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1、微微 积积 分分 课课 程程 教教 学学（试 用 稿）郑大昇达经贸管理学院共科部大大 纲纲微积分课程教学大纲适用对象：财经类各专业选用教材：微积分(赵树嫄主编中国人民大学出版社)总 学 时：120 学时前言制定本教学大纲是为了规范和加强微积分课程的教学、提高教学质量 教学大纲是教学的指导性文件 本大纲制定了学生必须掌握的基本概念、基本理论和基本方法的要求，这也是基本的教学要求微积分是财经院校各专业的一门必修的主干基础理论课程它的任务是：使学生获得微积分、级数、常微分方程等的基本知识和基本方法，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生初
2、步具有抽象思维能力和自学能力，还要注意培养学生具有熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力本大纲的用语，将基本要求分为由低到高的三个等级，即对概念和理论性的知识，由低到高分别用“知道”、“了解”、“理解”三级区分；对运算方法和技巧方面的知识，由低到高分别用“会或能”、“掌握”、“熟练掌握”三级区分大纲中打*号部分内容可根据教学具体情况选用本教学大纲力图做到在总结多年教学经验的基础上体现财经专业教学改革的需要，使“大纲”既有学科上的系统性与科学性，又有教学上的灵活性与适用性；既注意内容的选取要适合财经专业的需要，又避免引入过多的经济概念使教与学都感到困难我们虽然尽了很大的努力，
3、希望制定出的教学大纲符合我院财经类各专业的共同要求，但由于时间仓促又缺乏经验，大纲中一定会存在这样或那样的问题，欢迎在使用大纲过程中，随时提出宝贵意见，以便今后修订提高1第一章第一章函函数数一、内容提要1预备知识：实数及其几何表示，实数的绝对值，绝对值的基本性质，绝对值不等式，区间与邻域的概念2函数概念：常量与变量，函数的定义域与表示法3函数的几种简单性质：单调性，有界性，奇偶性，周期性4反函数：反函数的定义及其图形，反三角函数及其主值5复合函数的概念6初等函数：基本初等函数的定义，定义域及其图形，初等函数的定义7分段函数：分段函数的概念及其图形特征8建立函数关系举例：总成本函数，总收入函数，
4、总利润函数，需求函数，供给函数等二、要求与说明1理解实数、实数绝对值及邻域的概念掌握简单绝对值不等式的解法2理解函数、函数的定义域和值域等概念，知道函数的表示法3知道函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性并掌握其图形的特征4了解反函数的概念，知道函数与反函数的几何关系，给定函数会求其反函数5理解复合函数的概念，掌握将一个复合函数分解为较简单函数的方法6熟练掌握基本初等函数的性质及图形7理解初等函数的概念，了解分段函数的概念8会建立简单应用问题的函数关系第二章第二章极极 限限 与与 连连 续续一、内容提要1数列极限的定义与几何意义，数列极限的唯一性及收敛数列的有界性2x x0时函数f(x)的极限，
5、x 时函数f(x)的极限，函数极限的几何解释，左、右极限3无穷小量的定义与基本性质，无穷小量的比较，无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系4极限的四则运算5极限的基本性质：唯一性、有界性、保号性、极限不等式等6极限存在的准则：准则(夹逼准则)，准则(单调有界数列必有极限)sin x11，lim(1)x e7两个重要极限：limx0 xxx28函数的连续性，左连续与右连续，函数连续的和、差、积、商的连续性，反函数与复合函数的连续性，初等函数的连续性，分段函数的连续性9闭区间上连续函数的基本定理：有界性定理，最值定理，介值定理，介值定理的推论(零点定理)二、要求与说明1理解数列与函数极限的概念（
