《简明第8章C优秀PPT.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《简明第8章C优秀PPT.ppt（44页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、简明通信原理简明通信原理简明通信原理曹丽娜曹丽娜 编著编著简明通信原理简明通信原理第第8 8章章 差错限制编码差错限制编码学习目标学习目标 差错限制的基本原理码重、码距、码率的概念最小码距与纠检错实力的关系线性分组码的监督矩阵H、生成矩阵G、编/解码方法循环码的特点及编、解码方法。学习目标引言引言 差错限制编码，也称纠错编码，属于信道编码范畴。目的：订正或检测传输差错，降低系统的误码率，提高通信质量。基本思想：在发送的信码中增加一些多余码元（监督码元），这些监督码元与信息码元之间存在某种数学约束关系，接收时利用这种关系来发觉或订正传输过程中产生的错码。8.1纠错编码的基本原理纠错编码的基本原理
2、 u情形情形1：没有冗余：没有冗余不能发觉错误。例如：不能发觉错误。例如：u情形情形2：有冗余：有冗余可以发觉错误。例如：可以发觉错误。例如：u将上述将上述4个码组后面都附加个码组后面都附加1个监督元（冗余），使监督元与个监督元（冗余），使监督元与前两位信息元一起保证码组中前两位信息元一起保证码组中“1”的个数为偶数，即有：的个数为偶数，即有：u接收端一旦收到禁用码组时，就认为发觉了错码。接收端一旦收到禁用码组时，就认为发觉了错码。u例例如：如：000中错中错1位位100或或010或或001；000中错中错3位位111。这种。这种编码能检测出编码能检测出1个和个和3个错码的状况。但是，不能发觉
3、一个码组中两个个错码的状况。但是，不能发觉一个码组中两个错码的状况（因为发生两个错码后产生的是许用码组），也不能订正错码的状况（因为发生两个错码后产生的是许用码组），也不能订正错误（比如，当接收码组为禁用码组错误（比如，当接收码组为禁用码组100时，接收端无法推断原委是时，接收端无法推断原委是哪一位码出现了错误，因为哪一位码出现了错误，因为000、101、110这这3个许用码组错一位都个许用码组错一位都可以变成可以变成100。许用码组另外4个码组：001、010、100、111称为禁用码组禁用码组00011011晴晴云云阴阴雨雨任一码组在传输中发生错码时，将变成另一个信息码组。因此，接收端无法
4、发觉错误。000011101110晴晴云云阴阴雨雨000011101110晴晴云云阴阴雨雨u情形情形3：增加冗余度（：增加冗余度（2个监督元）个监督元）增加纠检错实力增加纠检错实力u000111u晴晴雨雨u这时，能够发觉两个以下错码，或者订正一位错码。这时，能够发觉两个以下错码，或者订正一位错码。u例如，当收到例如，当收到100时，若认为该码组仅有一个错码，则可推断该错时，若认为该码组仅有一个错码，则可推断该错码发生在码发生在“1”位上，从而订正为位上，从而订正为000。因为。因为111发生任何一位错码都发生任何一位错码都不会变成这种形式。不会变成这种形式。u综上所述：综上所述：u引入冗余（监
5、督码元），可使编码具有检错和纠错实力；引入冗余（监督码元），可使编码具有检错和纠错实力；u冗余越多，纠检错实力越强；冗余越多，纠检错实力越强；u差错限制编码是以牺牲有效性为代价来换取系统牢靠性的。差错限制编码是以牺牲有效性为代价来换取系统牢靠性的。2个许用码组其他6组（011、101、110、001、010、100）都是禁用码组8.2纠错编码的基本概念纠错编码的基本概念 u差错类型及信道分类差错类型及信道分类u随机差错：错码的出现是随机独立的，例如：随机差错：错码的出现是随机独立的，例如：u发送码字发送码字00100010，收到码字为收到码字为00101010u这是无记忆信道的特征，如卫星信道
