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1、精选优质文档-倾情为你奉上目录（1） 数的整除如果整除a除以不为零数b，所得的商为整数而余数为0，我们就说a能被b整除，或叫b能整除a。如果a能被b整除，那么，b叫做a的约数，a叫做b的倍数。数的整除的特征：（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是2、4、6、8、0，那么这个整数一定能被2整除。（2）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各个数字之和能被3（或9）整除，那么这个整数一定能被3（或9）整除。（3）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数就一定能被4（或25）整除。（4）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0
2、或5，那么这个整数一定能被5整除。（5）能被6整除的数的特征：如果一个整数能被2整除，又能被3整除，那么这个数就一定能被6整除。（6）能被7（或11或13）整除的数的特征：一个整数分成两个数，末三位为一个数，其余各位为另一个数，如果这两个数之差是0或是7（或11或13）的倍数，这个数就能被7（或11或13）整除。（7）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数就一定能被8（或125）整除。（8）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除。1、 例题与方法指导例1. 一个六位
3、数2356是88的倍数,这个数除以88所得的商是_或_.思路导航：一个数如果是88的倍数,这个数必然既是8的倍数,又是11的倍数.根据8的倍数,它的末三位数肯定也是8的倍数,从而可知这个六位数个位上的数是0或8.而11的倍数奇偶位上数字和的差应是0或11的倍数,从已知的四个数看,这个六位数奇偶位上数字的和是相等的,要使奇偶位上数字和差为0,两个方框内填入的数字是相同的,因此这个六位数有两种可能23 0 56 0 或23 8 56 8 又 =2620 =2711所以,本题的答案是2620或2711.例2. ,这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的数最小是_.思路导航：因为36=94,所以
4、这个十一位数既能被9整除,又能被4整除.因为1+2+9=45，由能被9整除的数的特征，（可知+之和是0（0+0）、9（1+8，8+1，2+7，7+2，3+6，6+3，4+5，5+4）和18（9+9）.再由能被4整除的数的特征:这个数的末尾两位数是4的倍数,可知是00,04,，36，72，96.这样,这个十一位数个位上有0,2,6三种可能性.所以,这个数的个位上的数最小是0.例3. 下面一个1983位数333444中间漏写了一个数字(方框),已 991个 991个知这个多位数被7整除，那么中间方框内的数字是_.思路导航：333444 991个 991个=33+3+444 990个 990个 因为
5、能被7整除，所以333和444都能被7整除,所以只要 990个 990个34能被7整除，原数即可被7整除.故得中间方框内的数字是6.例4. 有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三个数是_.思路导航：三个连续的两位数其和必是3的倍数,已知其和是11的倍数,而3与11互质,所以和是33的倍数,能被33整除的两位数只有3个,它们是33、66、99.所以有当和为33时,三个数是10,11,12；当和为66时,三个数是21,22,23；当和为99时,三个数是32,33,34.所以，答案为 10,11,12或21,22,23或32,33,34。注“三个连续自然数的和必能被3整除”可
6、证明如下：设三个连续自然数为n,n+1,n+2,则n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)所以，能被3整除.2、 巩固训练1. 有这样的两位数,它的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,它的两个数字之和也能被4整除.所有这样的两位数的和是_.2. 一个小于200的自然数,它的每位数字都是奇数,并且它是两个两位数的乘积,那么这个自然数是_.3. 任取一个四位数乘3456,用A表示其积的各位数字之和,用B表示A的各位数字之和,C表示B的各位数字之和,那么C是_.4. 有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数，如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，
