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1、专题05不等关系与不等式T【专题导航】知识点一、不等式的基本性质1知识点二、两类常用性质1考点一：用不等式表示不等关系2考点二：比较数或式子的大小5考点三：不等式性质的应用7麻【教材内容全解】知识点一、不等式的基本性质.实数大小顺序与运算性质之间的关系 qb0b； qb=0a=b； qb0abbb, bc= ac.(3)可加性：”/?=+cE?+c； ab, cd=a+c次+d.(4)可乘性：ab, c0= acbc, ab0, cd0acbd.(5)可乘方：ab0anbnN, 三 1).(6)可开方：缶版(WN, ,2).常用结论知识点二、两类常用性质(1)倒数性质ah, ah0=r； a
2、b, 1 1 Q0v/?=Zb0,(2)有关分数的性质若 ah09 m0,则 h-m h h-m左7(Z?m0)；a a-vm a a-ma-m a a-m(Dt; i ； T0).h h+m b bnv免费增值服务介绍嚼学科网 e卷组卷系统3 学科网() 致力于提供K12教育资源方服务。网校通合作校还提供学科网高端社群 出品的老师请开讲私享直播课等 增值服务。3组卷网() 是学科网旗下智能题库，拥有小初高全 学科超千万精品试题，提供智能组卷、 拍照选题、作业、考试测评等服务。扫码关注组卷网解锁更多功能扫码关注学科网每日领取免费资源 回复ppt免费领180套PPT模板 回复天天领券来抢免费下载
3、券共【典例剖析】考点一：用不等式表示不等关系【规律总结】用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤：审题.通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量.找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不 少于”“不多于”“超过“不超过”等.列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件用不等式表示.【典例1】用一段长为30加的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于216 m2,靠墙的一边长为xm,其中的不等关系可用不等式(组)表示为0x21630-r【解析】矩形菜园靠墙的一边长为工机,则另一边长为二根, 2即(15 相，根据已知得0x216【变式1-1
4、】某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本，若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？【答案】见解析X2 5【解析】提价后杂志的定价为x元，则销售的总收入为(8kx0.2)x万元，那么不等关系“销售的收入不 JL低于20万元”用不等式可以表示为：(8一 JL考点二：比较数或式子的大小【方法技巧】比较大小的常用方法：(1)作差法的一般步骤是：作差，变形，定号，得出结论.注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是什么无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或者多个 因式的根的形式.(2)
5、作商法的一般步骤是：作商，变形，判断商与1的大小，得出结论.注意：作商时各式的符号为正，若都为负，则结果相反.(3)介值比较法：介值比较法的理论根据是：若。4比c,则。的其中人是与。的中介值.介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值.(4)利用单调性比较大小.(5)函数法，即把要比较的数值通过构造函数转化为该函数的函数值，然后利用函数的单调性将其进一步 转化为自变量的大小问题来解决.【典例2已知xVyVO,比较(%2+y2)(xy)与(X2一,2)a+y)的大小.【答案】见解析【解析】Vxj0, xy(x2y2)(x+y).【变式2-1(1)比较/ + )及+1与2(x
6、 + y 1)的大小；设qR且存0,比较。与)的大小.【答案】见解析【解析】(I)x2+y2+i2(x+y1)=122x+l +y22y+2=(x1)2+。一 1+1 0,/.%2+2+1 2(x+y 1).erh 1 (4l)m+l)由l Ia当 a=l 时，q=,；当 一1。1 时，Q；当 典例 1 若a = 2/ + i, b = x2 + 2x, c = -x - 3,试比较a, b, c的大小.【解析】Va = 2x2 + 1, b = x2 + 2x, c = -% - 3,.a - b = (2x2 + 1) - (x2 + 2x) = x2 - 2x + 1 = (x - l)
7、2 0,即a b,b - c = (x2 + 2x) - (-x - 3) = %2 + 3% + 3 = (% +1)2 + 0,即b c,综上可得：a b c.【变式2-2 已知04/?vl,则。，log/, log他的大小关系是A. ahoghaB. logb oghaahD. ahogb loghaC. loghaogb ah【答案】A【解析】因为 所以0 va log/7Z? = 1,又 所以 log / log 1=0.a；7综上，得logblogQ.故选A.【名师点睛】在用介值法比较时，中介值一般是通过放缩变形，得到一个中间的参照式（或数），其放缩的 手段可能是基本不等式、三角函
