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1、双曲线达标检测A组一应知应会21.（2020红岗区校级模拟）双曲线J_0i（bO）的渐近线方程是产2j，x,则双曲线的焦距为（A. 3B. 6C. 277D. 亚【分析】利用双曲线的渐近线方程，求出。，然后求解c,即可求解双曲线的焦距.2【解答】解：双曲线/-，1缶0）的渐近线方程是产2近，可得。=2后，所以。=匕2+/=3,所以双曲线的焦距为6.故选：B.222.（2020安徽模拟）已知双曲线七一二f1（软0, b0）的离心率为2.则其渐近线的方程为（）A. xV3Y=0 B. y=0 c. y=0 D. xy=0【分析】通过双曲线的离心率求出。与。的关系，然后求解双曲线的渐近线方程.22【
2、解答】解：双曲线七-三1（软0, b0）的离心率为2.,2可得：=2，即1+2一=4, aa2可得上=加，a则双曲线。的渐近线方程为：各，=0.故选：A.3.（2020天津二模）抛物线=以的焦点到双曲线用一丫2=的一条渐近线的距离是乂2,则双曲线的实 o2轴长是（）A. V3B. 273C. 1D. 2h2=c2 - a2,代入上式化简可得c2 = 3ac - 2a2, e=9 a可得 e2-3e+2=0, el,解得e2.故答案为：2.2218. （2020春成都期末）已知双曲线C：三-01（40, b0）的左右焦点分别为尸1,尸2,点尸在第一象限的双曲线C上，且PF2_l_x轴，PFi放内
3、一点M满足元+2耐+3而=1,且点M在直线y=2x上，则双曲线C的离心率为.【分析】由 PF1F2 内一点 M 满足 MF；+2MF ；+3而=7,可得 S&IF：F2： S AMPFj： S&iTF = 3： 2： 1, 乙122即可求得“（, 红），即可得二为，=3 12-/）=4c,3 2a2a 3从而求得双曲线。的离心率.【解答】解：点p在第一象限的双曲线。上，且P五轴，2 yn2,2：.P （c,如），44- = 1，解得：yo=.a2 b24丁 APFi/2内一点M满足而4-2MF?+3昨=3， 乙1如图，取MB=3MP，MA=2MFj,则有血+血+吩；=柞 故M为ABb2的重心,
4、/. smab=s AMAF2=AMBF2=ySAABF2,又 以MF：F二而$岫S吵*S呼，1=1Samab，ASAMF.F,： SAMPF7： SAMPF =3： 2： 1, A 44X2A5AMFiF2=fsAPF:F；即,另告即 XM = ,35AMPF.=Ar a , 2 3 bAPF.F2,2综上，M (,),3 2a2_点M在直线y=2x上，4二生，=3 (J-/) =4的2 a 3=3J-46-3 = 0, =生医，（负值舍去）3则双曲线C的离心率为生匡，3故答案为：ZjY亘.19. （2019秋城关区校级期末）已知双曲线的中心在原点，焦点为，F2在坐标轴上，离心率为血，且过
5、点p（4, -Vio）.（1）求双曲线的方程；（2）若点加（3,相）在双曲线上，试求MF； -MF；的值,【分析】（1）通过离心率设出双曲线方程，利用双曲线经过的点，转化求解双曲线方程即可.（2）求出焦点坐标，利用向量的数量积公式，结合已知条件求解即可.【解答】解：（1）7=亚，可设双曲线的方程为/-=入（入wo）.;双曲线过点P（4, -J13）, .16-10=入，即入=6.双曲线的方程为？-y2=6.（2 ）由（1）可知，=。=证，得 c = 2 近，Fi （-2 灰，0 ）,尸2 （2 近，0 ）,呵=（-2百-3, -m）, 呵=（2后3,-力从而可耐=（-2后3, -m）（273-
6、3, -m）=-3+m2由于点M（3,加）在双曲线上，.9-?2=6,即能2 .3=0,故MF； .MF； = O.222220. （2019秋河西区期末）已知双曲线C J-=l （。0, Z?0）与双曲线匚-三=1有相同的渐 a2 b242近线，且经过点M （加，-V2）.（I ）求双曲线C的方程；（II）求双曲线。的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离.【分析】（I ）由题意设双曲线的方程，代入M的坐标，即可求解双曲线方程.（II）利用双曲线方程，然后求解双曲线。的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离.22【解答】解：（I ）,双曲线。与双曲线工-二=1有相同的渐近线，42设双曲线的方程为式一