6、、同轴电缆等。这是无记忆信道的特征，如卫星信道、同轴电缆等。u突发差错：错码成串出现（两个或两个以上）。例如：突发差错：错码成串出现（两个或两个以上）。例如：u这是有记忆信道的特征，如短波通信信道、移动通信信道等。这是有记忆信道的特征，如短波通信信道、移动通信信道等。u既有随机差错也有突发性成串差错既有随机差错也有突发性成串差错混合信道混合信道.u差错限制方式差错限制方式u检错重发（检错重发（ARQ）u前向纠错（前向纠错（FEC）u混合纠错（混合纠错（HEC）突发差错的长度是5比特一般要依据信源性质、信道干扰种类，以及对实时性和误码率的要求等因素来选择差错限制方式。一般要依据信源性质、信道干扰
7、种类，以及对实时性和误码率的要求等因素来选择差错限制方式。u分组码和系统码分组码和系统码u分组码：把信息序列每分组码：把信息序列每k个码元分为一组，然后按确定个码元分为一组，然后按确定规则通过编码器给每个信息组附加规则通过编码器给每个信息组附加r个监督元，从而构个监督元，从而构成每组长度为成每组长度为n=k+r的具有纠检功能的编码集合。的具有纠检功能的编码集合。u每一码组的监督元仅与本组中的信息元有关。每一码组的监督元仅与本组中的信息元有关。u符号符号:（n，k），结构如下图所示：），结构如下图所示：uuu图图8-1分组码的结构分组码的结构u系统码：指具有图系统码：指具有图8-1结构的编码形式
8、。其特点是编码后结构的编码形式。其特点是编码后的信息元保持原样不变，监督元附在信息元的后面。的信息元保持原样不变，监督元附在信息元的后面。u码重和码距码重和码距u码长：指码组（或称码字）中码元的个数。码长：指码组（或称码字）中码元的个数。u例如，例如，010101码字的长度为码字的长度为6。u码重：指码组中非码重：指码组中非“0”码元的个数。对于二进制编码，码重是码码元的个数。对于二进制编码，码重是码组中组中1的个数。的个数。u例如，例如，010101码组的重量为码组的重量为3。u码距（汉明距离）：指两个等长码组之间对应位置上数字不同的位码距（汉明距离）：指两个等长码组之间对应位置上数字不同的
9、位数，即两个码组对应位模数，即两个码组对应位模2加的重量。加的重量。u例如，例如，010101与与011011之间的距离为之间的距离为3。u最小码距：指在某种编码集合中，随意两个码组之间距离的最小值，最小码距：指在某种编码集合中，随意两个码组之间距离的最小值，记为记为d0。u例如：有例如：有3个码字个码字C1=0000、C2=1111、C3=0010，它们的，它们的码距分别为码距分别为ud12=4、d23=3、d13=1，则最小码距，则最小码距u一种编码的检错和纠错实力将取决于一种编码的检错和纠错实力将取决于d0。u最小码距最小码距d0与纠检错实力与纠检错实力u对于（对于（n，k）分组码，若要
10、在码字内：）分组码，若要在码字内：u能检测能检测e个错码，则要求最小码距个错码，则要求最小码距uu订正订正t个错码，则要求最小码距个错码，则要求最小码距uu订正订正t个错码，同时检测个错码，同时检测e个错码，则要求最小码距个错码，则要求最小码距uuu图图8-2最小码距与纠检错实力的关系最小码距与纠检错实力的关系【例8-1】已知3个编码组为（001010）、（101101）、（010001）。试问其检错和纠错实力？解：该码的两两码组之间的最小码距为，因此：若用于检出错码，则由可得（能检出3位错码）若用于订正错码，则由可得（能订正1位错码）若用于纠、检错结合，则由可得、能订正1位错码，同时检出2位
11、错码。编码效率和编码增益编码效率：指一个码组中信息位所占的比例，表示为也称编码速率（简称码率）。编码增益：指在保持误码率不变的状况下，接受纠错编码所节约的信噪比。例如，若要求某系统的误码率为105，未接受编码时，约须要信噪比9dB。接受某种编码时，只须要信噪比6dB，比未编码的大约节约3dB的功率（即编码增益）。付出的代价是带宽增大。因此，纠错码主要应用于功率受限而带宽不太受限的信道中。8.3奇偶监督码奇偶监督码 奇偶监督码（也称奇偶校验码）分为：偶数监督码（8-3-1）奇数监督码两者的原理相同。译码方法：对于偶数监督码，接收端对接收到的码组按式（8-3-1）进行“模2加”计算，若计算结果为“