6、关于数列与函数极限的分析定义不作过高的要求）2理解无穷小量的概念和基本性质，掌握无穷小量比较的方法，了解无穷大量的概念，知道无穷小量与无穷大量之间的关系3了解两个极限存在的准则，并能用于求一些简单极限的值4熟练掌握两个重要极限及其应用5理解函数连续性与间断的概念，掌握函数间断点的分类，掌握讨论分段函数连续性的方法6了解连续函数的性质，理解初等函数在其定义区间内必连续的结论7了解闭区间上连续函数的基本定理（定理不证明，只作几何说明）会用零点定理证明方程实根的存在性8熟练掌握求极限的基本方法：利用极限运算法则、无穷小量性质、两个重要极限以及函数的连续性等求极限的值第三章第三章导导 数数 与与 微微
7、 分分一、内容提要1变速直线运动的速度，平面曲线的切线的斜率，导数的定义与几何意义，可导与连续的关系2基本初等函数的导数公式3导数的四则运算4反函数与复合函数的导数，隐函数的导数，对数求导法5高阶导数的概念与求法6微分的定义与几何意义，可导与可微的关系，微分法则与微分基本公式，一阶微分形式的不变性7导数与微分的简单应用：近似计算，*误差估计二、要求与说明1理解导数的概念、导数的几何意义，了解可导与连续的关系2熟练掌握基本初等函数的导数公式3熟练掌握导数的四则运算公式4了解反函数的导数公式（公式证明不作要求）5熟练掌握复合函数的求导公式36熟练掌握取对数求导法和隐函数求导法7了解高阶导数的概念，
8、掌握求二阶、三阶导数及某些简单函数的n 阶导数的方法8理解微分的概念，了解可导与可微的关系，以及一阶微分形式的不变性，熟练掌握求可微函数微分的方法，掌握微分在近似计算中的简单应用第四章第四章中值定理与导数应用中值定理与导数应用一、内容提要1罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理2罗彼塔法则与各种未定式的定值法3函数单调性的判别法4函数极值的定义，函数取极值的必要条件与充分条件，函数最值的概念，求函数最值的方法，求函数最值的基本步骤5曲线凹凸性与拐点的定义、判别法与求法，曲线的渐近线的定义与求法6函数作图的基本步骤与方法7变化率及相对变化率在经济分析中的应用边际分析及弹性分析二、要求与说明1能叙述罗尔
9、定理、拉格朗日定理、柯西定理，知道这些定理之间的关系，会利用这些定理证明一些简单的证明题02熟练掌握罗彼塔法则与各种未定式的定值方法只证型未定式的罗彼0塔法则，注意罗彼塔法则适用的条件3熟练掌握函数单调性的判别方法及单调性的简单应用4熟练掌握求函数极值与最值的方法，知道函数的极值与最值的关系与区别，会求解某些简单的经济应用问题5熟练掌握曲线凹凸性判别方法，熟练掌握求曲线凹向、拐点及渐近线的方法6掌握函数作图的方法与步骤，会作某些简单函数的图形7理解边际、弹性的概念及其经济意义，会用需求弹性分析总收益的变化第五章第五章不不 定定 积积 分分一、内容提要1原函数概念，不定积分的几何意义，不定积分的
10、性质2基本积分表3换元积分法（包括简单无理函数的积分）4分部积分法45简单有理函数积分举例二、要求与说明1理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质2熟练掌握基本积分表3熟练掌握计算不定积分的两种换元积分法和分部积分法4会计算简单的有理函数和简单无理函数的不定积分第六章第六章定定 积积 分分一、内容提要1曲边梯形的面积定积分的定义与意义定积分的基本性质积分中值定理2变上限积分及其求导方法，原函数存在定理，牛顿-莱布尼兹公式3定积分的换元法与分部积分法4定积分的应用：平面图形的面积，两种几何体的体积，简单的经济应用5广义积分初步：无穷积分的概念，无穷积分收敛与发散的定义，无穷积分的计算，
11、瑕积分的概念，瑕积分收敛与发散的定义，瑕积分的计算，函数的定义、性质与递推公式二、要求与说明1理解定积分的概念与基本性质，掌握积分中值定理2熟练掌握牛顿-莱布尼兹公式，熟练掌握变限积分的导数的求法3熟练掌握计算定积分的换元法与分部积分法4掌握用定积分计算平面图形的面积和两种几何体体积的方法，会用定积分求解一些简单的经济应用题5了解广义积分收敛与发散的概念，掌握计算收敛广义积分的方法，知道dx1dx广义积分，0 xp的敛散条件，知道函数的概念、基本性质与递推公式1xp第七章第七章无无 穷穷 级级 数数一、内容提要1无穷级数及其一般项与部分和的概念，无穷级数收敛与发散的定义，收敛级数和的概念，几何
