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1、2.利用正弦定理、余弦定理求解四边形问题一.边长与角【例1】（2018年新课标I）在平面四边形A8CQ中，ZADC = 90，NA = 45，AB = 2, BD = 5.(1)求 cos/ADB；(2)若DC = 2叵,求【解析】（1）在AABO中，由正弦定理得BDABsinZA sinZADB由题设知，-,sin45 sinZADB由题设知，ZADB 223。CDcosC和 BD?=入笈+D4? _2A3D4cos A，且cosC = cosA,代入数据得 13-12cosC = 5 + 4cosC,求cos。的值，进而求。和助的值；（2）由（1）知AA8和ACS。的面积可求，故四边形AB
2、CD等于AABD和NCBD的面积.（2）若BC = 6 求花卉种植区域总面积（电动步道AC的面积忽略不计）.【解析】（1）因为 cosB =立，/D = 2/B ,所以 cosZ） = cos28 = 2cos2 笈- 1 =， 33（I、因为AD = 1, CD = 3,所以由余弦定理得4。2=4。2 +。22Az）oCcosO = l + 9 6x - =12, 3）因为AC0,所以AC = 2百；(2)因为3C =指,所以在中，由余弦定理得cos3=-2/6T2=走,解得A8 = 30或-8 （舍去）, 2V6 x AB 3因为cos B =，所以sin 8 =，33所以S ZioC-A
3、BBCsin NB义子半,所以sin)= .（1）求四边形/阳9的面积;因为cos D =故 ADC=x ADxDCxsin)= xlx3x ?五=正，所以花卉种植区域总面积为3我+&=4亚.10. （2022年山东淄博市第一中学高三开学考试）在四边形/仇力中，已知8C = CD = gA8 = l,AB BC = - , /BCD =- J（2）求sin。的值.【解析】(1)；BC = L AB = 2,?. AB BC = -2xlxcosZ4BC = -b 可得cos/A3C = ；, 乙7T ZABC e (0,兀),则 ZABC =-,. AC2 = AB2 + BC2 - ZAB
4、3c . cos ZABC = 3 ,Jr27r/. bc2ac2=ab2,故/acb = 7，又 4BCD = f 23jiI. ZACD故sinNACD = 62/.四边形 ABCD 的面积 S = SABC + SAACD/.四边形 ABCD 的面积 S = SABC + SAACD= -AC BC + -AC CD sinZACD = + =(2)在ACO 中，AD2 = AC2-DC2-2 AC DC cos ZACD = ,.AD = 1, sinr = sinZ4CZ) = AD211. (2022年江苏南通市海安市高三检测)在平面四边形/舒中，/BAD=2/ACB=4/BAC,
5、 /夕 =2, BC(1)求N5口的大小;(2)求四边形/阳9的面积.【解析】(1)由题意，设/BAC =。，则ZAC3 = 2a, ZCAD = 3a ,在ABC中，由正弦定理有匹=?sin a sin 2a在ABC中，由正弦定理有匹=?sin a sin 2a,即近二交=，解得cosa=cos a所以cos/4cB = cos2a = 2cos2 a-l = 2x( + a)2 -1 =，42TT因为OvNACBv4,所以NAC8 = . 637r7T由可知/a8c=7，/e0=“由正弦定理有ACABsin ZABC sin 2aAC _ 2，即 & - J_，解得 AC = 20,T 2
6、ACx AD在6。中，由余弦定理有cos/G4Q= 1C +AQ _CQ- =显，即矍制W解得W， 四边形ABCD的面积=S/8C + S.CADxACx BC x sin NACB + x ACx AO x sin /CAD=-X 272x(76-72) xl + lx2V2x5x 22 22=4 + a/3 .12. (2022年河南濮阳外国语学校高三限时训练)在平面中，四边形ABCQ满足AB = 4, AC = 26 /BCD = 2/BCA, ABC 面积为 4.(1)求3。的长；(2)求/XACO的面积.【解析】(1)由已知5八0 =，A3ACsinNBAC = Lx4x2石xsin
7、/5AC = 4, 22可得sin/3AC =且，5又 A5JLAO,所以 ZBAC(0,3,所以 cos /BAC = J1 sii? /BAC =述，在ABC中，由余弦定理3。2=432+4。22A5-AC.cosZft4c = 4, /.BC = 2,(2)由(1)可得：AC2 = AB2-BC2,所以 A3J_8C,故N3AC + NBG4 = .JT由 AB_LAT,得 N3AC+NG4O = ,所以 N3C4 = NC4T),.2又/BCD = 2/BCA,所以 ZZ)G4 = ZBC4 = NC4D,所以“。少为等腰三角形，即AD = CD.7T在丛。中，过顶点。作AC的垂线，垂
8、足为E,且NAOE+NC4O = 5，(71)ZADE = ABAC ， . sin ZCAD = sinZADE = cos ZADE,(2), 八八.CL DEAE/口 八厂 AEsinZCAD AEcosZADE , 匚在心八4。七中，由正弦定理=-，可得DE = 2V5 ,sin ZCAD sin ZADEsin ZADE sin ZADE所以Scq=，ACOE = 1*2石乂26=10.13. （2022年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试（二）如图，在西边形A3CD中, /BCD = 120。.若 CD = 2 遥，AO = 8,3从 BD = 6, ZADC = 75； c