12、1”就说明存在错码，结果为“0”就认为无错。检错实力：可检出单个或奇数个错码。编码效率：很高（因为只有一位监督位）。应用：很多计算机数据传输系统都用其来检测随机出现的零星差错。前n1位为信息元第n位（）为监督元【例8-2】设信息码元为1101，试依据偶数监督规则构造相应的码字。若接收到的码字分别为10011、00011（有下划线的码为错码），试问检测结果如何？解：编出的码字为11011对10011按式（8-3-1）进行如下运算：由于结果为“1”，故知存在错码。若收到00011，检测结果为认为无错。可见，奇偶监督码不能检出偶数个错码。8.4（n,k）线性分组码）线性分组码 线性：指每个码字的监督
13、元是信息码元的线性组合。分组：每一码组的监督元仅与本组中的信息元有关。例子：奇偶监督码就是一种最简洁的（n，n1）线性分组码。8.4.1构造思路对于依据式构成的偶数监督码，接收端的译码就是在计算欲使构造的（n，k）码具有纠错实力则要指出错码位置须要增加监督元的数目增加监督关系式因此，一个线性分组码，若希望用r=nk个监督元构造出r个监督关系式来指出一位错码的n种可能位置，则r必需满足：或（8-4-2）该式称为监督关系式S称为校正子若S=0，就认为无错若S=1，就认为有错举例：以（举例：以（7，4）码来说明如何构造监督元与信息元之间的关系式。由式）码来说明如何构造监督元与信息元之间的关系式。由式
14、（8-4-2）可知，为了能订正一位错码，要求）可知，为了能订正一位错码，要求。取。取，则，则设设7位长的码组位长的码组规定校正子与错码位置的对应关系如下表规定校正子与错码位置的对应关系如下表8-1所示所示由表由表8-1可知，仅当有一位错码且位置在可知，仅当有一位错码且位置在、或或时，校正子时，校正子=1，否则，否则=0。这意味着这意味着、和和构成偶数监督关系：构成偶数监督关系：S1S2S3错码位置S1S2S3错码位置111a6100a2110a5010a1101a4001a0011a3000无错码其中信息元为，监督元为。同理 发端编码发端编码：给定信息元的取值，按以上监督关系确定监督元，即监督
15、元应使校正子、为零：（8-4-6）解出监督元（8-4-7）给定信息元，则可按上式求得监督元。编出的（7，4）码的2k=16个许用码组如表8-2所列。（7，4）码的监监督关系式督关系式监督元的生成方程式8-2（7，4）线性分组码的许用码组）线性分组码的许用码组收端译码：首先对接收到每个码组计算校正子收端译码：首先对接收到每个码组计算校正子、，然后按表，然后按表8-1推断错码状况。推断错码状况。例如，若接收码组为例如，若接收码组为0000011，则计算得出，则计算得出、，查表，查表8-1可知在可知在位有位有一错码。一错码。信息位监督位信息位监督位00000001001000110100010101
16、10011100001110111011010101100010001001101010111100110111101111111100010001001010100111问：（问：（7，4）码的纠检错实力？）码的纠检错实力？答：由表答：由表8-2可知（可知（7，4）码的最小码距）码的最小码距，则由，则由或或可可知，这种码具有纠知，这种码具有纠1位错码或检测位错码或检测2位错码的实力。位错码的实力。从（从（7，4）码的例子可知，线性分组码）码的例子可知，线性分组码的编码问题就是如何从给定的的编码问题就是如何从给定的k个信息元，建立一组求个信息元，建立一组求个监督元的线性方程组，并使得到的码恰个
17、监督元的线性方程组，并使得到的码恰好满足所要求的最小距离（纠错实力）和编码效率。好满足所要求的最小距离（纠错实力）和编码效率。下面，借用（下面，借用（7，4）码的例子来引申出（）码的例子来引申出（n，k）线性分组码的一般原理。）线性分组码的一般原理。8.4.2监督矩阵与生成矩阵监督矩阵与生成矩阵1.监督矩阵监督矩阵将式（将式（8-4-6）改写成：）改写成：（8-4-8）注：注：“+”代表代表“”，表示，表示“模模2加。加。矩阵形式：（模2）（8-4-9）并简记为HAT=0T或AHT=0（8-4-10）其中H称为（n，k）码的监督矩阵。r行n列vH的作用：的作用：v确定了信息码元与监督码元之间的