7、工：二人（入W0）,24代入M （血，-V2）.得入=，2故双曲线的方程为：乂2_上二1.*2（II ）由方程得1=1, =。=让，故离心率 =加.其渐近线方程为=土心；实轴长为2,焦点坐标/（近，0）,解得到渐近线的距离为：、中立=.V1+221. （2020春山东月考）已知双曲线C的离心率为灰，且过（近，0）点，过双曲线C的右焦点厂2,做TT倾斜角为卫-的直线交双曲线于4 3两点，。为坐标原点，为为左焦点.3（1）求双曲线的标准方程；（2）求A08的面积.【分析】（1）有题意离心率和过的点的坐标，可得双曲线的焦点在x轴上，可得的值和c的值，再由b, C的关系求出m8的值，进而求出双曲线的方
8、程；（2）由（1）可得左右焦点的坐标，有题意可得直线AB的方程，与双曲线联立求出两根之积，两根之和进而求出面积.【解答】解：（1）有题意可得，双曲线的焦点在X轴上，且，=&，=&，b2=c2-a解得：“2=3, a序=6,2 2所以双曲线的方程：1-二=1；3 6（2）由（1）可得尸2 （3, 0）, F1 （ - 3, 0）,由题意设 丁=的（x-3）,设交点 A （xi, yi）, B （x2, ”），f Y=V3（x-3）联立直线与双曲线的方程：,整理可得：x2 - 18x+33 = 0, X1+X2=18, xu2 = 33,2x-y2=6可得 yi - 2=31 （xi - - 3）
9、 - （%2 - 3） = Vs （xi - x2）,所以 Saob=之 |0F2 I -lyi - |=a3 VsJ（X1+X9） 2-4x1x2=* 7182-4X33=36 J乙乙乙2222. （2019秋广陵区校级月考）双曲线C =-=1的左右两个焦点分别为乃、F2, P为双曲线上一 45动点，且在第一象限内，已知PgF2的重心为G,内心为/.（1）若NBPF2=60 ,求PF1F2 的面积；（2）若IGFiF2,求点P的坐标.【分析】（1）由曲线方程求得a与c的值,在焦点三角形。四尸2中，由双曲线定义及余弦定理求得|尸Fi|PF2|,再由三角形面积公式求解；（2）P（xo, jo）
10、（xoO, yoO）,则G （生，），利用三角形面积相等及G与/的纵坐标求得|P尸2|, 33再由两点间的距离公式及P在双曲线上列方程组求解.22【解答】解：（1）如图，由双曲线方程1-工=1,得/=%庐=5, 02=%45 4=2, c=3设|。乃| =加，PF2 = n,则 m - 71=4,在三角形P为歹2中，由余弦定理可得：4c2=m2+n2 - 2mn9cos60 ,即 36= (m - /1) 2+mn=16+mn,得 wi=20./.PF1F25，=-mnpsin60 =&/3;x(2)设 P (xo, yo) (xoO, yoO),则 G (设PF1F2的内切圆的半径为一，则s
11、apf.f2:于是/2cVlFiF2ly0 卷(、m+n+2c) pr,q（m+n+2c），r，得厂=乙2cy。mtn+2c2cyn Yn由/G尸1月2,知即m+=4c=12.mtn+2c 3又 m - =2。=4,解得 72=4.因此，(x0-3)2+y02=162 y 2,解得 Xq=4, y0=4士士1点。的坐标为（4, V15）.x2223. (2020大同模拟)已知双曲线C：b0)的右焦点八 半焦距c=2,点/到直线213的距离为,，过点尸作双曲线C的两条互相垂直的弦A& CD,设A& CO的中点分别为M, N.c2(1)求双曲线。的标准方程；(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定
12、点的坐标.21【分析】(I)由题意可得c的值，再由点尸到直线工4的距离为,，可得，的值，再由小b, c之间 c2的关系求出双曲线的方程；(2)设弦所在的直线方程，与双曲线的方程联立可得两根之和进而可得A5的中点M的坐标，再由椭圆可得弦CO的中点N的坐标，分别讨论当的斜率存在和不存在两种情况可得直线恒过定点.21【解答】解：(I)由题意可得C=2,- a1,解得：/=3,/=1,c 22所以双曲线的方程为：3(2)证明：设/(2, 0)设过b的弦AB所在的直线方程为：尤=6+2, A (xi, yi), B (必”)，则有中点M (.+2, ) 220),可得 A (C +a , bka -C
