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1、第一节第一节 可测函数的定义及性质可测函数的定义及性质第四章 可测函数主讲：胡努春新的积分（新的积分（LebesgueLebesgue积分积分,从从分割值域分割值域入手入手）yiyi-1用 mEi 表示 Ei 的“长度”问题：怎样的函数可使Ei 都有“长度”(测度)?1 1可测函数定义可测函数定义例(1)零集上的任何函数都是可测函数。注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集定义：设f(x)是可测集E上的实函数(可取 )，若 可测，则称f(x)是E上的可测函数(2)(2)简洁函数是可测函数简洁函数是可测函数可测函数注：Dirichlet函数是简单函数0 1若 (Ei 可测
2、且两两不交），f(x)在每个Ei上取常值 ci，则称f(x)是E上的简洁函数；（3 3）可测集）可测集E E上的上的连续函数连续函数f(x)f(x)必为可测函数必为可测函数对比：设f(x)为(a,b)上有限实函数，()()()f(x)在 处连续(对闭区间端点则用左或右连续)设f(x)为E上有限实函数，称f(x)在 处连续可测集可测集E E上的连续函数上的连续函数f(x)f(x)定为可测函数定为可测函数证明：任取xEfa,则f(x)a,由连续性假设知，()xf(x0)+f(x0)f(x0)-a则G为开集，当然为可测集，且 R R中的可测子集中的可测子集E E上的单调函数上的单调函数f(x)f(x
3、)必为可测函数。必为可测函数。aI a x1 x2 由f单调增知下面的集合为可测集证明：不妨设f单调增，对任意aR可测函数的等价描述可测函数的等价描述证明：利用（1）与（4），（2）与（3）互为余集，以及定义：设f(x)是可测集E上的实函数，则 f(x)在E上可测 对前面等式的说明对前面等式的说明 (a-1/n a(a a+1/n可测函数的性质可测函数的性质可测函数关于子集、并集的性质l反之，若 ,f(x)限制在En上是可测函数，则f(x)在E上也是可测函数。l即:若f(x)是E上的可测函数,可测，则f(x)限制在E1上也是可测函数；若m(Efg)=0,则称f(x)=g(x)在E上几乎到处成立
4、,记作f(x)=g(x)a.e.于E。（almost everywhere）注：在一零测度集上变更函数的取值不影响函数的可测性注：在一零测度集上变更函数的取值不影响函数的可测性证明：令E 1=Efg，E 2=Ef=g，则m E1=0从而 g(x)在E1上可测，即：设f(x)=g(x)a.e.于E，f(x)在E上可测，则g(x)在E上也可测 注：用到了可测函数关于子集、并集的性质另外f(x)在E2上可测，从而 g(x)在E2上也可测，进一步g(x)在E=E1 E2上也可测。可测函数类关于四则运算封闭可测函数类关于四则运算封闭即:若f(x),g(x)是E上的可测函数,则f(x)+g(x),f(x)
5、-g(x),f(x)g(x),f(x)/g(x)仍为E上的可测函数。a-g(x)r f(x)类似可证：设f(x),g(x)是E上可测函数，则 为可测集。证明中利用了Q是可数集和R中的稠密集两特性质a-g(x)r f(x)若若f(x),g(x)f(x),g(x)是是E E上的可测函数上的可测函数,则则f(x)g(x)f(x)g(x)仍为仍为E E上的可测函数上的可测函数。作业：若f(x),g(x)是E上的可测函数,则f(x)-g(x),f(x)/g(x)为E上的可测函数再利用f(x)g(x)=(f(x)+g(x)2-(f(x)-g(x)2/4即可证明：首先f2(x)在E上可测，因为对任意aR可测
6、函数类关于确界运算和极限运算封闭。可测函数类关于确界运算和极限运算封闭。推论：可测函数列的极限函数仍为可测函数推论：可测函数列的极限函数仍为可测函数（连续函数列的极限函数不确定为连续函数）。（连续函数列的极限函数不确定为连续函数）。若fn(x)是E上的可测函数,则下列函数仍为E上的可测函数。对上式的说明：下确界：(a-1/n a例：例：R R1 1上的可微函数上的可微函数f(x)f(x)的导函数的导函数f(x)f(x)是可测函数是可测函数利用了可测函数列的极限函数仍为可测函数.从而f(x)是一列连续函数（当然是可测函数）的极限，故f(x)是可测函数.证明：由于gn(x)例例 设设f fn n
7、是可测函数列，则它的收敛点全体和是可测函数列，则它的收敛点全体和发散点全体是可测集发散点全体是可测集.留意：函数列收敛与函数列收敛于f之间的不同.证明：发散点全体为 收敛点全体为再可测函数与简洁函数的关系可测函数与简洁函数的关系可测函数f(x)总可表示成一列简洁函数的极限MmMmMmn0可测函数与简洁函数的关系可测函数与简洁函数的关系注：当注：当f(x)f(x)是有界函数时，上述收敛可做到一样收敛是有界函数时，上述收敛可做到一样收敛l若f(x)是E上的可测函数,则f(x)总可表示成一列简单函数的极限 ，而且还可办到例：设例：设f(x)f(x)是是R R上上连续函数连续函数，g(x)g(x)是是
8、E E上上可测函数可测函数，则，则f(f(g(x)g(x)是可测函数。是可测函数。证明：要证f(g(x)是可测函数，只要证对随意a，Ef ga=x|f(g(x)a可测即可,g 可测f 连续x|f(g(x)a=(f g)-1(a,+)=g-1(f-1(a,+)f-1(a,+)=例：设例：设f(x)f(x)是是R R上上连续函数连续函数，g(x)g(x)是是E E上上可测函数可测函数，则，则f(f(g(x)g(x)是可测函数。是可测函数。注：注：f(x)f(x)是是R R上可测函数，上可测函数，g(x)g(x)是是R R上连续函数，上连续函数，f(g(x)f(g(x)不确定不确定是可测函数（利用是
9、可测函数（利用CantorCantor函数构造，参见：实变函数，函数构造，参见：实变函数，周民强，周民强，p114)p114)证明：要证f(g(x)是可测函数，只要证对随意a，m(Ef ga)=x|f(g(x)a可测即可,由于f在F=R上连续，故Ffa为R中的开集，又直线上的开集可表示成至多可数个互不相交的开区间的并，故不妨令再由g可测，可知例：设例：设f(x)f(x)是是R R上上连续函数连续函数，g(x)g(x)是是E E上上可测函数可测函数，则，则f(f(g(x)g(x)是可测函数。是可测函数。注：另证：若g(x)是E上的可测函数,则g(x)总可表示成一列简单函数 的极限因为f(x)连续，故所以f(g(x)是简洁函数列的极限，故为可测函数