9、osN4DB = n，ZCBD = 45 ； 5真9=126, /CBZ) = 45。这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)D【解析】若选，在BCO中,: CD = 2a,30 = 6, /BCD = 120。,由正弦定理可知.B： =%解得sin/C5D =也，sin /BCD sin Z CBD2( 兀)又： /CBD e 0,- , ： /CBD = 45 ,即 NCZ)B = 180。一120。-45。= 15。, 2)ZADB = ZADC-ZCDB = 60,在A3。中，ZADB = O)O9 AO = 8, BD = 6
10、.由余弦定理得 AB2 = AD2 + BD2 - 2AD- BDcosZADB ,解得 AB = 2713 .若选，在3CZ)中，CD = 25 BCD = 120, /CBD = 45。，由正弦定理得.=.笑解得BD = 6,sin Z.BCD sin ZCBD3在ABO中，cosZADB = - , AD = 8, 30 = 6,由余弦定理得 AB2 = AD2 + BD2 -2AD- BDcos/ADB ,即 AB = 1V265 .若选，在A3。中，ZBCD = 120, ZCBD = 45 , CD = 2 限,or)m由正弦定理得万解得皿=6, 在ZABD中， 由 S/ =: A
11、O . 3。Sin ZADB= 2G ,解得 sin NADB =走，则 NAD3 = 60。或 120。，由余弦定理得 AB2 = AD2 + BD?2AD BDcos/ADB，当NADB = 60。口寸，解得AB = 2屈，当/AD3 = 120。时，解得AB = 2后,综上所述：AB = 25或2西.(1)由题设及余弦定理得=3。2+。22BC.ScosC = 1312cosC.BD2 = AB2 + DA1 -2AB- DAcos A = 5 + 4cosC .由得cosC = ，故C = 60。，= V7.2(2)四边形的面积S = LA3-ZMsinA + LBC-COsinC S
12、 = (-xlx2 + -x3x2)sin60 2222【方法技巧】与三角形面积有关问题的解题策略:求三角形的面积.对于面积公式S=C=acsin 8=，?csin A, 一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式.(2)已知三角形的面积解三角形.与面积有关的问题, 互化.(3)求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题，一:般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的般转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解.三.结构不良问题JT【例3】(2020届山东省日照市高三上期末联考)在A/WC面积=2,乙4。= 这两个条件 6中任选一个，补充在下
13、面问题中，求24c.37r如图，在平面四边形中，ZABC = , ABAC = ADAC, 4，CD = 2AB = 4,求AC.所以 8C = 2j5；37r r=2 4由余弦定理可得AC2 = AB2 + BC2 - 2ABBC cos ZABC=4+82x2x2加=4+82x2x2加所以AC = 65 = 2逐Jrjr选择：设N5AC = NC4D = e,则0e, ZBCA =。， 44ACACABACsin ZABC sin ZBCA2.(71 幻)sin014 )所以所以AC =sin在AACD中,AC CDsin ZADC- sin ZCAD所以AC =:一 sin。所以皿厂如仔
14、解得2加=期。，（4）又0生，所以sin6 =好， 45所以二_ = 26.sin。【方法技巧】结构不良问题，需要在各种选择当中选一个自己擅长的，或认为更有把握的.【演练提高】个圆中,个圆中,1 .（重庆市第八中学2022届高三下学期高考适应性月考卷（五）如图，四边形ABCZ）内接于7T其中 80为直径，AB = 4, BC = 3, ZABC = -.（1）求B。的长;（2）求人48的面积.【解析】(1)在ABC中，由余弦定理得：AC2 = AB2 + BC2 - 2AB - BC cos ZABC = 25 - 24 cos - = 13 ,解得：AC = V13 , 3设R为即如纯37F
15、(2) Q8O为直径，./DAB = /DCB = ,DR =ABC外接圆半径，由正弦定理得：ACsin ZABC. 6 3d .11132z. AD = 4BD2 - AB2 =, CdZbD? -Be?=拽,又/AOC = = = ,3333,Q _1 ,n . /2m2G 5百 V3 _573AC。223326.(山东省2022届高三第二次学业质量联合检测)如图，是/以外一点，4以的内角4 B,。的对边分别为a， b, c,已知cos ZB ACcos /BCA2b-c(1)求 NZMC；3（2）若人二5。，AD = CD = 2,且/比的面积是面积的2倍，求力的值.【解析】（1）在力比
16、中，由cos ABACacos /BCA 以在工用 /n cos ABAC cos /BCA F-及正弦定理得整理得 2sin Bcos ABAC = cos ZBCAsin N84C+sin ZBCAcos ABAC,即 2 sin Bcos ABAC = sin ( ZBAC 4-ZBG4)= sin 3.因为在/%中，sinBwO,所以cos/84C = Ljr 又0ZR4C = 120。得N3CD = 60。，设3C = x, CD = y,在BCD 中，由余弦定理得 BD2 = BC2 + DC2 -2BCx DCxcosZBCD ,2/即 12 = / + y2 孙= (x+y)2
