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1、考点规范练48抛物线考点规范练B册第32页基础巩固组1 .抛物线y2=2px(p0)的准线经过点那么该抛物线焦点坐标为()A.(-1,O) 答案B 解析由题意知，该抛物线的准线方程为x=-l,那么其焦点坐标为(1,0).2 .抛物线上的一点M到焦点的距离为1,那么点M的纵坐标是(答案B解析抛物线方程可化为f=-4其准线方程为 416设M(x(),yo),那么由抛物线的定义，可知得州二噂.抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线x-y=0与抛物线C交于A乃两点，假设P(l,l)为线段AB的中点，那么抛物线。的方程为()A.y=2fBj2=2x C.x2=2yD.y2=-2x答案B解析设A(xi,
2、yi),3(x2,”),抛物线方程为y2=2px,贝P 1两式相减可得 ，2义()1+)2)=心8*2=2,172 = 2p%2，巧-%2即可得p=l,故抛物线。的方程为/=2x.设厂为抛物线Cy2=3x的焦点，过尸且倾斜角为30的直线交。于A乃两点,0为坐标原点，那么 Q43的面积为()A 3V5n 9遮C 63门9irnnncnor 41A.B.C.D -19295086448324答案D解析由得/G，o),故直线A8的方程为y=tan30。(-勺，V3 V3联立y=y%-彳，y2 = 3%,并整理得吴夕+,=o,21 E +工2=方，乙213：|A3|=xi+x2+p=? + 5=12.
3、 乙乙叵 O又原点（0,0）到直线A3的距离为d=7全 =I炉81I3 9/.S0ABABd=nx = l ZZo 4-5.（2016云南玉溪一中高三第四次月考）过抛物线y2=2px（p0）的焦点尸作倾斜角为60的直线/,假设直线/与抛物线在第一象限的交点为A,并且点A也在双曲线5-与=1（0力0）的一条渐近线上，那么 a b双曲线的离心率为（）D.V5D.V5B.V13答案A设4孙州）,那么乙4尸8=60。，尸3|二xo多故|A尸|=210-。又|Ab|=的+$：210-9=工（）+1解得祀=|.yo=y-AF =y-x2p=3p.:,|，解得由 a2+=c2,得。2+%2=。2,即黄应选A
4、.226.（2015辽宁葫芦岛二模）假设双曲线弓-马=1（0力0）的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，那么a+b Q b的最大值为（）A.V2B.lC*D.2V2答案A解析抛物线Ciy2=4x的焦点为（1,0）,即有双曲线的右焦点为（1,0）,即 c=l9a2+b2=l9令 a=cos a,b=sin a（0 V a O）,将其坐标代入工2=-2乂得哈=6, ：xo=遥.：水面宽|CZ）|二2乃m.8 .抛物线W=2py（p为常数,刈）上不同两点的横坐标恰好是关于x的方程x2+6%+4q=0（g为 常数）的两个根,那么直线AB的方程为.答案 3x+py+2g=0解析由题意知，直线AB与x轴不
5、垂直.设直线AB的方程为 尸质十也与抛物线方程联立，得*-2pkx-2Pm=0, 此方程与%2+6x+4q=0同解，-2pk = 6,-2pm = 4q,-2pk = 6,-2pm = 4q,解得故直线AB的方程为尸-斗-丝 p p即 3x+py+2q=0.9 ./是抛物线cy=4%的焦点,A乃是C上的两个点，线段4?的中点为M(2,2),求的面积.解由M(2,2)知，线段所在的直线的斜率存在，设过点M的直线方程为y-2=Z(x.2)(必0).由，;2二3%-2)，消去乂得 七2+(_43+4匕4)%+4(攵-1)2=0.设 A(xiji),B(x2,y2),如X+X2 =如X+X2 =4/?
6、_轨+4k24(k-l)2,X|X2=丁一由题意知也詈=2,贝4竺3空=4,解得2=1, k于是直线方程为y=x,xiX2=0.因为 AB =V1 + k2x-X2I =4a/2,又焦点厂(1,0词直线尸的距离d=*,所以”产的面积是gx4&x，=2.10 .一条曲线。在y轴右边，。上每一点到点/1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程；是否存在正数以对于过点M(加,。),且与曲线。有两个交点的任一直线,都有西而0)J 简得 y2=4x(x0).(2)设过点M(z,0)(加0)的直线/与曲线。的交点为A(xi,yi),B(x2,y2).设/的方程为x=ty+m.(x =
7、ty + m, 。由(2 = 4%,得 y -4ry-4m=0,J = 16(/2+Z72)0,于是1% +为=牝，1y172 = -4m.因为凡4=(xi-l,yD,FB=(X2-Ij2),所以凡4 - FB =3-1 )(X2 D+yiy2=XlX2(Xl+X2)+)”2+L 又户了 而0,所以 xi%2-(xi +%2)+yy2+1 0,v2因为x二J所以不等式可变形为4夕O 11 + 17 22- 1 y-4+ 217 y-4 /| 於一4 必4即暝 +y，2$8 +y2）22yi），2 +1 0.ioq将代入整理得m2-6m+1 4*.因为对任意实数/,4尸的最小值为0,所以不等式寸
8、于一切/成立等价于根2_6机+1 0,即3-2V2m3+2V2.由此可知，存在正数根，对于过点MO,0）,且与曲线。有两个交点A.B的任一直线,都有而-FBo）4（O,2）,MF的中点为N.由 丁2=2%下（至0）, :N点的坐标为（华为）.由抛物线的定义知,沏十95, _s P乙:,州|=等=3：|AN|2岑22-2=0.整理得p2-10p+16=0.解得=2或=8.：抛物线方程为）a=4x或16x.12.双曲线摄-，=1（0力0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p0）分别交于0A8三点,。为坐标原点.假设双曲线的离心率为24A0B的面积为遍，那么p=（）3D.3D.3A.lB.|C.2答
9、案B解析双曲线的渐近线方程为y =玲、因为双曲线的离心率为2,所以口1=2=遮或或由曲线的对称性及的面积得,2X 空 X = 假解得p2=*p=|（p = -|舍去）应选B.13.AX如图,正方形A3CO和正方形DEFG的边长分别为“力（”3,原点。为AZ）的中点，抛物线9=2*（0）经过C,尸两点，那么.9=2*（0）经过C,尸两点，那么.92950867答案1+V2解析由正方形的定义可知BC=CD,结合抛物线的定义得点。为抛物线的焦点，所以二+4b),将点尸的坐标代入抛物线的方程得=2(与+ b)=4+2血变形得(于一 4二0，解得空1 +鱼或-=1 -&(舍去)， aa所以2=i+&.
