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1、Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。古诗词鉴赏切入点dea-似真推理的其他形式（9）习题与评注（2）14假如未知数的性质受适当的补充条件的限制，那么一个方程式就可能确定若干个未知数。比如，如果x、y和z都是实数，那么，它们完全可以由方程确定，求满足方程x2+y2=128的正整数x、y的所有数组。15求满足方程的正整数x、y、z、w的所有数组。16一般情况。研究含有三个未知数的三个线性方程的方程组：设十二个已知数a1，b1，c1，d1，a2，d3都是实数。如果它只有一组解（只有一组能满足该方程组的三个数x、y、z），该方程组则称为是确定的。
2、如果有无穷组解，该方程组则称为是不定的。如果没有解，则称为不相容的。从各种观点来看，确定的方程组是一般的、常见的、正常的、规则的情况，而其他情况则是例外的、不常见的、不正常的、不规则的。(a)在几何学中，我们可以把三个数x、y、z的组（x，y，z）解释为直角坐标系里的一个点，把各个方程看作能够满足它的诸点的集合，即平面。（实际上，对于这种解释，我们必须假定各个方程的左边至少要有一个非零的系数，我们就是这样假设的。）如果三个平面只有一个公共点，方程组则是确定的。当它们有两个公共点时，它们也就有一条公共的直线，这样，方程组则是不确定的。当三个平面都平行于同一条直线，但是没有公共点时，方程组则是不相
3、容的。假如三个平面位于“一般位置”，即它们是“随意选择”的，那么，它们就只有一个共同点，而方程组就是确定的。(b)在代数中，当且仅当方程左边九个系数组成的行列式不等于零的情况下，三个方程的方程组才是确定的。因此，如果未对系数附加上特别的条件或以方程的形式加以限制，方程组就是确定的。(c)我们可以把九个（实的）系教（a1，a2，a3，b1，c3）的组，解释为九维空间中的一个点。非确定的（不定的或不相容的）方程组所对应的各个点可以满足一个等式（行列式=0），这就意味着：它们可以构成较低维的流形（八维的“超曲面”）。(d)永远难以置信，偶然给定的有三个未知数的三个方程组，竟会是不确定的。参见习题14
4、23。17分别研究五种正多面体的内切球和外接球，并且计算它们半径的比。18假如我们交换正方体和正八面体或者正十二面体和正二十面体的位置。表中的第（3）列依然不变。这种不确定性对于刻卜勒的理论必定是本质上的困难。然而，刻卜勒在寻找这五种优美的正多面体之一之所以必定比另一种更为高贵，同时占有统治地位（如同男爵统治准男爵一样）的原因时，曾经表现出特殊的发明才能。请找出可以使刻卜勒曾经安置在地球轨道外围的三个多面体与他安置在该轨道内的两个多面体相区别的某个简单的几何特性。19没有一种思想是确实无益的。“尽管许多猜测看来是错误的，但是总归是有益的，因为它可以引出更好的猜测来。”“只要我们不是不加批判地一
5、概接受，那么，就没有一种思想是确实无益的。头脑空空如也，这才是真正糟糕的。”我几乎天天都用这些格言来安慰某个持有任何一种正当的然而幼稚的想法的学生。这些格言无论是对日常司空见惯的情况，还是对科学研究，都是适用的。对刻卜勒的例子来说，它们更是再适合不过的。对刻卜勒本身而言，他从中世纪的观点到现代观点的独特的思想转变（把六大行星与五个正多面体配合起来）显得异常惊人。然而，我却无法想象作为刻卜勒同时代人的伽利略能有如此思想。在具有现代理智的我们看来，这种思想从一开头就显得相当糟糕，因为它跟我们对自然界的所有其他知识关系太少了。即使刻卜勒的推测能够与观测的情况有比较符合之处，它获得的支持仍是微弱的，因