18、校验关系。确定了信息码元与监督码元之间的校验关系。vH矩阵每一行中矩阵每一行中“1”的位置表示相应码元之间存在着偶数监督（校验）关系。的位置表示相应码元之间存在着偶数监督（校验）关系。v例如，例如，H的第一行为的第一行为1110100，表示监督元，表示监督元是由信息元是由信息元、之和确之和确定定v任一发送码组任一发送码组A必需满足式：必需满足式：AHT=0，因此，对于接收码组，因此，对于接收码组B，可通过计，可通过计算算v来进行检测。这意味着来进行检测。这意味着H在译码时将起到检测及纠错的作用。在译码时将起到检测及纠错的作用。vH的特点：的特点：v它是一个它是一个r n阶（阶（r行、行、n列）
19、矩阵；列）矩阵；vH矩阵的每一行表示求一个监督元的线性方程，因此，矩阵的每一行表示求一个监督元的线性方程，因此，H矩阵必需有矩阵必需有r=nk行，行，且各行必需是线性无关的，否则将因得不到且各行必需是线性无关的，否则将因得不到r个线性无关的监督关系式而使差错个线性无关的监督关系式而使差错限制实力下降（即限制实力下降（即减小）。减小）。v典型监督矩阵形式为：典型监督矩阵形式为：v（8-4-11）P是一个rk阶矩阵（本例为34阶），是一个rr阶单位方阵。m典型H矩阵的各行确定是线性无关的；m非典型形式的监督矩阵可以通过行运算化为典型形式；m由典型H矩阵构成的码组属于系统码。m系统码的特点是信息位保
20、持不变，监督位附在其后。m2.生成矩阵m若将（8-4-7）改写为：mmm矩阵形式或写成Q与P的关系：Q=PT若在Q的左边添一个kk阶的单位方阵（本例为44阶），则构成码的生成矩阵：（8-4-16）Q为kr阶矩阵kn阶矩阵vG的作用的作用：当给定k个信息码，由G可以产生（n，k）码的任何码字，即例如，给定信息码组时，编出的码字为（8-4-18）运算过程：信息元1101与生成矩阵G逐列进行模2乘和模2加。vG的特点：的特点：mG是一个kn阶矩阵，其典型形式为G=IkQ。mG的各行也是线性无关的，且G的每行都是一个许用码组。m由典型的H和G产生的分组码称为系统码。换言之，系统码的H和G都是典型形式。
21、vG和和H的关系的关系v两者由两者由Q=PT或或P=QT相联系。即相联系。即v若知若知H=PIr，则由，则由，可得，可得；v若知若知，则由，则由，可得，可得H=PIr。v8.4.3线性分组码的性质线性分组码的性质v（1）封闭性：随意两个许用码组之和（逐位模）封闭性：随意两个许用码组之和（逐位模2加）仍为一许用码组，加）仍为一许用码组，即即v若若，则，则v该性质隐含着线性码必定包含全零码字这一结论。该性质隐含着线性码必定包含全零码字这一结论。v（2）码的最小距离）码的最小距离d0等于非全零码组的最小重量，即等于非全零码组的最小重量，即v为非全零码组为非全零码组（8-4-19）v据此，可以快速便利
22、地找出（据此，可以快速便利地找出（n，k）线性分组码的最小距离。）线性分组码的最小距离。v例如，对于表例如，对于表8-2中给出的（中给出的（7，4）码，只需检查）码，只需检查15个非零码字的个非零码字的重量，重量，v即可知该码的最小距离为即可知该码的最小距离为，具有纠，具有纠1或检或检2的实力。的实力。u8.4.4伴随式与译码伴随式与译码u引思：译码引思：译码就是纠错（或检错）就是纠错（或检错）需知错码状需知错码状况。况。u设发送码组为设发送码组为，接收码组为，接收码组为u则收发码组之差为：则收发码组之差为：u(模模2)或或(模模2)（8-4-21）u式中，式中，E称为错误（行）矩阵或错误图样
23、，表示为称为错误（行）矩阵或错误图样，表示为u（8-4-22）u=0，表示该位无错；，表示该位无错；=1，表示该位有错。，表示该位有错。u因此，因此，E反映了接收码组出错的状况反映了接收码组出错的状况。u例如，例如，则译码后复原出的码，则译码后复原出的码组为组为由由E可对可对B进行纠错，从进行纠错，从而复原发送码组：而复原发送码组：模二加=模二减问：如何获得错误图样问：如何获得错误图样E呢？呢？依据编码原理，任一发送码组依据编码原理，任一发送码组A必需满足式：必需满足式：因此，对于接收码组因此，对于接收码组B，可通过计算，可通过计算来进行检测。来进行检测。因为因为，所以，所以接收端译码时，对接
