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1、9.椭圆的轨迹问题研究一.学习目标:能够在不同情境中应用椭圆的定义求出相关的轨迹方程，会用求轨迹的基本方法求解轨迹方程，了解椭圆的第二，三定义.二.知识梳理：1 .定义法求轨迹方程的基本步骤：2 .代入法求轨迹方程的基本步骤：三.典例分析.1.基于第一定义的椭圆轨迹问题.例1.若动点p的坐标(%, y)满足方程J二可+ y +#_可+ 丫2 = 2a/6 ,试判断动点P 的轨迹，并写出其标准方程.解析：由于点尸(X,y)满足+ / + 卜同+ 丁 =,即点p(%,y)到两个定点(73,0), (-6,0)的距离之和等于常数2指，由椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在X轴_22上的椭圆，且& =戈
2、工=杷,故b =故椭圆的标准方程为一 +3=1o 3例2.在AfiC中，若的长为6,周长为16,则顶点A在怎样的曲线上运动？解析：如图，建立坐标系，已知ABC的周长为 16,且3(-3,0), C(3,0),贝ij A3 +AC = 10 3C = 6,有 2q = AB + AC=10,得 4 = 5,又 c = 3,所以从=储 一2 =25 9 = 16 ,所以ABC 的顶点 Z2222的轨迹方程为：二+ J = l(ywO),即顶点/在椭圆土+ J = l(0)上运动.25 1625 16例3.如图，圆(x + l + y2=i6的圆心为点41,0),点。为圆上任意一点，求线段AC的垂直
3、平分线I与线段CB的交点P的轨迹方程.解析：连接24,如下图：由题意可知，9-1,。），圆的半径 =3。1=4,且AQO）,= l（abO）,由垂直平分线定理可知，|/%I=|PC|,故|P3| + |B4|=|P3| + |PCRBC|=4|AB|=2由椭圆定义可知，P的轨迹为椭圆，设夕的轨迹方程为:从而2q = 4,即 =2,又因为AQO）、仅7,0）,所以c = l,又由/可知，b = 6,例4.已知两圆G ：（%-+ V = 18C : （x + 2+ /=2,动圆M在圆C1内部且和圆G内切,和圆G外切.求动圆圆心的轨迹方程C.解析：设圆M的半径的R,则眼。+阿。2| =（3&-夫）+
4、 （血+.=4&4 = |CG|,所以M的轨迹是以G，G的焦点的椭圆，则2a = 40, 2c = 4,所以。=2近，c = 2,22b - Va2 - c2 = 2，故动圆圆心Af轨迹方程。为F = 1842 .基于第二定义的椭圆轨迹问题.例5.已知动点M（x,y）到定点F（-l,0）的距离和M（%y）到直线l:x = 2的距离的比是常数立.求点M的轨迹C.2解析：动点M (%, y)到定点F(-1,0)的距离和M (x, y)到直线/ ： X = 2的距离的比是常数叵, J(X + 1)F，二也,化简得：K+y2=i,即点例的轨迹。为+丁=1.2|x+2|222.基于第三定义的椭圆轨迹问题
5、.例6.已知4-2四,0)1(2四,0),直线PAPB的斜率之积为-二，记动点P的轨迹为曲线C.4求。的方程.解析：设P(x,y),则直线抬的斜率即a=T后(工。一2血)，直线心的斜率X + 2V2即二三万*2&)由题意即k原3=得五.二|五 =3=一122化简得+ = l(x 22). 864.相关点法求轨迹.例7.如图，设P是圆V + y2=25上的动点，作轴，。为垂足，M为PD上一点，且|皿| = 30。,当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程解析：设点M的坐标为(x,y),点2的坐标为(x,y),因为轴且|MQ|二g|PD|,得j)x = X4 ,，即X = X,5 ，因为。在圆上，得
6、x2 + y2=25，故/(5七2= 25,整理得? 29 2三+巳=1,故c的方程为夫+巳=1.2j loZJ 1O四.练习题1.化简方程巳+(, + 3)2 + jY+(y 3)2 =10为不含根式的形式是()9?222222A.1 = IB.1- I C.1= I D.1- I25 1625 916 259 252.设圆(x+l)2+y2=25的圆心为c, A(l,0)是圆内一定点，。为圆周上任一点.线段4。的垂直平分线与的连线交于点则M的轨迹方程为()2125B.4x2 4y22 254x2 4 y2C. L = 1 D.252125213.已知定圆 G：(x + 5)2 + y2=i
7、,C2:(-5)2 + V = 225,动圆C满足与G外切且与G内切，则动圆圆心。的轨迹方程为()土 + 匕=1B. 土+ & = 1 C.工 + 工64 3939 64256 241D.22，工=1241 2564.已知动点(x, y)与定点方(1,0)的距离和它到直线 = 3的距离的比是常数斗.求动 点的轨迹方程C.5.设圆Y + 9 + 2x-15 =。的圆心为4直线I过点B(l,0)且与%轴不重合，/交圆/于C。两点,过8作:的平行线交AO于点E.证明|以| 十 |旗|为定值，并写出点片的轨迹方程.6.设/为圆。:/ + )；2=4的动点，在工轴的投影为N,动点P满足2俞=有赢,动点P的轨迹为E .求E的方程.