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1、5.1在一般的直和空间R = RR2中，试论证R1和R2并非R的子空间。(做题人：仪双喜校对人：董廷旭)证明：如果R1和R?是R的子空间，那么大空间中的内积适用于所有的矢量，因此从Ri中选出四个矢量先做直和再做内积，所得结果与在直和空间中的内积定义有明显矛盾。因此，R和R2并非R的子空间。#5.2为什么当两个子空间含有共同的非零矢量时，不能讨论这两个子空间的直和？(刘强校正员：董廷旭)解：这是因为大空间中的加法适用于所有矢量，从尺1和R2中各取一个矢量构成的双矢量与二者之和是等价的，前面公式中矢量的直和号可以直接改写成加号。直和空间中不只包含R1和E中的所有矢量，还包含更多的矢量。例如在三维物
2、理空间中，若凡是冲平面上的所有矢量，此是沿Z轴的所有矢量，则与氏2包括这个三维空间中的全部矢量。由于算符在整个大空间中都有定义，所以一切算符在4和此中是通用的，这 时没有算符的直和这一概念。如果有相同的非零矢量时，那么直和空间的维数不是两个子空 间的维数之和。#练习5.3证明：tr(A L) = trA + trL( 5.15 )det(A L) = det A det 乙(5.16)证明：tr(A = trA + trLdet(A L)= det A det L证明：在直和空间中，算符4L的矩阵形式为：AL =I。L)次(A)=次r+ Z，力 =trA + trLL) i j二tr(A L)
3、= trA + trLdet (A L) = detdet A det L-0 = det A det Ldet(A L)- det A det L此题得证#练习5.4 证明：tr（A0L） = trAtrL （输入：王俊美 核对：杜花伟）证明:tr(A L) = trA trL证明：(AEL)” =(匕心区小必)=&/Ma区L)= ZAjL,/jb”n = 入d2工消由= AgLjj nrA,trLtrA L) trA trL此题得证。练习5.5有一本书给出直积空间中的矢量加法定义，用我们的记号表示为司S+I0区|同=M）+）（M+lM而其内积定义同我们的（5.20）式相同。试论证这一定义是
4、否可行。（做题人：董廷旭校正人：李泽超）证：在直积空间中定义加法是为了表示新的矢量而如果我们可以定义为上式则会导致加法不会出现新的矢量。因为蚓+。）和（jS + ）还分别是N和兄空间的矢量。也就是说，直积空间经过加法运算后得到的矢量还是两个空间中 各取一个矢量的直积，因此经过加法运算并没有产生出新的矢量。所以这种定义 加法的方式不可行。5.6 有3个2维空间R, R）和R?将错误！未找到引用源。现在，在此三空间的直积空间R1 R9 0R3中有一个算符H,y y 1 一 2* 9 一 3* 3 - 1H = a cr + cr b式中AE的定义为A B = Ax 0 Bx + Av(8)Bv +
5、 Az(8)BZ 入/vy(1)求H的矩阵形式。(2)求H的本征值。(做题人：董廷旭 校稿人：李泽超 陈捷狮) 解：万1 .万2 =0) 0；2) + (1) 0 b：2) + 0xxyylz-1-1-100-10-11 00 -1=020 01 00 -1=020 00 02 0-1 00 13 0T T* 1 2 O -3H = 3b,cr =八 /0 o0 00 06 0-3 00 3ci(2)设H的本征矢量是“=(2)设H的本征矢量是“=C2C3C4HHy/ = W=3000移顶得3-A0000-3-22000-3 66 -30006-3-20o cj0 G-t2=0此式有非零解的条件
6、是行列式3-4 c.3-A0000-3-22006-3-200003-2=04=一9,则H的本征值为3和-9练习5.7有一个二维空间飞，其中有三个算符,其矩阵形式如下;lx1 0 Po,z210 -1J又有一个三维空间宠2,其中也有三个算符:r p =叵2x 21 0、0 10 1 0J2)，2定义，2=彳+尺+/孤=1,2)。(1)分别写出在这两个空间中J与Jiz的共同本征矢量的一列矩阵形式及相 应的本征值。(2)构造六维直积空间在此空间中定义下列算符：求厂与人二算符的矩阵形式。在直积空间中求J2与Jz的本征值及它们的全部共同本征矢量的一列矩阵形式。(做题人：刘超审题者：何建贤)解：(1)因
7、为，2+4：,所以有1 1 ifi 0、H4(0 1J1 1H4(00、_3410 1J设它们的共同本征矢量为“，本征值为，则有=2（4（0 b）解它们的久期方程得： 334 =4=：，把4 =%=:代入（*）式得M=和|)= ku7 VJ对于，zo)V，同样可求出本征值为和-工，本征函数为22同理可求得J和J2z的本征函数和本征值93Jl的本征值为4 = 2和4 =%=-2r,1、(p)= 0lojO(p)= 19、9)=。八二的本征函数和本征值为4=暂时，|9）= o , %= 一号,9)=。UJ（2）根据已知条件，在六维直积空间N（8）宠2中有人=人口，八=八，区4, Jz=J,zJ?z，J2=J+J；+JIiforo2100 110J(0)8同理可以求出其项-1( 0 _ 1 0 08 0 0 (0 00 0 0 0、0 0 0 010 0 00 10 00 0 0 00 0 0 工0020002有下列方程0055同理可求得人的本征值为-J, J, oz44q09 1 0可求得=8 0000000200000 10 0 0003000004000001,#本征矢0100o)凹0010o0000J