13、),a2 b22c 2ac设|AQ| = m, AF2n,由三角形的面积的等积法可得2上(m+2c)2 42 2aca 2化简可得 m+n=- - 4a - 2c(T) a由双曲线的定义可得m - n=2a1 / 2_ 2在三角形AA放中侬in9= 6 一&乙(0为直线人质的倾斜角)， 2ac由 tan8=, sin204-cos20=l,可得 sin6 = a2 2可得=c -a ,2a由化简可得3c2 - 2c - 5a2 = 0,即为(3c - 5a) (c+a) =0,c 5可得3c=5，则故答案为:1.3223.（2019秋雁峰区校级月考）已知P为双曲线C J-9=1（40, bQ）
14、右支上的任意一点，经过a2 L点尸的直线与双曲线。的两条渐近线分别相交于A, B两点.若点A, 5分别位于第一、四象限，O为坐标原点，当AP=pb时，AAOB的面积为24则双曲线。的实轴长为.2【分析】设A （xi, yi）, B （犬2, ”），P （x, y）,由已知向量等式把P的坐标用A, B的坐标表示，代入双曲线方程，结合4 8分别在双曲线的渐近线上可得软由双曲线的对称性结合角的关系求 9得sinNAOB,再由三角形面积公式列式求解外则答案可求.【解答】解:设A (X1, yi), B (x2, 2), P (x, y),由 AppB，得（xX，y-y p -（x2-x* 了之一了），
15、ij| 21_21w x=txi4tx2, y万了1%了2(|X14jx2)2 (|-yi+fy2)2?由题意知A在直线=旦乂上，3在=一且工上，则y2=TX2-b2=L 即 b2 (jX1+yx2)2-a22 = a2b22a化简得：a21-x 2)J由渐近线的对称性可得sin N A 03=sin2 NA Ox2b2sin/A0xcos/A0x _ 2tan/A0x = a =_ 2absin2ZAOx+cosAOx tan/AOx+l () 2 +1 b2 + a2A05 的面积为日|oa| |OB | sinZA0B4Jxi2+yi2pJx92+y92psinZA0B=1_ I2 zb
16、 7. I_2 / b 瓦7 2ab I zb . 2 p L 2r ab2机 1 +(T、1)g +(72)72-x1x2V1+(7)2 _ ab 9 ni 缶汉7日万一16-Va p9 +) J -vab=2b,角牛倚-？7-8b2+a2 a 89双曲线。的实轴长为四.9故答案为：.【分析】求出抛物线的焦点坐标，双曲线的一条渐近线方程，利用已知条件求解。即可.【解答】解：抛物线=4%的焦点（1, 0）,双曲线-y2=i的一条渐近线光+分=0, a抛物线丁=4%的焦点到双曲线-y2=的一条渐近线的距离是返，a22可得塔,解得=1.Vh? 2所以双曲线的实轴长为2.故选：D.4. （2020春
17、成都月考）已知双曲线的两条渐近线的方程分别是心+y=0和心-y=。，则该双曲线的离心率是（）A. V6B.遮或堂 c.夷或近 D. Vs【分析】通过双曲线的焦点坐标的位置，结合双曲线的渐近线方程可得C与。的比值，求出该双曲线的离心率.【解答】解：双曲线的中心在原点，焦点在X轴上， 双曲线的渐近线方程为尸2,结合题意两条渐近线的方程是否+尸0和心-尸0, a/=/2,设 a=t，b=贝U（/0）,a 该双曲线的离心率是e=第，双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，双曲线的渐近线方程为y= 土2x,结合题意两条渐近线的方程是加x+y=0和心-y=0,b得包=亚，设。=3 a=y2t,则 （0）, b
18、该双曲线的离心率是6 = 返，2故选：B.225.（2020东湖区校级三模）已知人、放为双曲线E：三-工b0）的左、右焦点、，点、M为E a b?右支上一点.若恰好被y轴平分，且NMFib2=30。，则E的渐近线方程为（）A. y二士返xB. y=V2x C. y=V3x D. y=2x【分析】利用已知条件判断M的位置，然后得到。，b的关系，即可推出双曲线的渐近线方程.22【解答】解：F1、尸2为双曲线E：三-9 1（软0, b0）的左、右焦点，点M为E右支上一点,若M为恰好被y轴平分，则五2垂直x轴，因为NMFib2 = 3O ,b2M FI 所以-=tanZMFiF2,可得退二软F/23
