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1、动能定理的应用2学习目标L进一步理解动能定理，领会动能定理解题的优越性2会利用动能定理分析多过 程问题.探究重点提升素养一、利用动能定理分析多过程问题对于包含多个运动阶段的复杂运动过程，可以选择分段或全程应用动能定理.1 .分段应用动能定理时、将复杂的过程分割成一个个子过程，对每个子过程的做功情况和初、 末动能进行分析，然后针对每个子过程应用动能定理列式，最后联立求解.2 .全程应用动能定理时，分析整个过程中出现过的各力的做功情况，确定整个过程中合外力 做的总功，然后确定整个过程的初、末动能，针对整个过程利用动能定理列式求解.3 .当题目量和所求量不涉及中间量时，选择全程应用动能定理更简单、更
2、方便.例 如图1所示，右端连有一个固定光滑弧形槽的水平桌面A8长L= 1.5 m, 一个质量为 m=0.5kg的木块在b=L5N的水平拉力作用下，从桌面上的A端由静止开始向右运动，木 块到达8端时撤去拉力R木块与水平桌面间的动摩擦因数=02 取g=10m/s2,求：图1木块沿弧形槽上升的最大高度(木块未离开弧形槽)；木块沿弧形槽滑回3端后，在水平桌面上滑行的最大距离.答案(1)0.15 m (2)0.75 m解析(1)设木块沿弧形槽上升的最大高度为心 木块在最高点时的速度为零.从木块开始运 动到沿弧形槽上升到最大高度处，由动能定理得：FLFfLmgh=0其中 Ff=/FN=/mg=0.2X0.
3、5X10N=1.0N所以h=FL-RL (L5L0)X L5mg0.5X10m=0.15 m(2)设木块离开B点后，在水平桌面上滑行的最大距离为x,由动能定理得:解析(1)由A到D,由动能定理得_ mg(h-H) 1j,mgSBc=0 -gmo i2解得=0.5(2)物体第5次经过B点时，物体在BC上滑动了 4次，由动能定理得mgH一4mg4sBe;晒21221 ,解得 V2=4yTi m/s(3)分析整个过程，由动能定理得mgH/imgs=0 inv i2解得 5=21.6 m所以物体在轨道上来回运动了 10次后，还有1.6 m,故最后停止的位置与8点的距离为2m 1.6 m=0.4 m.m
4、ghFfX=O所以x=所以x=mghm=0.75 m.L总结提升-.此题也可采用分段分析，分段利用动能定理进行列式求解，但全程利用动能定理要更方便.1 .在分段分析时，有些过程可以用牛顿运动定律，也可利用动能定理，动能定理比牛顿运动 定律解题更简单方便，所以我们可优先采用动能定理解决问题.例(2021 .浙江绍兴市诸暨中学期中)如图2所示，质量2=0.1 kg的小球从距地面高”= 5 m处自由下落，到达地面恰能沿凹陷于地面的半圆形槽壁的右端圆弧切入，半圆槽半径R =0.4m.小球到达槽最低点时速率为10m/s,并继续沿槽壁运动直到从槽左端边缘竖直向上 飞出，如此反复，设小球在槽壁运动时受到的摩
5、擦力大小恒定不变，不计空气阻力及小 球与槽壁口接触时的能量损失，取g=10m/s2,求：小球第一次离槽上升的高度Hi;小球最多能飞出槽外的次数.答案(1)4.2 m (2)6解析(1)由于对称性，在圆槽右半局部摩擦力对小球做的功与左半局部摩擦力对小球做的 功相等.小球落至槽底部的整个过程中，由动能定理得 您(”+/?)%=少加2,解得Wf=mg(H + /?)-1/2=0.4J,由对称性知小球从槽底到槽左端口克服摩擦力做功也为W1=0.4 J,小球第一次离槽上升的高度为“1,有一根g(i+R)-Wf=0%w2,解得m =.2 m.(2)设小球飞出槽外n次，那么由动能定理得mgH-jv2WQ解得