12、级数与调和级数的敛散性，无穷级数收敛的必要条件，收敛级数的基本性质2正项级数的概念，正项级数收敛的必要条件，正项级数敛散性的比较判别法、比值判别法，P 级数的敛散性3交错级数的概念，交错级数敛散性的莱布尼兹判别法，任意项级数的绝对收敛与条件收敛的概念，绝对收敛与条件收敛的判别法54幂级数的概念，幂级数的收敛半径、收敛区间以及和函数的概念，幂级数敛散性判别法，幂级数的收敛半径、收敛区间的求法，幂级数的基本性质5泰勒公式及其余项，泰勒级数与马克劳林级数，幂级数展开定理，将函数展成幂级数的方法（直接展开法和间接展开法），简单初等函数的幂级数展开二、要求与说明1理解无穷级数、部分和、收敛、发散以及和的
13、概念2掌握几何级数与 P 级数（包括调和级数）敛散性判别条件3掌握级数收敛的必要条件，以及收敛级数的基本性质4掌握正项级数的比较判别法，掌握正项级数的比值判别法5掌握交错级数的莱布尼兹判别法6了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，掌握绝对收敛与条件收敛的判别方法7了解幂级数的收敛区间与和函数的概念，会求幂级数的收敛半径8知道幂级数在其收敛区间内的一些基本性质19了解泰勒级数的概念，会用ex,sin x,cosx,ln(1 x)的麦克劳林展开1 x式将一些简单函数展开成幂级数第八章第八章多元函数微积分学多元函数微积分学一、内容提要1空间直角坐标系，空间两点间的距离，空间曲面与曲面方程，平面上的
14、区域，点的邻域，开区域、闭区域、有界区域与无界区域等概念2多元函数的定义，二元函数的定义域与几何意义，二元函数的极限与连续性3偏导数与全微分的定义与计算方法4多元复合函数微分法与隐函数微分法5高阶偏导数的定义与求法6二元函数极值的定义，极值的必要条件与充分条件，条件极值的概念与拉格朗日乘数法，多元函数最值的概念与求法7曲顶柱体的体积，二重积分的定义与基本性质，在直角坐标系与极坐标系下计算二重积分二、要求与说明1了解空间直角坐标系的有关概念，会求空间两点间的距离，了解平面区域，区域的边界，点的邻域，开区域、闭区域、有界区域与无界区域等概念2了解多元函数的概念，掌握二元函数的定义与表示法3知道二元
15、函数的极限与连续性的概念64理解二元函数偏导数与全微分的概念，熟练掌握求偏导数与全微分的方法，熟练掌握求多元复合函数偏导数的方法5熟练掌握由一个方程确定的隐函数求偏导数的方法6了解二元函数的极值与条件极值的概念，掌握用二元函数极值存在的必要条件和充分条件求二元函数极值的方法，掌握用拉格朗日乘数法求简单二元函数条件极值问题的方法7理解二重积分的概念、几何意义与基本性质，熟练掌握在直角坐标系与极坐标系下计算二重积分的方法并计算一些简单的二重积分第九章第九章微微 分分 方方 程程一、内容提要1微分方程的定义，微分方程的阶、解、通解、特解、初始条件等基本概念2可分离变量的方程、齐次方程、一阶线性微分方
16、程3二阶常系数线性齐次微分方程的概念及解法*几类特殊的高阶微分方程的解法4微分方程在经济中的简单应用二、要求与说明1了解微分方程的阶、通解与特解等概念2掌握可分离变量的方程、齐次方程、一阶线性微分方程的解法3会解二阶常系数线性齐次微分方程，*会解几类特殊的高阶微分方程4会求解一些简单的经济应用问题*第十章第十章差差 分分 方方 程程一、内容提要1差分与方程的概念，差分方程的阶与解（通解与特解）2一阶齐次差分方程的通解，一阶非齐次差分方程的特解与通解3二阶齐次差分方程的通解，二阶非齐次差分方程的特解与通解4差分方程在经济学中的简单应用二、要求与说明1了解差分、差分方程，差分方程的阶与解（通解与特
17、解）等概念2会求一阶与二阶常系数线性齐次差分方程的解3会求某些特殊的一阶与二阶常系数线性非齐次差分方程的特解与通解会求二阶齐次差分方程的通解、二阶非齐次差分方程的特解与通解4会求解一些简单经济应用问题7附件附件 1 1：教学进度表(上学期)课程总学时数：120上学期总学时数：52周学时数：4周次日期章78教学内容实践教学备注一绪论 1.1 集合 1.2 实数集1.3 函数关系 1.4 函数表示法1.5 建立函数关系的例题1.6函数的几种简单性质1.7 反函数，复合函数 1.8 初等函数1.原则上应按进度表2的安排授课，若实际进度超过了规定的进度可安 排 习 题 课 或 课 堂 练习。2.（A）