24、收码组接收端译码时，对接收码组B进行如下运算：进行如下运算：若伴随式若伴随式S0，则依据式，则依据式可获得错误图样可获得错误图样E，从而译出码，从而译出码组（即纠错后的码组）组（即纠错后的码组）A=B+E。S称为接收码组B的校正子（伴随式）,它是由r个元素组成的行矩阵。将代入可见，伴随式S仅与E和H有关，而与发送码组无关。这意味着当H给定时，S与E一一对应。u8.4.5汉明码汉明码u汉明码是美国贝尔试验室的汉明于汉明码是美国贝尔试验室的汉明于1950年提出的第一个年提出的第一个用来订正单个随机错误的线性分组码。用来订正单个随机错误的线性分组码。u我们已知，对于（我们已知，对于（n，k）线性分组
25、码，假如希望用）线性分组码，假如希望用r个监个监督关系式来指示一位错码的督关系式来指示一位错码的n种可能位置，则应满足式：种可能位置，则应满足式：u当上式取等号时：当上式取等号时：，构成的线性分组码就是汉明，构成的线性分组码就是汉明码，其主要参数如下：码，其主要参数如下：u（1）码字长度）码字长度；u（2）信息位）信息位；u（3）监督位）监督位r=nk为不小于为不小于3的正整数；的正整数；u汉明码是能纠汉明码是能纠1位错码（位错码（d0=3）的高效线性分组码。其编）的高效线性分组码。其编码效率为码效率为uu若若很长时，则编码效率接近于很长时，则编码效率接近于1。u汉明码有（汉明码有（7，4）、
26、（）、（15，11）、（）、（31，26）、（）、（63，57）u及（及（127，120）等码型。）等码型。【例8-5】设(n,k)=(6,3)码的监督方程为试求：（1）典型的监督矩阵H和生成矩阵G；（2）编出该（6，3）码的全部码字；（3）分析码的差错限制实力；（4）若接收码组为B=101010，验证是否出错？解（1）从给出的3个监督方程依次提取各项系数即可构成监督矩阵：H=PIr于是，可得典型生成矩阵：（2）由 A=G=可编出全部码字，如表8-4所示。表8-4（6.3）码全部码字信息位监督位a5a4a3000001010011100101110111a2a1a000001111010110
27、1110011000（3）由表8-4可知，该码的最小重量为3（全“0”码除外），所以码的最小距离为(可纠1位错码)（4）对接收码组B=101010计算伴随式：S=BHT=100可见，S0（全0阵），表示有错。8.5循环码循环码 u8.5.1循环码的基本概念循环码的基本概念u循环码是线性分组码的一个重要子类，其编译码设备循环码是线性分组码的一个重要子类，其编译码设备简洁，纠检错实力强，是目前探讨最成熟的一类码。它除简洁，纠检错实力强，是目前探讨最成熟的一类码。它除了具有线性分组码的一般性质之外，还具有循环性。了具有线性分组码的一般性质之外，还具有循环性。u1、循环性：、循环性：以一种（以一种（7
28、，3）循环码为例（见表）循环码为例（见表8-5）：）：u表表8-5（7，3）循环码码组）循环码码组u留意：循环码的循环圈数目留意：循环码的循环圈数目；u同一循环圈上的码字的重量相等；同一循环圈上的码字的重量相等；u全全0、全、全1码组分别自成循环圈。码组分别自成循环圈。码组编号信息位监督位码组编号信息位监督位1234000001010011000001111110100156781001011101111011110001010010111上述（7，3）循环码有两个循环圈：全0码字，码重W=0；剩余7个码字组成的循环圈，码重W=4。2码字的多项式表示码字多项式例，码字A=1100101的多项式
29、为3码多项式的运算运算规则：码多项式系数之间的加法和乘法运算听从模2运算。（1）加法：同幂次的系数模2加，且模2加=模2减。例如：多项式的系数就是码字中的各码元。v（2）乘法：v（3）除法：例如：演算过程：x2+x+1x4+x2+x+1x6+x5x6+x4+x3+x2x5+x4+x3+x2x5+x3+x2+xx4+xx4+x2+x+1x2+1(余式)u8.5.2循环码的生成多项式循环码的生成多项式u引思：生成矩阵引思：生成矩阵G可由可由k个线性无关的码组构成。个线性无关的码组构成。u如何找寻这如何找寻这k个线性无关的码组呢？个线性无关的码组呢？u在在循环码的循环码的个码组中挑出一个前面个码组中