6、(臀=6.25,即小球最多能飞出槽外6次.2 WfL归纳总结-1 .在有摩擦力做功的往复运动过程中，注意两种力做功的区另h (1)重力做功只与初、末位置有关，而与路径无关；(2)滑动摩擦力做功与路径有关，克服摩擦力做的功印克f=Ks(s为路程).2 .由于动能定理解题的优越性，求多过程往复运动问题中的路程时，一般应用动能定理.针对训练1如图3所示，光滑固定斜面A3的倾角。=53。，3。为水平面，3C长度版；=1.1 m, 8为光滑的(圆弧，半径R=0.6m,一个质量根=2 kg的物体，从斜面上A点由静 止开始下滑，物体与水平面5c间的动摩擦因数=0.2,轨道在8、。两点平滑连接.当物 体到达。
7、点时，继续竖直向上运动，最高点距离。点的高度=0.2 m.不计空气阻力，sin 53 =0.8, cos 53 = 0.6, g 取 lOm*,求：物体运动到C点时的速度大小(2)4点距离水平面的高度H；(3)物体最终停止的位置到C点的距离5.答案(1 )4 m/s (2)1.02 m (3)0.4 m解析(1)物体由。点运动到最高点，根据动能定理得：mg(h+R) = 0gnvc2代入数据解得：vc=4 m/s(2)物体由A点运动到C点、,根据动能定理得：mgH/timglBC=tnvc1-0代入数据解得：H= 1.02 m从物体开始下滑到最终停止，根据动能定理得：mgHumgs =0代入数
8、据，解得si=5.lm由于 =4/bc+0.7 m所以物体最终停止的位置到。点的距离为：s=0.4 m.二、动能定理在平抛、圆周运动中的应用动能定理常与平抛运动、圆周运动相结合，解决这类问题要特别注意：与平抛运动相结合时，要注意应用运动的合成与分解的方法，如分解位移或分解速度求平 抛运动的有关物理量.与竖直平面内的圆周运动相结合时，应特别注意隐藏的临界条件：可提供支撑效果的竖直平面内的圆周运动，物体能通过最高点的临界条件为。min = 0.不可提供支撑效果的竖直平面内的圆周运动，物体能通过最高点的临界条件为只有重力提 供向心力，mg = mVn , Vmin=gR.oA例 如图4所示，一长L=
9、0.45m、不可伸长的轻绳上端悬挂于M点，下端系一质量 1.0kg的小球，C0E是一竖直固定的圆弧形轨道，半径R=0.50m, OC与竖直方向的夹角。 =60,现将小球拉到A点(保持绳绷直且水平)由静止释放，当它经过5点时绳恰好被拉断， 小球平抛后，从圆弧形轨道的。点沿切线方向进入轨道，刚好能到达圆弧形轨道的最高点E, 重力加速度g取10m/s2,不计空气阻力，求：(1)小球到3点时的速度大小；轻绳所受的最大拉力大小；(3)小球在圆弧形轨道上运动时克服阻力做的功.答案(1)3 m/s (2)30 N (3)8 J解析(1)小球从A到B的过程，由动能定理得(2)小球在3点时，由牛顿第二定律得 臼
10、一吆=,町解得Ft=30N,由牛顿第三定律可知,轻绳所受最大拉力大小为30 N小球从3到C做平抛运动，从。点沿切线进入圆弧形轨道，由平抛运动规律可得小球在C点的速度大小V2= V n,解得02 = 6 m/sCOS Cz2小球刚好能到达E点，那么根会，解得。3=小 m/s2 一呼2022,解得W克f = 8 J.2 一呼2022,解得W克f = 8 J.小球从。点到E点，由动能定理得一2g(R + Rcos。)一 W克f=5203针对训练2如图5所示，质量为0.2kg的小球用长为0.8 m的轻质细线悬于。点，与。点 处于同一水平线上的P点处有一个光滑的细钉，OP=0.4m,在A点给小球一个水平