7、第五个数的末位数字是_.1. 118符合条件的两位数的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,如果十位数不变,则个位增加1,其和便不能整除4,因此个位数一定是9,这种两位数有:39、79.所以,所求的和是39+79=118. 2 195因为这个数可以分解为两个两位数的积，而且1515=225200,所以其中至少有1个因数小于15,而且这些因数均需是奇数,但11不可能符合条件,因为对于小于200的自然数凡11的倍数,具有隔位数字之和相等的特点,个位百位若是奇数,十位必是偶数.所以只需检查13的倍数中小于200的三位数1313=169不合要求,1315=195适合要求.所以,答案应是19
8、5.3. 9根据题意,两个四位数相乘其积的位数是七位数或八位数两种可能.因为3456=3849,所以任何一个四位数乘3456,其积一定能被9整除,根据能被9整除的数的特征,可知其积的各位数字之和A也能被9整除,所以A有以下八种可能取值:9,18,27,36,45,54,63,72.从而A的各位数字之和B总是9,B的各位数字之和C也总是9.4. 90+1+4+7+9=21能被3整除,从中去掉0或9选出的两组四个数字组成的四位数能被3整除.即有0,1,4,7或1,4,7,9两种选择组成四位数,由小到大排列为:1047,1074,1407,1470,1479,1497.所以第五个数的末位数字是9.3
9、、 拓展提升1.找出四个互不相同的自然数,使得对于其中任何两个数,它们的和总可以被它们的差整除,如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小,那么这四个数里中间两个数的和是多少？2只修改21475的某一位数字,就可知使修改后的数能被225整除,怎样修改？3500名士兵排成一列横队.第一次从左到右1、2、3、4、5（1至5）名报数；第二次反过来从右到左1、2、3、4、5、6（1至6）报数，既报1又报6的士兵有多少名？4.试问,能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上,使得在任何5个相连的数中,都至少有两个数可被3整除？如果回答：“可以”，则只要举出一种排法；如果回答：“不能”，则需给
10、出说明.答案1.如果最小的数是1,则和1一起能符合“和被差整除”这一要求的数只有2和3两数，因此最小的数必须大于或等于2.我们先考察2、3、4、5这四个数,仍不符合要求,因为5+2=7,不能被5-2=3整除.再往下就是2、3、4、6,经试算,这四个数符合要求.所以,本题的答案是(3+4)=7.2.因为225=259,要使修改后的数能被25整除,就要既能被25整除,又能被9整除,被25整除不成问题,末两位数75不必修改,只要看前三个数字即可,根据某数的各位数字之和是9的倍数,则这个数能被9整除的特征,因为2+1+4+7+5=19,19=18+1,19=27-8,所以不难排出以下四种改法:把1改为
11、0；把4改为3；把1改为9；把2改为1.3.若将这500名士兵从右到左依次编号,则第一次报数时,编号能被5整除的士兵报1；第二次报数时，编号能被6整除的士兵报6，所以既报1又报6的士兵的编号既能被5整除又能被6整除，即能被30整除，在1至500这500个自然数中能被30整除的数共有16个，所以既报1又报6的士兵共有16名.4.不能.假设能够按照题目要求在圆周上排列所述的100个数,我们来按所排列顺序将它们每5个分为一组,可得20组,其中每两组都没有共同的数,于是,在每一组的5个数中都至少有两个数是3 的倍数.从而一共有不少于40个数是3 的倍数.但事实上,在1至100的自然数中有33个数是3的
12、倍数,导致矛盾.（2） 数字谜小朋友们都玩过字谜吧，就是一种文字游戏，例如“空中码头”（打一城市名）。谜底你还记得吗？记不得也没关系，想想“空中”指什么？“天”。这个地名第1个字可能是天。“码头”指什么呢？码头又称渡口，联系这个地名开头是“天”字，容易想到“天津”这个地名，而“津”正好又是“渡口”的意思。这样谜底就出来了：天津。算式谜又被称为“虫食算”，意思是说一道算式中的某些数字被虫子吃掉了无法辨认，需要运用四则运算各部分之间的关系，通过推理判定被吃掉的数字，把算式还原。“虫食算”主要指横式算式谜和竖式算式谜，其中未知的数字常常用、等图形符号或字母表示。文字算式谜是前两种算式谜的延伸，用文字
13、或字母来代替未知的数字，在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的数字，相同的数字或字母表示同一个数字。文字算式谜也是最难的一种算式谜。在数学里面，文字也可以组成许许多多的数学游戏，就让我们一起来看看吧。横式字谜1、 例题与方法指导例1 ，8，97在上面的3个方框内分别填入恰当的数字，可以使得这3个数的平均数是150。那么所填的3个数字之和是多少？思路导航：150*3-8-97-5=340所以3个数之和为3+4+5=12。例2 在下列算式的中填上适当的数字，使得等式成立：（1）6456=0，（2）7837=1，（3）332=17，（4）858=6。分析：（1） 6104/56=109 （2）75
