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1、为什么把等讨（。，心。）叫做“基本不等式1 .从“数及其运算”的角度看，色心是两个正数小人的“平均数”;2从定量几何的角度看，外是长为4、宽为的矩形面积，J拓就叫做 两个非负数a, b的“几何平均”。因此，不等式中涉及的是代数、儿 何中的“基本量”。2 .有多种等价形式：代数涉及两个正数的运算，也就是通过加、减、乘、除、乘 方、开方等运算而产生的变化。在对运算结果之间的大小关系比较中 就可以得到各种表现形式；儿何周长相等的矩形中，正方形的面积最大；或者，以。 为斜边的直角三角形中，等腰直角三角形的高最长；或者，更直观地, 等圆中，弦长不大于直径；函数本质上是函数凹凸性的反映。例如，可以直接通过
2、函数 y = , y = f等学生最熟悉的函数的凹凸性导出公式；或者, x利用函数图像的切线（本质上是“以直代曲”），例如，过点（1,1）作曲 线y = 4的切线，切线方程为y = jx + l）,曲线），= &总位于切线的下 方，故有，V72赤 老师提示:当 a=b 时，有片= lab o通过课件，动态演示面积变化情况，直观展示等号成立的条件。师：当，力为任意实数时，上式还成立吗？你能给出它的证明 吗？生：利用完全平方，（4 ）220,即2 2+从20,得至叱加 22ab。师：还有什么方法？（片刻后）证明不等式的常用方法是“作差”。证明：:/ +b2 -2ab = （a-b）1 0,.*.
3、a2 +b2 2ab.由证明过程可知：不等式/+从2 2恒成立.师：通过刚才的探究，我们得到了一个对任意实数都成立的不等 式/+从2。特别是。=。时，a2+h2=lab;反过来时，定 有好山 所以我们说当且仅当a=b时取等号。2 .探究新知师：当。0,方0时，如果用后,后替换上述结论中的a, b, 能得到什么结论？生：可得 a + b N（a 0,b 0） o师：你能证明这个不等式吗？什么时候取等号？学生模仿已有证明，用综合法。教师让学生阅读教科书，并填空：要证*之而，2只要证此要证，只要证 +0要证，只要证(-)2之0(4)显然,是成立的。当且仅当。切时二中的等号成立。再阅读课本的“探究”，
4、作出基本不等式的几何解释。教师对基本不等式做出如下说明：(1)注意基本不等式成立的条件；(2)注意基本不等式的结构：两个正数之积与两数之和之间的不等关系o(3)注意等号成立的条件。3 .知识应用例1判断下列说法是否正确：(1)若 x0,则+工 22；x(2)若 xVO,则x + W2;x(3)若血#0,贝!)2 +幺22； a b(4)若力=3,贝!|百。生：哦，不能！应该是-X-2 = fV-x + 2 20,所以x2oX IV-X)X教师提醒：注意，利用基本不等式，最基本的是要求两个数大于0o本题是经过变形可以利用基本不等式。(3)当必0 时，- + -2；当 HV0 时，- + -2o
5、a ba b教师补充：实际上，概括一下就是前面(1)和(2)o(4)生：当 q0,0 时，q+522疝=2百；当 qVO, *0时，师：怎么还不会？看一下(3)的解答。生：哦，因为一一。22斤豕=2百，所以。+一26。师：通过这几个例题可以知道，在基本不等式*2而中，要 2求G,力大于0。例2在下列函数中，最小值是2的是()(A) y = - + - (xWO) (B) y = gx + (lx10) 5 xIgx(C) y = 3x + 3-r (xeR) (D) y = sinx + ()%0, 5x既可以大于0,也可 5 x 5x以小于0,所以)，的值可以小于0。所以选项(A)不对。生2
6、：因为IVxVIO,所以lgx0。根据基本不等式，lgx+ 怆x2/gxhh=2所以选项)正确。生3：因为对任意x, 3v0,所以3、+ 3-22 3T =2。所以选 项（C）正确。生4：因为OVxV工，所以siaYOo所以siiix + - 22sinx2jsinx. =2o所以选项（D）正确。V sinx师：对吗？再看看每一个函数都能取到2吗？学生经过思考，得出只有选项（C）中的函数能取到2。师：所以，大家要注意基本不等式中等号成立的条件。变式练习：（1）若戈1,求，= x + 匚的最小值及取得最小值时的x值。X-（2）求函数）,=三二（x0）的最小值及取最小值时的x的 X值。（3）若0c
7、xl,所以 x10。所以 y = x + - = （x-l）+ + 1 NX-1X- 12 J（x-l）.+l=3o等号当且仅当x-l = ,即尸2时取得。V x-x-（2）只要将函数解析式转化为y = x + 2 l,就可以利用基本不等X式求解了。同学们课后完成。（3）因为（）xl,所以0V1xVl。所以等号当且仅当X=lX,即广，时取得。2教师总结：今天我们学了很重要的基本不等式。基本不等式在求 最值时很有用。从前面的几组题目可以看到，用基本不等式求最值时, 首先要注意含有字母的式子必须是正的；其次，要注意观察式子的结 构，和的形式要看是否有积为定值，积的形式则要看是否有和为定值; 第三，一定要注意是否能取到最值，这就要看“相等”的条件是否能 满足。总结起来就是：一正，二定，三相等。大家一定要记住了。思考题：(1)基本不等式简单，而且“一正、二定、三相等”也很明确, 但为什么学生总是想不到？ 一一越是简单，越接近常识，应用范围就 越广泛，越需要经过一定的训练而形成习惯。(2)在利用基本不等式求最值时，学生为什么总是丢三落四？