11、向 左的初速度内，发现小球恰好能沿圆弧到达跟P点在同一竖直线上的最高点b g取10 m/s2, 那么：4OP7A图5(1)小球到达B点时的速度是多大？假设不计空气阻力，那么初速度如为多大？假设初速度。o =6m/s,那么在小球从A到8的过程中克服空气阻力做的功为多大? 答案(1)2 m/s (2)2由 m/s (3)0.8 Ju，I解析(1)由题意可知，小球恰好能沿圆弧到达B点，由得UB=7g,B=2 m/s.(2)小球从A运动到B,根据动能定理得-mghAB=次品一3nvW, 解得 00=、。/+2g自3=26 m/s.(3)小球从A到丛根据动能定理有W(=mv3一夕舞伙)?， 解得空气阻力
12、做功为W = -0.8 J,所以小球克服空气阻力做功为0.8 J.专题强化练i基础强化练.如图1所示，用平行于斜面的推力凡使质量为加的物体(可视为质点)从倾角为。的光滑固定斜面的底端,刚好能到达顶端,重力加速度为g,那么推力方为()图1由静止向顶端做匀加速运动.当物体运动到斜面中点时，撤去推力，物体A. 2mgsin 6B. mg( 1 sin 3)C. 2mgeos D. 2mg(1 + sin ff)答案A解析 设斜面的长度为2L,对全过程，由动能定理可得电一根gsin02L=0,解得产=2mgsin 仇应选A.2.如图2所示，一薄木板斜放在高度一定的平台和水平地板上，其顶端与平台相平，末
13、端置 于地板的P处，并与地板平滑连接.将一可看成质点的滑块自木板顶端无初速度释放，滑块沿木板下滑，接着在地板上滑动，最终停在。处.滑块与木板及地板之间的动摩擦因数相同,现 将木板截短一半，仍按上述方式放在该平台和水平地板上，再次将滑块自木板顶端无初速度释放，那么滑块最终将停在（图2A.尸处B. P、。之间C.Q处D.。的右侧答案C解析 设木板长为，在水平地板上滑行位移为x,木板倾角为仇 全过程由动能定理得吆/z h,4zgcos OL imgx=Qy那么滑块总的水平位移s=Lcos与木板长度及倾角无关，改 变L与。，水平位移s不变，滑块最终仍停在。处，故C选项正确.3.如图3所示，质量为0.1
14、kg的小物块在粗糙水平桌面上以初速度伙）滑行4 m后以3.0 m/s的速度飞离桌面，最终落在水平地面上，小物块与桌面间的动摩擦因数为05桌面高0.45 m,假设不计空气阻力，取g=10m/s2,那么（ ）A.A.小物块的初速度是5 m/sB.小物块的水平射程为L2 mC.D.图3小物块在桌面上克服摩擦力做8 J的功小物块落地时的动能为0.9 J答案D 解析 小物块在粗糙水平桌面上滑行时，由动能定理得:=mv2,解得：。（）=7 m/s, W 克f=2gs=2 J, A、C 错误；小物块飞离桌面后做平抛运动，由力=*户，x=得x=0.9m, B错误；由/摩力=4一得，小物块落地时Ek=0.9 J
15、, D 正确.4.如图4所示，ABC。是一条长轨道，其中A3段是倾角为。的固定斜面，CO段是水平的, 8C段是与A3段和8段都相切的一小段圆弧，其长度可以忽略不计.一质量为根的小滑块 在A点从静止释放，沿轨道滑下，最后停在。点，A点和。点的位置如图4所示，现用一沿 轨道方向的力推滑块，使它缓慢地由。点回到A点，设滑块与轨道间的动摩擦因数为，重 力加速度为g,那么推力对滑块做的功等于（）B. 2mghD. 加g（s+hcos。）答案B 解析 滑块由A点运动至。点，设克服摩擦力做功为Wad,由动能定理得mg/iWu）=0,即 叫。=机，滑块从。点回到A点，由于是缓慢推，说明动能变化量为零，设克服摩