14、48/37=204（3） 3393/29=117（4）8468/58=146例3 在算式40796=9998的各个方框内填入适当的数字后，就可以使其成为正确的等式。求其中的除数。分析：40796/102=399.98。例4 我学数学乐我学数学乐=数数数学数数学学数学在上面的乘法算式中，“我、学、数、乐”分别代表的4个不同的数字。如果“乐”代表9，那么“我数学”代表的三位数是多少？ 分析：学=1，我=8，数=6 ，81619*81619=例5 （）=24在式中的4个方框内填入4个不同的一位数，使左边的数比右边的数小，并且等式成立。思路导航：这样，我们可以先用字母代替数字，原等式写成：a/(b/c
15、/d)=a/(b/c*d)=a*c*d/b，(abc、”等。表示运算意义的表达式，通常是使用四则运算符号，例如ab=3a-3b，新运算使用的符号是，而等号右边表示新运算意义的则是四则运算符号。正确解答定义新运算这类问题的关键是要确切理解新运算的意义，严格按照规定的法则进行运算。如果没有给出用字母表示的规则，则应通过给出的具体的数字表达式，先求出表示定义规则的一般表达式，方可进行运算。值得注意的是：定义新运算一般是不满足四则运算中的运算律和运算性质，所以，不能盲目地运用定律和运算性质解题。1、 例题与方法指导例1.设 ab都表示数，规定ab表示a的4倍减去b的3倍，即ab=4a-3b,试计算56
16、，65。解56-54-63=20-18=2 65=64-53=24-15=9说明 例1定义的没有交换律，计算中不得将前后的数交换。例2.对于两个数a、b,规定ab表示3a+2b,试计算（56）7，5（67）。思路导航：先做括号内的运算。解 （56）7=（53+62）7=277=273+72=95 5（67）=5（63+72）=532=53+322=79说明 本题定义的运算不满足结合律。这是与常规的运算有区别的。例3.已知23=234，42=45，一般地，对自然数a、b，ab 表示a(a+1)（a+b-1）.计算（63）-（52）。思路导航：原式=67-56 =336-30规定：a=a+(a+1
17、)+(a+2)+（a+b-1）,其中a,b表示自然数。例4.求1100的值。已知x10=75,求x.思路导航：（1）原式=1+2+3+100=（1+100）1002=5050（2）原式即x+(x+1)+(x+2)+（X+9）=75,所以10X+(1+2+3+9)=75 10x+45=75 10x=30 x=32、 巩固训练1.若对所有b,ab =ax,x是一个与b无关的常数；ab=(a+b)2,且（13）3=1（33）。求（14）2的值。分析 注意本题有两种运算，由（13）3=1（33），可求出x.解 因为（13）3=1（33），所以（1x）即（x+3）2=xx+3=2xx=3因为（14）2
18、=（14）2 =（4+2）2 =32. 如果规定：=234，=345，=456，=8910，求+-+-+-的值。解题思路依题意可以看出：定义的新运算为连续三个数的乘积，而且，里的数就是三个连续数中的中间的哪个数，即是2，3，4三个连续的乘积，是3，4，5三个连续睡的乘积，从而不难求出+-+-+-的值。解：原式=8910+789-678+567-456+345-234=720+504+-339+210-120+60-24=10143、 能力提升答案（4） 行程问题行程问题是小学奥数中变化最多的一个专题，不论在奥数竞赛中还是在“小升初”的升学考试中，都拥有非常重要的地位。行程问题中包括：火车过桥、
19、流水行船、沿途数车、猎狗追兔、环形行程、多人行程，等等。每一类问题都有自己的特点，解决方法也有所不同，但是，行程问题无论怎么变化，都离不开“三个量，三个关系”：这三个量是：路程(s)、速度(v)、时间(t)三个关系：1. 简单行程： 路程 = 速度 时间2. 相遇问题： 路程和 = 速度和 时间3. 追击问题： 路程差 = 速度差 时间牢牢把握住这三个量以及它们之间的三种关系，就会发现解决行程问题还是有很多方法可循的。追击及遇问题1、 例题与方法指导例1.有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背而行。甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米
20、。在途中，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇。问：这个花圃的周长是多少米？思路导航：这个三人行程的问题由两个相遇、一个追击组成，题目中所给的条件只有三个人的速度，以及一个“3分钟”的时间。第一个相遇：在3分钟的时间里，甲、丙的路程和为（40+36）3=228（米）第一个追击：这228米是由于在开始到甲、乙相遇的时间里，乙、丙两人的速度差造成的，是逆向的追击过程，可求出甲、乙相遇的时间为228 （38-36）=114（分钟）第二个相遇：在114分钟里，甲、乙二人一起走完了全程所以花圃周长为（40+38）114=8892（米）我们把这样一个抽象的三人行程问题分解为三个简单的问题，使解题思路更加清晰。例2.