19、2c,2acyr,可得可得二=2,则巨=血 a2 &则E的渐近线方程为y= 土。9.故选：B.226.（2020让胡路区校级三模）过双曲线C：3-9=1（0,人0）的右焦点尸作。的一条渐近线的垂a2 b2线，设垂足为4。为坐标原点.若A3C的面积为则cosNO/=（【分析】利用已知条件，通过三角形的面积，得到关系式，然后求解双曲线的离心率即可.【解答】解：由题意得10川=m I必1 =。，N04b=90 ,AOFA 2-a= a2，得 b=2。所以 cos/OFA=， b故选：D.7. （2020河南模拟）已知点尸（5, 0）,若双曲线C： *2-=-=1的右支上存在两动点”，N,使得而1而,
20、则而诬的最小值为（）B. 15C. 16【分析】画出图形，利用向量的数量积的几何意义，转化为双曲线上的点到P距离的平方，然后求解最小值即可.【解答】解：由题意PM1PN，则而而=1而llBcosV而，MF = |2,而而的最小值，就是双曲线上的点例到P距离的平方的最小值，2设M （勿2, ），则：苏-工_=1,31Mpi2= （；7? - 5） 2+/?2 = （m - 5） 2+3/n2 - 3=4m2 - 10m+22,当加=$ 时，表达式取得最小值： 44228.（2020南岗区校级模拟）已知双曲线氏 JJ=l （。0, /;0）的右焦点为尸2, A和8为双曲线上 a2 b2关于原点对称
21、的两点，且A在第一象限.连结A危并延长交E于P,连结8放，PB,若8b2P是以N8改尸为直角的等腰直角三角形，则双曲线E的离心率为（）A.与B. V5C.D. V10【分析】设双曲线的半焦距为c, BF2 = PF2 = t,首先判断四边形4尸18F2为平行四边形，可得NB4F2= 90。，连接PQ,运用双曲线的定义，在直角三角形A乃放和直角三角形勿为中，运用勾股定理，化 简可得。，c的关系式，即可得到所求离心率.【解答】解：设双曲线的半焦距为c, BF2 = PF2 = t,由|。4| = |。引，|OFi| = |OF2|,可得四边形AQ8F2为平行四边形，则|A尸1| = |57切=上且
22、NBA尸2 = 90。,连接PF1,由双曲线的定义可得|PB| = |PF2|+2aj+2mX|AF2| = |AFi| - 2a=t-2a9在直角三角形ABF2中，可得及+ （2。）2=4/,在直角三角形必为中，可得及+ （2L2）2=（什2）2,化为，=3m代入可得9a2+/=402, 即有，平即，零229.（2020吉林模拟）已知F（-J5，0）是双曲线C：三-工b0）的左焦点，P为双曲线C右支上一点，圆/+/=/与 轴的正半轴交点为4 |附+IPFI的最小值4,则双曲线C的实轴长为（）A. V2B. 2C. 272D. 2M【分析】设P为双曲线的右焦点，得到|PF| = 2a+|P/
23、|,通过1%1+IP/ |2|A尸 尸产 三点P,4 F1共线时取等号.求出。，即可.【解答】解：由题意，A（0, ），设尸为双曲线的右焦点，则|尸尸| = 2+|尸尸|,尸（-5，0）,尸，（加，0）.|24|+尸| = |%|+2+/| = 2。+ PA+PFf |） 2a+AFf |=24+也+软2,三点P, 4 F1共线时取等号.所以2+43+&2=4,解得=1,故实轴长为2.故选：B.2210. （2020武昌区校级模拟）双曲线。的方程为：三_今1（软0, b0）,过右焦点尸作双曲线一条渐近线的平行线，与另一条渐近线交于点P,与双曲线右支交于点点M恰好为Pb的中点，则双曲 线的离心率
24、为（）A. a/2B. 2C.加D. 3【分析】由题意画出图形，结合已知求出M的坐标，代入双曲线方程，转化求解离心率即可.22【解答】解：双曲线。的方程为：三一工b0）,渐近线方程为：hxay=O,F （c, 0）,如图：布的方程为：y上（x-C）与OP方程的交点户（工，一炉），a2 2a点加恰好为。产的中点,（，-义）,代入双曲线方程可得=叫且4 4a16a2 16a2b21616可得 J=2, e,得e=血.故选：A.2211.（多选）（202。春厦门期末）已知为，尸2是双曲线E：（。0,。0）的左、右焦点，过a2 b2TT后作倾斜角为上-的直线分别交y轴与双曲线右支于点M，P, PM =