30、挑出一个前面(k1)位都位都是是“0”的码组（用的码组（用表示），则依据循环性，表示），则依据循环性，、都是该循环码的码组，且线性无关。都是该循环码的码组，且线性无关。u因此，用这个线性无关的码组可构成该循环码的生成因此，用这个线性无关的码组可构成该循环码的生成矩阵矩阵G，即，即u（8-5-5）u式中，式中，称为循环码的生成多项式。称为循环码的生成多项式。u一般形式为一般形式为u它代表循环码中的前面它代表循环码中的前面(k1)位都是位都是“0”的码组。的码组。常数项为1，最高次数为次是循环码的核心。对于给定的k位信息码，由由构造构造G（x）产生产生循环码循环码例如，表8-5所示的（7，3）循环
31、码。前面（k1）位都是“0”的码组0010111生成矩阵：或将第3行加到第1行，则可化为典型生成矩阵形式：（8-5-9）给定信息元时（如110），则由式（8-5-9）编出的系统码码组：非典型生成矩阵典型生成矩阵一般形式：（8-5-10）例如，上述（7，3）循环码的码多项式为（8-5-11）式中m(x)是信息多项式，其最高次数为k-1。【定理1】由可知，都能被整除。供应了编码/译码的方法和依据。编码：与m(x)相乘就可生成循环码的全部码字（非系统码）。译码：验证一个接收码组是否出错，只要看它能否被整除。因此，是循环码编、译码的关键。如何找寻循环码的生成多项式？【定理2】循环码的生成多项式是的因式
32、。供应了一种找寻的方法。从的因式分解中，找出一个（）次且常数项为1的因式作为。【例8-6】求（7，3）循环码的生成多项式。解由题意知n=7、k=3、r=nk=4，应为的4次因式。（8-5-12）（8-5-13）（8-5-14）都可作为。选用的不同，产生的循环码组也不同。若选用式（8-5-13）作为（7，3）循环码的，则产生的循环码为表8-5所列。8.5.3循环码的编码由得到的循环码通常不是系统码。l系统循环码的编码过程系统循环码的编码过程：（1）作作乘乘将信息元左移（nk）位，附上（nk）个“0”，预留给监督元。（2）作作除除，即得到余式余式监督码元。监督码元。（3）作，即得编出的码组。l举例
33、举例：（7，3）循环码，已知信息元为110，即，它相当于1100000选定，进行如下运算：得到余式，对应监督码元0101因此，对应码字1100101可见，除所得的余式即为监督码元。因此，系统循环码编码的核心就是用除除所得的余式即为监督码元。因此，系统循环码编码的核心就是用除法器求出余式。法器求出余式。余式的次数必定小于的次数次数，即小于小于(nk)u8.5.4循环码的译码循环码的译码u接收端译码的目的有两个：检错和纠错。接收端译码的目的有两个：检错和纠错。u检错：将接收码组检错：将接收码组用用去除，即去除，即u（8-5-17）u若若为零，即为零，即能被能被整除，则无错；否则有错。整除，则无错；
34、否则有错。u（说明：有不行检错误的状况时，也能除尽）。（说明：有不行检错误的状况时，也能除尽）。u纠错：纠错：u（1）将接收码组）将接收码组用用去除，得到伴随式去除，得到伴随式；u（2）由）由得到错误图样得到错误图样E(x)，确定错码位置；，确定错码位置；u（3）=，完成纠错。，完成纠错。uu上述编、译码运算，可用硬件电路实现。目前多接受软件上述编、译码运算，可用硬件电路实现。目前多接受软件实现。实现。式中，是接收码组除以的余式，称为循环码的伴随式或校正子习题习题8-10已知（已知（7，4）循环码的生成多项式为）循环码的生成多项式为试求：试求：（1）码的典型生成矩阵）码的典型生成矩阵G；（2）码的典型监督矩阵）码的典型监督矩阵H；（3）若信息码组为）若信息码组为0110和和1101，编出相应的系统码码字；，编出相应的系统码码字；（4）分析该码的差错限制实力。）分析该码的差错限制实力。解：（解：（1）生成矩阵）生成矩阵或或典型典型（2）典型监督矩阵H=PIr（3）0110001和1101001（4）因为表示的码组的重量为3，所以最小码距为3，能纠1位，或检2位错码。