21、东西两地间有一条公路长217.5千米，甲车以每小时25千米的速度从东到西地，1.5小时后，乙车从西地出发，再经过3小时两车还相距15千米。乙车每小时行多少千米？思路导航： 从图中可以看出，要求乙车每小时行多少千米，关键要知道乙车已经行了多少路程和行这段路程所用的时间。解：（1）甲车一共行多少小时？1.5+3=4.5（小时）（2）甲车一共行多少千米路程？254.5=112.5（千米）（3）乙车一共行多少千米路程？217.5-112.5=105（千米）（4）乙车每小时行多少千米？ (105-15)3=30（千米）答：乙车每小时行30千米。例3.兄妹二人同时从家里出发到学校去，家与学校相距1400米
22、。哥哥骑自行车每分钟行200米，妹妹每分钟走80米。哥哥刚到学校就立即返回来在途中与妹妹相遇。从出发到相遇，妹妹走了几分钟？相遇处离学校有多少米？思路导航： 从图中可以看出，哥与妹妹相遇时他们所走的路程的和相当于从家到学校距离的2倍。因此本题可以转化为“哥哥妹妹相距2800米，两人同时出发，相向而行，哥哥每分钟行200米，妹妹每分钟行80米，经过几分钟相遇？”的问题，解答就容易了。解：（1）从家到学校的距离的2倍：14002=2800（米）（2）从出发到相遇所需的时间：2800（200+80）=10（分）（3）相遇处到学校的距离：1400-8010=600（米） 答：从出发到相遇，妹妹走了10
23、分钟，相遇处离学校有600米。2、 巩固训练1.两城市相距328千米，甲、乙两人骑自行车同时从两城出发，相向而行。甲每小时行28千米，乙每小时行22千米，乙在中途修车耽误1小时，然后继续行驶，与甲相遇，求出发到相遇经过多少时间？ 分析:如果乙在中途不停车，那么甲、乙两人从出发到相遇共行路程的和：328+221=350（千米），两车的速度和：28+22=50（千米/小时），然后根据相遇问题“路程和速度和=相遇时间”得 35050=7（小时） 解：（328+221）（28+22）=35050=7（小时）解法2：（328-221）（28+22）=30050=6（小时）6+1=7（小时） 答：从出发到
24、相遇经过了7小时。2. 快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，已知快车每小时行40千米，经过3小时快车已过中点12千米与慢车相遇，慢车每小时行多少千米？分析: 从图中可知：快车3小时行的路程403=120千米，比全程的一半多12千米，全程的一半是120-12=108千米。而慢车3小时行的路程比全程的一半还少12千米，所以慢车3小时行的路程是108-12=96千米，由此可以求出慢车的速度。解：甲乙两地路程的一半：403-12=108（千米）慢车3小时行的路程：108-12=96（千米）慢车的速度：963=32（千米）答：慢车每小时行32千米。3. 小华和小明同时从甲、乙两城相向而行，在离甲城85千米
25、处相遇，到达对方城市后立即以原速沿原路返回，又在离甲城35千米处相遇，两城相距多少千米？分析: 从图上可以看出，小华和小明两人第一次相遇时，行了一个全程，小华行了85千米。当小华和小明第二次相遇时，共行了3个全程，这时小华共行了3个85千米，如果再加上35千米，相当于小华行了2个全程，甲乙两地全长也就可以求出来了。解：（1）甲乙出发到第二次相遇时，小华共行了多少千米？ 853=255（千米）（2）甲乙两城相距多少千米？（ 255+35）2=2902=145（千米）答：两城相距145千米。3、 拓展提升1. 客车和货车同时从甲、乙两地相对开出，客车每小时行54千米，货车每小时行48千米，两车相遇
26、后又以原来的速度继续前进，客车到达乙站后立即返回，货车到达甲站后也立即返回，两车再次相遇时，客车比货车多行216千米。求甲乙两站相距多少千米？分析 如图，从出发到第二次相遇时，客车和货车共行3个全程，在这段时间里客车一共比货车多行216千米，客车每小时比货车快54-48=6千米，这样可以求出行3个全程的时间为2166=36小时，由此可求出行一个全程时间：363=12小时，因而可以求出甲乙两站的距离。 解：从出发到第二次是两车行驶的时间：216（54-48）=36（小时） 从出发到第一次相遇所用的时间：363=12（小时）甲乙两站的距离：（54+48）12=1224（千米） 答：求甲乙两站相距1