25、 MFx,下列判断正确的是（）6IT1A. ZPFiF=B. MF2=PF32C. E的离心率等于近D. E的渐近线方程为、=土心【分析】结合三角形的中位线定理和直角三角形的性质，可判断A, &由锐角三角函数的定义和双曲线的定义、离心率公式和渐近线方程，可判断G D.【解答】解：如右图，由=可得”为P乃的中点，又。为门放的中点，可得。MPF2, ZPF2Fi = 90 , ZPFiF2 = 30 , MF2 = PF,故 A 错误，5 正确；2设用/2| = 2c,则|Pb 1| = 一=包旦,|PF2| = 2ctan30 =c,cos30 33则2=|P川- I尸/2| = 至3的 可得e
26、=近，3a=J J 则双曲线的渐近线方程为尸土2r即为尸土心.软 Va2a故C,。正确.2212.（多选）（2020春凌源市期末）已知双曲线E：4=1 （0, b0）的两条渐近线分别为直2,2a b线/i： y=2x, /2： y= - 2x,则下列表述正确的有（）A. ahB.。=2。C.双曲线E的离心率为加D.在平面直角坐标系xQy中，双曲线E的焦点在x轴上【分析】利用双曲线的渐近线方程，推出匕与。的关系，求出离心率，然后判断选项的正误即可.【解答】解：双曲线：（40,。0）的两条渐近线分别为直线A： y=2x, /2：），= - 2x,2k2a b可得-2，aI22所以A, 8不正确；双
27、曲线的离心率为：c=J& +b =加, a V a2所以C正确；在平面直角坐标系X。），中，由双曲线方程可知，双曲线石的焦点在x轴上，所以。正确.故选：CD.2213. （2020北京）已知双曲线C1-匚=1,则。的右焦点的坐标为；。的焦点到其渐近线63的距离是.【分析】根据双曲线的方程可得焦点，再根据点到直线的距离可得.22【解答】解：双曲线c1-二=1,则c2=q2+o2=6+3=9,则c=3,则。的右焦点的坐标为（3, 0）,63其渐近线方程为y=里，即x土丘=0,V6则点（3, 0）到渐近线的距离。=近，V1+2故答案为：（3, 0）, V3.2214. （2020新课标IH）设双曲线
28、C A_-Z_=i（6Zo, b0）的一条渐近线为丁=，以，则。的离心率为【分析】由双曲线的方程求出渐近线的方程，再由题意求出m匕的关系，再由离心率的公式及。，c之间的关系求出双曲线的离心率.【解答】解：由双曲线的方程可得渐近线的方程为：y=卫x,a由题意可得上=加，所以离心率e= = aa故答案为：Vs-15. （2020春平谷区期末）已知双曲线 J-J=1 （q0, /?0）的一个焦点为（3, 0）, 一个顶点为（1, a2 b20）,那么其渐近线方程为.【分析】利用已知条件，求出a, c,求解江 即可求解双曲线的渐近线方程.2 v2【解答】解：双曲线%-9=1 （0,。0）的一个焦点为（
29、3, 0）, 一个顶点为（1, 0）,可得=1, c=3.则。=2沈.所以双曲线的渐近线方程为：y= 2心.故答案为：），=22216.（2020春平谷区期末）已知双曲线4-三=1（6/0, bQ）的一个焦点与抛物线）？=4工的焦点重2,2,a b合，且焦点到渐近线的距离为返，那么双曲线的离心率为.2【分析】由题意画出图形，再由抛物线方程求出焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，由焦点到双曲线一条渐近线的距离列式，求解离心率即可.【解答】解：如图,由抛物线方程=4么 得抛物线的焦点坐标尸（1, 0）,22即双曲线鼻-J=1 （0, b0）的右焦点坐标为尸（1, 0）,2.2a b双曲线的渐近线方程为
30、y= 土上xa不妨取化为*般式：bx - ay=0.a则 M 二返,Va2+b2 2B|J 4/?2=3。2+3人2,又a2,-庐,联立解得：cr=, .a=.42则双曲线的离心率为：e= = 4=2a A2217.（2020新课标I ）已知产为双曲线C：J=1（40, b0）的右焦点，A为。的右顶点，B b2为C上的点，且8尸垂直于x轴.若45的斜率为3,则C的离心率为.【分析】利用已知条件求出4 8的坐标，通过48的斜率为3,转化求解双曲线的离心率即可.|答】解:尸为双曲线C4一3=的右焦点），A为C的右顶点5 0）， a be2B为。上的点，且8尸垂直于x轴.所以8（的 ）, a-0若A5的斜率为3,可得：二=3c-a