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1、p p-p+EXEX-EX+4.1.2 4.1.2 切比晓夫大数定律切比晓夫大数定律注注:(1)定义中的式子等价于定义中的式子等价于 (3)若若X 是一随机变量是一随机变量,且且 ,则称随机变量序列则称随机变量序列 X n 依概率收敛于依概率收敛于X，简记为：，简记为：定义定义4.3：设：设 X 1,X 2,X n ,是一随机变量序列，如果存是一随机变量序列，如果存在常数在常数 a，使对任意的，使对任意的 0，都有：都有：则称随机变量序列则称随机变量序列 X n 依概率收敛于依概率收敛于 a，简记为：，简记为：a a-a+由切贝晓夫不等式得：由切贝晓夫不等式得：证：证：定理定理4.1：设设X1
2、,X2,X n,是相互独立的随机变量序列，期是相互独立的随机变量序列，期望望EX1,EX2,EXn,及方差及方差DX1,DX2,DXn,都存在，且都存在，且方差有界（对随意方差有界（对随意 i 有有DXi M（常数），则对于随意的（常数），则对于随意的 0，恒有恒有 推论：推论：设设X1,X2,Xn,是独立同分布的随机变量序列，是独立同分布的随机变量序列，EXi=,DXi=2（i=1，2，），则对于随意的），则对于随意的 0，恒有，恒有(3)(3)当当n n充分大时充分大时,“,“n n个独立随机变量的算术平均数个独立随机变量的算术平均数”的离散程度是的离散程度是很小的。这意味着：只要很小的。
3、这意味着：只要n n充分大，尽管充分大，尽管n n个随机变量可以各有分布，个随机变量可以各有分布，但其算术平均以后得到的随机变量但其算术平均以后得到的随机变量 将较密集地聚集在它的将较密集地聚集在它的期望期望 附近，不再为个别随机变量所左右。附近，不再为个别随机变量所左右。-大数定律大数定律 推论中方差的存在性可去掉，推论中方差的存在性可去掉，得如下结论得如下结论 这一推论使算术平均值的法则有了理论根据。假使要测量某这一推论使算术平均值的法则有了理论根据。假使要测量某一个物理量一个物理量a a,在不变的条件下重复测量在不变的条件下重复测量 n n 次，得到的观测值次，得到的观测值x x1 1,
4、x x2 2,x xn n 是不完全相同的，这些结果可以看作是服从同一分布并是不完全相同的，这些结果可以看作是服从同一分布并且期望值为且期望值为a a 的的n n 个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量 X1,X2,Xn 的试验的试验数值。由推论可知，当数值。由推论可知，当n n充分大时充分大时,取取()()作为作为 a a 的近似值，的近似值，可以认为所发生的误差是很小的。即对于同一个随机变量可以认为所发生的误差是很小的。即对于同一个随机变量X 进行进行 n n 次独立观察，则所有观察结果的算术平均数依概率收敛于随机变量次独立观察，则所有观察结果的算术平均数依概率收敛于随机变量的期望值的期
5、望值 E EX。辛钦大数定理：设辛钦大数定理：设X1,X2,Xn,是独立同分布的随机变量序列是独立同分布的随机变量序列EXi=,（i=1，2，），则对于随意的），则对于随意的 0，恒有，恒有证：令证：令或或X1,X2,Xn 独立同分布独立同分布,都听从都听从0-1分布，分布，EXi=p,DXi=p(1-p)由辛钦大数定理得：对于随意的由辛钦大数定理得：对于随意的 0，恒有，恒有 一个随机变量，假如它是很多个相互独立的随机变量之和，一个随机变量，假如它是很多个相互独立的随机变量之和，不管它们是离散的还是连续的或者是任何类型的，只要它们其不管它们是离散的还是连续的或者是任何类型的，只要它们其中每一
6、个对总和只产生微小的影响，则当求和项数无限增加时，中每一个对总和只产生微小的影响，则当求和项数无限增加时，这一总和的分布就趋于正态分布。这一总和的分布就趋于正态分布。大量的相互独立的随机变量和的极限分布是正态分布大量的相互独立的随机变量和的极限分布是正态分布 中心极限定理中心极限定理林德贝格林德贝格-勒维中心极限定理勒维中心极限定理(独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理)的意义的意义解：令解：令X 为同时开灯的数目为同时开灯的数目,则则X B(10000,0.7).假如精确计算，应为：假如精确计算，应为：X B(10000,0.7),则则 X 近似听从近似听从N(7000,2100
7、)解：应准备解：应准备N份早餐。令份早餐。令X 为到食堂用餐的学生数，为到食堂用餐的学生数，则则XB(1000,0.6).X B(1000,0.6),则则 X 近似听从近似听从N(600,240)保障供应保障供应(X N).解：令解：令 X为为10000件产品中的废品数，则件产品中的废品数，则X B(10000,0.005)解解:命中飞机的炮弹数命中飞机的炮弹数X B(500,0.01)极 限 定 理 二项分布的随机变量可看作很多相互独立的二项分布的随机变量可看作很多相互独立的 0-1 分分布的随机变量之和，下面是当布的随机变量之和，下面是当 X B(20,0.5)时，时，X的概率的概率分布图
8、：分布图：极 限 定 理 泊松分布相当于二项分布中泊松分布相当于二项分布中 p 很小很小 n 很大的分布，很大的分布，因此，当参数因此，当参数l=np 很大时也相当于很大时也相当于 n 特殊大，这个时特殊大，这个时候泊松分布也近似听从正态分布，下面是候泊松分布也近似听从正态分布，下面是 l=30 时的泊时的泊松概率分布图。松概率分布图。基本要求基本要求:1 1 了解随机变量依概率收敛的概念。了解随机变量依概率收敛的概念。2 2 了解大数定律的意义和内容，理解贝努里、辛钦了解大数定律的意义和内容，理解贝努里、辛钦 及切贝晓夫大数定理。及切贝晓夫大数定理。3 3 理解中心极限定理的含义及其客观背景理解中心极限定理的含义及其客观背景,要驾驭要驾驭 独立同分布的中心极限定理和隶莫夫独立同分布的中心极限定理和隶莫夫拉普拉斯拉普拉斯 定理定理,会利用中心极限定理解决一般实际应用问题会利用中心极限定理解决一般实际应用问题重点：中心极限定理及其运用。重点：中心极限定理及其运用。难点：证明随机变量听从大数定理。难点：证明随机变量听从大数定理。基本要求与重点、难点