10、a14.抛物线Cy2=2px(p0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为。，且QF=lPQ.求。的方程；过尸的直线/与C相交于A,5两点，假设A3的垂直平分线/与。相交于MN两点，且4MsN四点 在同一圆上,求/的方程.O解设 Q(xo,4),代入 y2=2x 得 xo=-.O所以|PQI=2qf=1+xq=1 + 1由题设得弓+ 5 =2 P 4 P解得二-2(舍去)或p=2.所以。的方程为y2=4x.(2)依题意知/与坐标轴不垂直，故可设/的方程为x=my+l(m/0).代入 丁二4%得 j2-4my-4=0.设 A(X1 J1),3(X2J2), 贝1 y+y2=4m,y
11、iy2 = -4.故AB的中点为(2m2+l ,2m), AB =Vm2 + 1 y 1-21 =4(/n2+1). 又/的斜率为-m,所以/的方程为x=-)?+2/z2+3.将上式代入V=4x,并整理得y2 +y-4(2m2+3)=0.设 Mg,”),Mm%),那么 3+4 = -J3y4=-4(2/+3).故 MN 的中点、为+ 2m2 + 3,-2),+匹3-4| 二+匹3-4| 二4(m2 + l)V2m2 + lm21由于垂直平分A民故A,M8,N四点在同一圆上等价于|AE| = |BE|Ta/N|,从而 乙114(m2+l)2(2m24-l)4(m2+l)2(2m24-l)ab2d
12、e2=mnW即 4(62+1)2+卜血 + +(煮+2)=化简得m2-l =0,解得m-或m-.92950868所求直线/的方程为x-y-1 =0或x+y-l=0.15.抛物线Cy2=2px（p0）的焦点为F.A为。上异于原点的任意一点，过点A的直线/交C于另一 点B,交x轴的正半轴于点。，且有田川二 |F0|.当点A的横坐标为3时,4/）尸为正三角形.求。的方程；假设直线/i/,且/i和C有且只有一个公共点E,证明直线AE过定点，并求出定点坐标；ABE的面积是否存在最小值?假设存在，请求出最小值;假设不存在,请说明理由.解由题意知尸&。）设。&0）0）,那么FD的中点为（苧,0）.因为 |E
13、4| 二 |FQ|,由抛物线的定义知3+5= t解得f=3+p或1二3（舍去）.由弓”二3,解得p=2. 4所以抛物线。的方程为y2=4x.（2）由知尸（1,0）.设 A（xo,yo）（沏yo#）Q（切,0）（切 0）,因为 |E4| 二 |RD|,贝 |xo-l |=x（）+L由 %）0 得 xq=xo+2,故 D（xo+2,O）.故直线A3的斜率人二-冬 乙因为直线/i和直线A3平行,设直线/i的方程为y=-x+h,代入抛物线方程得产+半詈0,由题意+必=0,得h=-. 羽 WVo当羽4时小片=EX肃xexo 4 y() 年4=霜，可得直线短的方程为“产籍比,4(% + 1)Vl+m2=4
14、( A + 煮)由yo =4以整理可得产潦(x-1),直线AE恒过点F(1,O).当羽二4时，直线AE的方程为x=l,过点F(1,O).所以直线AE过定点F(1,O).由口直线AE过焦点F(1,O),+ l)=xo+2.) 和设直线AE的方程为x=my+1, 因为点A(x(),yo)在直线AE上， 工。1故m-y。设直线AB的方程为y-泗二-?(x-xo),由于)心。,可得 户-3+2+xo 代入抛物线方程得9+5?-8-4工()=0.8 所以 yo+y-, y。可求得y=-yo-g, y。4)%i=+xo+4. xo所以点5到直线AE的距离为-1-1+44-m那么4ABE的面积S=*4(展 + 煮)1 + * + 2)216,1当且仅当而二如即我=1时等号成立.92950869所以A3E的面积的最小值为16.