27、224千米。2.甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，甲、乙两车速度分别为每小时60千米和48千米，有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后6小时、7小时、8小时先后与甲、乙、丙三车相遇。求丙车的速度。 分析:解答的关键是求出卡车的速度，从图上明显看出，甲车6小时的行程与乙车7小时的行程差正好是卡车的速度。再根据速度和、相遇时间和路程三者之间的关系，求出丙车速度。 解：（1）卡车的速度：（ 606-487）（7-6）=241=24（千米）（2） AB两地之间的距离：（60+24）6=504（千米）（3） 丙车与卡车的速度和：5048=64（千米）（4） 丙车的速度：64-24=40（千米/小时）
28、答：丙车的速度每小时40千米。3. 两列火车从某站相背而行，甲车每小时行58千米，先开出2小时后，车以每小时62千米才开出，乙车开出5小时后，两列火车相距多少千米？火车过桥 过桥问题也是行程问题的一种。首先要弄清列车通过一座桥是指从车头上桥到车尾离桥。列车过桥的总路程是桥长加车长，这是解决过桥问题的关键。过桥问题也要用到一般行程问题的基本数量关系： 过桥问题的一般数量关系是：因为：过桥的路程 = 桥长 + 车长 所以有：通过桥的时间 =（桥长 + 车长）车速车速 = （桥长 + 车长）过桥时间公式的变形： 桥长 = 车速过桥时间 车长车长 = 车速过桥时间 桥长后三个都是根据第二个关系式逆推出
29、的。火车通过隧道的问题和过桥问题的道理是一样的，也要通过上面的数量关系来解决。1、 例题与方法指导例1.一列客车经过南京长江大桥，大桥长6700米，这列客车长100米，火车每分钟行400米，这列客车经过长江大桥需要多少分钟？思路导航： 从火车头上桥，到火车尾离桥，这之间是火车通过这座大桥的过程，也就是过桥的路程是桥长 + 车长。通过“过桥的路程”和“车速”就可以求出火车过桥的时间。 （1）过桥路程：6700 + 100 = 6800（米） （2）过桥时间：6800400 = 17（分） 答：这列客车通过南京长江大桥需要17分钟。 例2.一列火车长160米，全车通过440米的桥需要30秒钟，这列
30、火车每秒行多少米？思路导航： 要想求火车过桥的速度，就要知道“过桥的路程”和过桥的时间。 （1）过桥的路程：160 + 440 = 600（米） （2）火车的速度：60030 = 20（米） 答：这列火车每秒行20米。例3.某列火车通过360米的第一个隧道用了24秒钟，接着通过第二个长216米的隧道用了16秒钟，求这列火车的长度？思路导航： 火车通过第一个隧道比通过第二个隧道多用了8秒，为什么多用8秒呢？原因是第一个隧道比第二个隧道长360216 = 144（米），这144米正好和8秒相对应，这样可以求出车速。火车24秒行进的路程包括隧道长和火车长，减去已知的隧道长，就是火车长。 （1）第一个
31、隧道比第二个长多少米？ 360216 = 144（米） （2）火车通过第一个隧道比第二个多用几秒？ 2416 = 8（秒） （3）火车每秒行多少米？ 1448 = 18（米） （4）火车24秒行多少米？ 1824 = 432（米） （5）火车长多少米？ 432360 = 72（米）答：这列火车长72米。2、 巩固训练 1.某列火车通过342米的隧道用了23秒，接着通过234米的隧道用了17秒，这列火车与另一列长88米，速度为每秒22米的列车错车而过，问需要几秒钟？思路导航：通过前两个已知条件，我们可以求出火车的车速和火车的车身长。 （342234）（2317）= 18（米）车速 1823342
32、 = 72（米） 车身长 两车错车是从车头相遇开始，直到两车尾离开才是错车结束，两车错车的总路程是两个车身之和，两车是做相向运动，所以，根据“路程速度和 = 相遇时间”，可以求出两车错车需要的时间。 （72 + 88）（18 + 22）= 4（秒） 答：两车错车而过，需要4秒钟。2. 一列火车全长265米，每秒行驶25米，全车要通过一座985米长的大桥，问需要多少秒钟？ （265 + 985）25 = 50（秒） 答：需要50秒钟。3. 一列长50米的火车，穿过200米长的山洞用了25秒钟，这列火车每秒行多少米？ （200 + 50）25 = 10（米） 答：这列火车每秒行10米。3、 拓展提升1.一列长240米的火车以每秒30米的速度过一座桥，从车头上桥到车尾离桥用了1分钟，求这座桥长多少米？ 1分 = 60秒 3060240 = 1560（米）答：这座桥长1560米。2.一列货车全长240米，每秒行驶15米，全车连续通过一条隧道和一座桥，共用40秒钟，桥长150米，问这条隧道长多少米？ 1540240150 = 210（米）答：这条隧道长210米。3.一列火车开过一座长1200米的大桥，需要75秒钟，火车以同样的速度开过路旁的电线杆只需15秒钟，求火车长多少米？ 1200（7515）= 20（米） 2015 = 300（米）