8、数的有界性等.-1 或 OVaVl 时，a.【变式2-3】设a, b0, +oo）, A=W+也，B=y+h,则43的大小关系是（）A. ABB. ABC. AB解析：选B.由题意得，B2-A2=2yb0,则（ ）A.h bma a-mB.ba a-mC.C.b b-m-:a a-vmD-与与*的大小关系不确定解析：选C.b 方+加 b (a+m) -a (+加) m (痴一)a a-m a (a+Ma (+M所以/?a0,所以所以/?a0,所以in (/71)a (a+m)0, b=221n 3 In 9221n 3 In 912 = 3h72=hr8 = log89b所以ab.考点三：不等
9、式性质的应用【解题关键】不等式的性质（1）实数的大小顺序与运算性质的关系abaa - b 0 ；a = boa-b = G ；aba-bb, Z?c=QC；（单向性）可加性：4bu+c8+c；（双向性）ab, cd=a + c b + d ；（单向性）可乘性：aZ?,c0 = ac。；（单向性）ab, cvgacvbc；（单向性）ab0, cd0ac bd ；（单向性）乘方法则：/?（ eN,N1）；（单向性）开方法则：人。=标底（eN,论2）.（单向性）注意：（1）应用传递性时，若两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，则等号无法传递. （2）可乘性中，要特别注意“乘数/的符号.4.必记结
10、论/、7,11ab, 6?Z?0= . a b（1） Q0/?nb0,0c .c d（3） 0vaxb 或 aVxvb00 b0, m0,则(b-mQ)； a a+ma a-maa + m a a-m , 八； 0)bb+m b b-m【典例3【多选题】（2021.河北高三二模）若实数。，满足/匕，则下列选项中一定成立的有（）A. a2 b2B. a3 Vb3C. 1D. In y 4或0,逐一分析四个选项，即可得答案.【详解】因为。4q3，所以 q3（q_。）0 ,6Z3 0所以所以或，a-b 0 a-b b 或所以。2/,故A正确；若则cJa/A故B错误；若0人，则a b0,所以/41，故
11、C错误；因为0。或人。0,所以。gi, b所以ln（f0,故D正确.故选：ADln3 ln4 ln5【变式3-1】若。=7，b=, c=,则（）A. abc B. cbaC. cab D. bac【答案】B【解析】方法一 易知m4c都是正数，h 31n4Iog8i64b； X JL JL7=715 = 1g6251 024l,所以 .即 cha. B A A e时,函数7(x)单调递减.因为eV3火4)45),即 cba.【变式3-2】设治)=加+如若1歹一12,2#1)34，则八-2)的取值范围是.【答案】5,10【解析】方法一(待定系数法)设1-2)=颂- 1)+川，为待定系数)，则 4-
12、2。=加(一/?)+/2m+份，即 4a-2b=(m+ri)am)b9m+/i=4,m = 3,于是得 _ c 解得 nm= 2,n= 1.所以式-2) = 3皿1)+/U).又因为 1/(-1)2,2/(1)4,所以 50沫- 1)+用)30, BP 5/(-2)10.方法二(解方程组法)伏 T)=ai,由血)=a+b,1=/-1)+川), vg=3贝)黄1).所以八2)=4。-2/2=3负-1)+/0).又因为 1/(-1)2,2/(1)4,所以 533y(1)+川)310,故 5#2闫0.【变式3-3己知1260,15从36,求。一及号的取值范围.【错解】V 1260,15/?36, /
13、. 1215(7/?6036,/. 3a-/?24, |.【辨析 1错解中直接将1260/5。36相减得一b的取值范围，相除得印勺取值范围而致错.【正解】V 15/?36, /.36方15.1236。匕6015,艮|J24i一45.又 15/;36,表(七.又 1260,.12 60石5Qb cdbc；+gbd；o(dc)Z?(dc)中成立的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】 当bbaabb；当 b=0 时,显然有 abbb；当比0时，由6有|可，所以 abaabb.综上可知ahhh,故选C.(2)因为cd0,所以故错误.因为 0b a,所以 a b0,因为 cdd0, 所以
14、a(c)(b)(d)9所以oc+bdvO,所以什心竺苧0,故正确. C C因为cb,所以 a+(c)8+(一4, 即acb-d,故正确.因为 ab, d-c0,所以 (dc)b(dc), 故正确，故选C.【答案】(1)C (2)C【变式3-5已知04 则下列不等式一定成立的是()A. 。2abA. 。2abB.a 记解析：选C.通解：当4=1, /?= 1时，满足40人,解析：选C.通解：当4=1, /?= 1时，满足40人,此时 2=一而,a = hb，所以A, B, D1 1 hh1 1不一定成立，因为40。，所以。一0, ab0。，所以所以一定成立.故选C.【变式3-6】已知vhc且+h
15、+c、=O,则下列不等式恒成立的是（）A. a2b2c2B. abcbC. bacaD. cacb解析：选D,因为。*c且a+b+c=O,所以0,匕的符号不定，对于。，两边同时乘以正数c, 不等号方向不变.【变式3-7】已知一 1令4, 2勺3,则xy的取值范围是, 3x+2y的取值范围是.【解析】因为一lx4, 2y3,所以一3一y 2,所以一4xy2.由一lx4, 2y3,得一3v3x12,42y6,所以 l18.【答案】（一4, 2） （1, 18）【变式3-8（变条件）若将本例条件改为“一lxy3，求xy的取值范围.解:因为一1 x3, 1 勺3,所以一3yl,所以一4xy4.又因为xy,所以y0,所以一4xy0,故xy的取值范围为（一4, 0）.【变式3-9（变条件）若将本例条件改为“一lvx+y4, 2x产3，求3x+2y的取值范围.r _5、加+=3, mr解：设3x+2y=m（x+y）+（xy）,则彳所以m-n29I即 3x+2y=T（x+y）+（xj）,又因为一lx+y4, 2xy3, 所以 一 14（x+y） 10, 13 5123所以22（*+川+手工一y）2，