算规律矩阵加法的运算规律设设 A、B、C 是同型矩阵是同型矩阵设矩阵设矩阵
41、A=(aij)，记，记A=(aij)，称为矩阵，称为矩阵 A 的负矩阵的负矩阵明显明显设工厂向某家商店发送四种货物各设工厂向某家商店发送四种货物各 l l 件，试求：工厂向该商件，试求：工厂向该商店发送第店发送第 j 种货物的总值及总重量种货物的总值及总重量例（续）例（续）该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表：该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表：其中其中bi 1 表示第表示第 i 种货物的种货物的单价单价，bi 2 表示第表示第 i 种货物的种货物的单件重量单件重量 解：解：工厂向该商店发送第工厂向该商店发送第 j 种货物的总值及总重量种货物的总值及总重量其中其中bi 1 表示第
42、表示第 i 种货物的种货物的单价单价，bi 2 表示第表示第 i 种货物的种货物的单件重量单件重量 二、数与矩阵相乘二、数与矩阵相乘定义：定义：数数 l l 与矩阵与矩阵 A 的乘积记作的乘积记作 l l A 或或 A l l，规定为，规定为数乘矩阵的运算规律数乘矩阵的运算规律设设 A、B是同型矩阵，是同型矩阵，l l,m m 是数是数矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算矩阵的线性运算.学问点比较学问点比较其中其中aij 表示工厂向第表示工厂向第 i 家商店家商店发送第发送第 j 种货物的数量种货物的数量 例（续）例（续）某工厂生产四种货物，它向三家商
43、店发送的货物某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：数量可用数表表示为：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：其中其中bi 1 表示第表示第 i 种货物的单价，种货物的单价，bi 2 表示第表示第 i 种货物的单件重量种货物的单件重量 试求：工厂向三家商店所发货物的总值及总重量试求：工厂向三家商店所发货物的总值及总重量 解：解：以以 ci1，ci2 分别表示工厂向第分别表示工厂向第 i 家商店所发货物的总值及家商店所发货物的总值及总重量，其中总重量，其中 i=1,2,3于是于是其中其中aij 表示工厂向第表示工厂向第 i 家商店家
44、商店发送第发送第 j 种货物的数量种货物的数量 其中其中bi 1 表示第表示第 i 种货物的单价，种货物的单价，bi 2 表示第表示第 i 种货物的单件重量种货物的单件重量 可用矩阵表示为可用矩阵表示为一般地，一般地，一、矩阵与矩阵相乘一、矩阵与矩阵相乘定义：定义：设设 ，那么规定矩阵，那么规定矩阵 A 与矩与矩阵阵 B 的乘积是一个的乘积是一个 mn 矩阵矩阵 ，其中，其中并把此乘积记作并把此乘积记作 C=AB 例：例：设设则则学问点比较学问点比较有意义有意义.没有意义没有意义.只有当第一个矩阵的列数只有当第一个矩阵的列数等于其次个矩阵的行数时，等于其次个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘两个矩
45、阵才能相乘.例例 P.35P.35例例5 5 结论：结论：矩阵乘法不确定满足交换律矩阵乘法不确定满足交换律.矩阵矩阵 ，却有，却有 ，从而不能由从而不能由 得出得出 或或 的结论的结论矩阵乘法的运算规律矩阵乘法的运算规律 (1)(1)乘法结合律乘法结合律 (3)(3)乘法对加法的安排律乘法对加法的安排律(2)(2)数乘和乘法的结合律数乘和乘法的结合律 （其中（其中 l l 是数）是数）(4)(4)单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1 1，即，即推论：矩阵乘法不确定满足交换律，但是纯量阵推论：矩阵乘法不确定满足交换律，但是纯量阵 lE lE 与任何与任何同阶方阵
46、都是可交换的同阶方阵都是可交换的.纯量阵不同纯量阵不同于对角阵于对角阵(5)矩阵的幂矩阵的幂 若若 A 是是 n 阶阶方阵方阵，定义定义明显明显思索：下列等式在什么时候成立？思索：下列等式在什么时候成立？A、B可交换时成立可交换时成立四、矩阵的转置四、矩阵的转置定义：定义：把矩阵把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 的的转置矩阵转置矩阵，记作，记作AT.例例转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质例：例：已知已知解法解法1解法解法2定义：设定义：设 A 为为 n 阶方阵，假如满足阶方阵，假如满足 ，即，即那么那么 A 称为对称阵称为对称阵.假如满足假
47、如满足 A=AT，那么，那么 A 称为反对称阵称为反对称阵.对称阵对称阵 反对称阵反对称阵 例：设列矩阵例：设列矩阵 X=(x1,x2,xn)T 满足满足 X T X=1，E 为为 n 阶单位阵，阶单位阵，H=E2XXT，试证明，试证明 H 是对称阵，且是对称阵，且 HHT=E.证明：证明：从而从而 H 是对称阵是对称阵 五、方阵的行列式五、方阵的行列式定义：定义：由由 n 阶方阵的元素所构成的行列式，叫做阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵方阵 A 的的行列式行列式，记作，记作|A|或或detA.运算性质运算性质证明：证明：要使得要使得|AB|=|A|B|有意义，有意义，A、B 必为同阶方阵
48、，必为同阶方阵，假设假设 A=(aij)nn，B=(bij)nn.我们以我们以 n=3 为例，构造一个为例，构造一个6阶阶行列式行列式令令 ，则，则 C=(cij)=AB 从而从而 定义：定义：行列式行列式|A|的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 Aij 所构成的如所构成的如下矩阵下矩阵称为矩阵称为矩阵 A 的的伴随矩阵伴随矩阵.元素元素 的代数的代数余子式余子式 位于位于第第 j 行第行第 i 列列性质性质性质性质证明证明 （设（设A，B 为复矩阵，为复矩阵，l l 为复数，且运算都是可行的）：为复数，且运算都是可行的）：六、共轭矩阵六、共轭矩阵运算性质运算性质当当 为复矩阵时，用
49、为复矩阵时，用 表示表示 的共轭复数，记的共轭复数，记，称为称为 的的共轭矩阵共轭矩阵.3 逆矩阵逆矩阵矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算.矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢？矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢？这就是本节所要探讨的问题这就是本节所要探讨的问题.这一节所探讨的矩阵，如不特殊说明，所指的都是这一节所探讨的矩阵，如不特殊说明，所指的都是 n 阶方阵阶方阵.从乘法的角度来看，从乘法的角度来看，n 阶单位矩阵阶单位矩阵 E 在同阶方阵中的地在同阶方阵中的地位类似于位类似于 1 在复数中的地位在复数中的地位 一个复数一个复数 a 0的倒数的倒数
50、a1可以可以用等式用等式 a a1=1 来刻划来刻划.类似地，我们引入类似地，我们引入对于对于 n 阶单位矩阵阶单位矩阵 E 以及同阶的方阵以及同阶的方阵 A，都有，都有定义：定义：n 阶方阵阶方阵 A 称为可逆的，假如有称为可逆的，假如有 n 阶方阵阶方阵 B，使得，使得这里这里 E 是是 n 阶单位矩阵阶单位矩阵.依据矩阵的乘法法则，只有方阵才能满足上述等式依据矩阵的乘法法则，只有方阵才能满足上述等式.对于随意的对于随意的 n 阶方阵阶方阵 A，适合上述等式的矩阵，适合上述等式的矩阵 B 是唯是唯一的（假如有的话）一的（假如有的话）.定义：定义：假如矩阵假如矩阵 B 满足上述等式，那么满足