16、擦 力做功为Woa,由动能定理得Wf一2g一Woa=0，滑块由A点运动至。点，克服摩擦 力做的功为皿40=加geos。亩,滑块从D点运动至A点的过程克服摩擦力做的 h功为WDA=ftmgcos夕一+卬72gs，联立解得，联立解得WF sin iz= 2mgh,故A、C、D错误，B正确.L能力综合练5.如图5所示，质量2= 1kg的木块静止在高6= 1.2 m的平台上，木块与平台间的动摩擦 因数=0.2,用水平推力/=20 N推木块，使木块产生位移乙=3 m时撤去，木块又滑行L =lm后飞出平台，求木块落地时速度的大小.（结果可用根式表示，g取10 m/s2,不计空气 阻力）答案 8/2 m/s
17、解析 木块运动分为三个阶段，先在/|段做匀加速直线运动，然后在/2段做匀减速直线运动, 最后做平抛运动.整个过程中各力做功情况分别为：推力做功Wf=F-1摩擦力做功 Wf=2g（/l+/2）,重力做功W（3=mgh.设木块落地时速度大小为v 全过程应用动能定理得 %+皿+%=；相，解得。=8镜m/s.6.如图6所示，质量为根的小球由静止自由下落d后，沿竖直面内的固定轨道A3C运动， A3是半径为d的光滑圆弧轨道，8C是直径为d的粗糙半圆弧轨道（5是轨道的最低点）.小 球恰能通过圆弧轨道的最高点C重力加速度为g,不计空气阻力，求：rrclB图6小球运动到B处时对轨道的压力大小（可认为此时小球处在
18、轨道AB上）;（2）小球在8C轨道运动过程中，摩擦力对小球做的功.答案 52g （2）一番ngd解析（1）小球由静止运动到B点的过程，由动能定理得2mgd=mv29在B点、,由牛顿第二定律得Fmg=/rrj,得：F = 5mg根据牛顿第三定律：小球在8处对轨道的压力大小Fn F=5mg;Vr2（2）小球恰能通过C点，那么mg=m-,2小球从3运动到C的过程：113mgd+ Wf=vc2 mv1, 得 Wf= ingd.7.（2021浙江湖州市期末调研）如图7所示，45是半径R=1 m的四分之一竖直圆弧轨道，BC 是长度/可以调节的水平直轨道，两轨道在8点处相切且平滑连接.现有一质量机=0.2
19、kg 的滑块（可看作质点）从A点正上方P点处无初速度释放，出的竖直高度/z=0.8m,滑块恰好 从A点进入圆弧轨道，到达轨道8点时的速度诙=3 m/s,滑块从。点水平飞离轨道，落到 水平地面上的。点，C、。两点间的高度H=0.8 m,滑块与水平轨道8C间的动摩擦因数=0.25,取g=10m/s2,空气阻力不计.求滑块在圆弧轨道上克服摩擦力所做的功；当水平轨道3C的长度/为多大时，滑块落点。与3点的水平距离x到达最大值，最大值Xmax为多少？答案(1)2.7J (2)1.6 m 2m解析 滑块从P点运动至B点的过程，有mg(/t+R) Wf=gmoB?-0解得 Wf=mg(/i+)mVB2=2.
20、7 J(2)从B至C的过程有一Zg/n,mOc252即2滑块从C点水平飞出做平抛运动，有”=%匕 解得才= 滑块落点Q与B点的水平距离2 /X=l-Vct=VB1 2阐=I+不/ 9 5/整理得 ZSC+QOSOxV+QS/-36)=0A = (20-50x)2-4 X25X (25x2-36)0即 xW2 m,即 /= 1.6 m 时 xmax=2 m.8.如图8所示，ABC。为一竖直平面内的轨道，其中8C水平，A点比3C高出10m, 5。长 Im, A3和CO轨道光滑，曲、直轨道平滑连接.一质量为1kg的物体，从A点以4m/s的 速度沿轨道开始运动，经过5C后滑到高出。点10.3 m的。点时速度为O.g取10m/s2,求:物体与轨道间的动摩擦因数；物体第5次经过B点时的速度大小(结果可用根式表示);物体最后停止的位置(距B点多少米).答案(1)0.5 (2)4711 m/s (3)距 B 点 0.4 m