18、组的习题应要求学生全做，由教师自己指定部分习题交给老22师批改。3.绪论课主要的目的是对新生进行一次大学数学的课程教育，其讲授的内容及详略可由各位教师自定。4.第一章中1.1、1.8略讲，1.3(一)1.9 不讲，可让学生自学。5.用“-N”、“-”语 言 定 义 极24限不能省略，不要求学生会做有关的习题，但要领会，以便理解有关的定理的证明。910二2.1 数列的极限2.2 函数的极限2.3 变量的极限2.4 无穷大量与无穷小量2.5 极限的运算法则2.6 两个重要的极限2.7 函数的连续性111213141516三第二章复习小结、习题课3.13.2 导数概念3.3 导数的基本公式与运算法则
19、3.4 高阶导数3.5 微分四4.1 中值定理 4.2 罗彼塔法则4.3 函数的增减性4.4 函数的极值4.5 最大值与最小值，极值的应用问题4.6 曲线的凹向与拐点4.7 函数图形的作法17181920214.8 导数在经济中的应用期末复习总结期末考试8教学进度表(下学期)课程总学时数：120下学期总学时数：68周学时数：4周次日期章教学内容5.1 不定积分的概念5.2 不定实践教学2备注1五积分的性质5.3 基本积分公式5.4 第一类换元法25.4 第二类换元法5.5 分部积分法习题课6.1 引例6.2 定积分的定义1.第一学期进度中的说明也适用于本学期。3六6.3 定积分的基本性质6.4
20、 定积分与不定积分的关系6.5 定积分的换元积分法6.62.8.8(三)最小二乘法可让学生自学。9.3 根据实际的教学情况略讲或不讲。4定积分的分部积分法6.7 定积分的应用(一)平面图形的面积6.7 定积分的应用 (二)旋转体和已知平行截面面积的立体的体积(三)经济应用问题举例6.9 广义积分与 函数526七7.1 无穷级数的概念7.2 无穷级数的基本性质7.3 正项级数7.4 任意项级数、绝对收敛7.5 幂级数7.6 泰勒公式与泰勒级数7.7某些初等函数的幂级数展开式7.8 幂级数的应用举例8.1 空间解析几何简介7829八8.2 多元函数的概念8.3 二元函数的极限与连续8.4 偏导数
21、8.5 全微分8.6 复合函数的微分法2109周次日期章教学内容实践教学备注11“五一”假期128.7 隐函数的微分法8.8 二元函数的极限8.9 二重积分 (一)二重积分的13基本概念(二)二重积分的计算(1)在直角坐标系下二重积分的计算148.9 二重积分(二)(2)在极坐标系下二重积分的计算习题课9.1 微分方程的一般概念215九9.2 一阶微分方程(一)可分离变量的一阶微分方程(二)齐次微分方程9.2 一阶微分方程(三)一阶线性16微分方程9.3 几种二阶微分方程171819总复习4期末考试10附件附件 2 2：说说明明教学大纲的制定和实施对于规范我院微积分课程的教学、不断提高教学质量
22、将会起到重要的作用这里对大纲的实施作以下几点说明1讲好绪论课，对学生进行一次大学数学课的课程教育是必要的目的是使学生全面认识数学教育在大学教育中的作用：一是学生掌握数学工具的重要课程、二是培养学生理性思维的重要载体、三是学生接受美感熏陶的一种途径从而端正学生对数学课的学习态度，激发学生学习数学的兴趣2第一章的不少知识，学生在中学已经学过，但从我院多年教学的实践来看，本章内容讲授 5-6 学时是必要的如邻域、函数的有界性、分段函数、隐函数、初等函数等概念都需详细讲述3第二章是微积分学的基础，是学生从中学数学到大学数学过渡中数学思维转变的重要阶段，是培养学生抽象思维、逻辑推理以及准确应用数学语言的
23、重要载体二 年五月在南京召开的新世纪数学学科发展与教学改革研讨会的会议纪要中指出“在数学教学中，应注意讲清数学思维、讲思想，要扭转过去重技巧轻概念的作法”无论学生基础如何，这种教学观念不能改变教材中定理凡给出证明的尽量都要讲授不要求学生会用“N”、“”语言作有关习题，但要使他们理解、接受用“N”、“”语言给出的极限的定义以及相关定理的证明4教材中未列入的间断点分类要给予介绍，极限的唯一性定理、反函数和复合函数连续性问题，可以不加证明的给予介绍另外，在求极限中运用等价无穷小代换的原理及方法、几个重要的等价无穷小公式，教师可根据教学情况酌情给予介绍5由于教学总学时的限制，实践教学几乎未安排单独的学时，作业讲评、课堂练习、习题课等只能由教师随课堂教学相机安排11