17、 -3盯N(x+y)2 -3x *+)=( + ，所以x + y W 4G ,当且仅当尤=y = 273 2 J 4时，取得最大值46, 所以四边形A3CQ周长的最大值为4 + 46.4.（湖南省长沙市第一中学2021-2022学年高三上学期月考（五）如图，在平面四边形/的中，BCLCD, 力作百，AZM, ZCAD-300 .（2）若/比为锐角三角形，求比的取值范围.【解析】（1）在ACO中，由余弦定理得：DC2 = AC2 + AD2 -2AC-AD cosZCAD=（而+f2舟B = ,所以Z）C = 1,2又因为 AZ) = 1,所以 NACD = NC4O = 30。.(2)由 8c
18、_LCZ),且ZACD = 30。，可得NAC8 = 60。,在A3C中，由正弦定理得在A3C中，由正弦定理得BCsin ABACACsin B因为A4BC为锐角三角形，0。/84。=120。Nv90。，0B90,所以30。区90。，可得tanB迫，3则。V百，所以所以BC26tan 52 2tanfi 22所以BC的取值范围为三，2G .(2)c + ccosB = V3/?sinC .5.(2021年广东韶关市高三综合测试)如图，在ABC中，284C/&AC3对边分别为女。，且已知匕=2,。+。= 10,若。为ABC外接圆劣弧AC上一点，且2AD = OC,求四边形A3c。的面积.【解析】
19、(1)由正弦定理及已知，W -e- Sin C + sin Ccos B = 3 sin Bsin C ,sinCwO, /./3sinB cosB = i,.2 sinfisinCwO, /./3sinB cosB = i,.2 sinfi1-cosB2 J.sin又,0/3 , S ahc=-ABx BCsinB = - acsm60,，/ I -/!vz= 2 /lov 222(V7 )2 = a2 + c2 - 2ccos60。, 28 =(。+ c)2 - 3ac,ac = 24. S.abc = J x 24 x sin 60 =66,因此 Sbcd = 8g .6.(2021年辽
20、宁省高三期中)在梯形AM?中，已知ABCD,CD,对角线劭交于。，AC = JIU,71/BDC = , ZACD = a.4(1)把劭，45 + CO分别用。的函数表示； 35 7i(2)若 AB = , CD = , a sin ZAEC sin/CAEAE _ W _ EC所以sina 0.兀 .,兀”，sin sm乃 一(a + 一)44AE _ W _ EC所以sina 0.兀 .,兀”，sin sm乃 一(a + 一)44所以 AE = 2道sina , EC = 2/5 sin a-b = a/10sin6Z + V10cos(7 , 4j所以 8O = 2Gsin。，AB +
21、CD = ED + DC = EC =回sina +M cos a .35(2)因为EC = AB + CZ) = ? + ? = 4,所以 EC = V10 sin a + VlO cos a，所以 sin a + cos a = 2y在EC中,由余弦定理得cosZAEC = AE2 + / - AC2 =石2+40 = V|, 2AEECSAE 2解得AE = 0或AE = 30，又BD = AE,所以3。=近或30 = 3后，AC _ AE M _ BD因为当8D = 3五时，sinZAEC = Sina。； sin asin 4又BD = AE,所以3。=近或30 = 3后，AC _
22、AE M _ BD因为当8D = 3五时，sinZAEC = Sina。； sin asin 4,sino = =蜂 = sin工与a工矛盾,2E4 = Vl-sin2ZZ)E4 = V1 - sin2 ZBCE =ji在中，因为乙4 =不，AE = 4,ED = 所以ED = 所以AEcos ZDEA 277=2币在CEO 中，由余弦定理得 CD = JOE? + DF 2CE DE cos /CED = 7，所以CEO的周长为。石+。石+。=e+ 2 + 7 = 7 + 3.8.（2021年 嘿龙江嫩江市第一中学等高三联考）如图,在平面四边形/舒中，若A5 = 6, BC = 10, 8
23、= 12,ZABC = 120, ZACB = ZACD.(1)求cosZBCD 的值；(2)求4的长度.【解析】(1)在ABC中，因为4B = 6, BC = 10,= 120,由余弦定理，n；W AC2 = AB2 + BC2 - 2 x x BCx cos ZABC = 196, 所以AC = 14.4 AT又由正弦定理可得.，sin ZBCA sin /ABC6rrJ .AB.sinl20。3百所以 sin ZBCA =AC 14071所以 cos /BCD = l-2sin2 ZBCA =.98(2)由(1),因为 ZBC4 为锐角，可得 cos /BCA = Jl - sin N3C4 = U .14在八4。中，根据余弦定理，可得AD? 3c49913= 142 +122 -2xl4xl2x= 28 ,14所以4。= 2近.9.(2021年重庆市天星桥中学高三抽测)北京2022年冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口开幕, 运动员休息区本着环保，舒适，温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形A3CO休闲区域，四周 是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道且AD = 1, CD = 3, cosB =3B(1)求氢能源环保电动步道AC的长;