6、为它没有获得来自其他无论哪一种已知来源的类比的支持。尽管刻卜勒的猜测结果是错误的，但是它对于过渡到更好的猜测无疑是有益的。这种猜测引导刻卜勒更加认真细致地去研究行星的平均距离、轨道和公转周期，他期望为它们找到任何一种诸如此类的“解释”，这样一来，猜测最张终导致了著名的刻卜勒行星运动定律的发现，也引出了牛顿以及我们整个现代科学的观点。20若干种一般的启发性的假设。这个题目本来应该更充分地予以说明，但是，我们必须限制在很简短的篇幅和扼要的评论之中。当我们在“实用的”，难免有几分含糊的意义上解释“一般说来”这个词语时，我们务必小心谨慎。“如果在一个方程组中，方程式与未知数一样多，那么，一般说来未知数
7、就是确定的。”如果在一个问题中，条件与它所拥有的参数一样多，那么，就可以合理是着手作一定向的假设，即此问题有解。比如说，n个变数的二次式有n(n+1)/2个系数，而n个变数的正交变换取决于n(n-1)/2个参数。因此，认为依适当的正交变换，任意n个变数的二次式都可以化成表达式式中y1，y2，yn是由变换引入的新的变数，而则是适当的参数。这从一开始就相当似真，实际上这个式子取决于n个参数，而。在n=2和n=3的特例中对这个推测所作的论证之后产生的这个看法，以及这些特例的几何意义的解释，都能够激起颇大的信赖，使我们相信它在一般情况下也是真实可信的。“两个极限的运算，一般说来，是可以交换的。”假如这
8、两个极限的运算之中，一种是求无穷级数的和，另一种是积分法，那么，我们就有曾在7中谈到过的一种情形。“接近于极限时是正确的东西，一般说来，它在极限时也必然是正确的。”如果已知an0和，那么，我们不能得出a0；而只能说是正确的。我们可以把曲线看作内接折线的极限，把曲面看作内接多面体的极限。把曲线的长度当成内接折线长度的极限进行计算，可以获得正确的结果；然而，把曲面的面积当成内接多面体表面积的极限进行计算，却可能得出错误的结果。尽管所说的启发法原则很容易使我们误入迷津，但是，它仍然是培育各种新思想的最肥沃的土壤。例如，可见习题924。“在开始时，可以把未知的函数看成是单调的。”在2中，我们曾按此建议
9、研讨过一个类似实例，那时我们假定一个立体的体积是随着其形状的变化而变化的，并且被引入歧途。虽然如此，上述的原则仍然经常是有益的。或许，我们需要证明这样一个不等式。这里aT2。经过一番加工后，这个不等式看来与下式是等价的：我们在此假定。我们可以按h的乘幂展开等式的两边，来尝试证明这个不等式。最简单（或“最乐观”）的可能是什么呢？23数值计算与工程师。外行人总以为科学家的数值计算是没有误差的，但是枯燥无味。实际上，一位科学家的数值计算可能带着诱人的冒险味道，然而并不可靠。古代的天文学家和现代的工程师们都试图借助于不太熟悉的数学工具获取对于一知半解的各种现象的数值结果。这种尝试遭到挫折是不足为奇的；
10、更令人惊讶的是他们往往会获得成功。这里就有一个典型的实例，（此处省略掉的技术细节，将在另外一处发表。）一位工程师想计算与边长为1的正方形有关系的物理量Q。（实际上，Q是具有正方形横截面的横梁的扭转刚度，不过，读者没有必要了解这一点，其实，他甚至也无须知道什么叫扭转刚度。）精确的解常常会遇到数学方面的困难，因此，我们这位工程师如同其他工程师们时常采取的方法一样，即诉诸近似法。他依照着一定的近似法，把已知的正方形分成为相等的“元素”，即分成为n2个面积为1/n2的较小正方形。（在求二重积分的近似值时，我们也是以类似的方式把已知的面积划分成元素。）有理由期望当n趋向于无穷大时，其近似值也一定更趋向于
11、真值。然而，实际上，计算方面的困难是随着n的增大而迅速增大的，并且很快会成为难以克服的。这位工程师只分析n=2、3、4、5的特例，并且获得Q的对应的近似值：0.0937，0.1185，0.1279，0.1324。我们不可忘记：这些数字分别对应于我们用来计算的较小正方形的面积值1/4，1/9，1/16，1/25。工程师用图象法表达这些结果。他决定把求得的Q的各近似值作为纵坐标画出来，但是，在选择横坐标时，他却犹豫不决了。起初，他试以n为横坐标，然后以1/n，最后以1/n2（这是用于近似法的小正方形的面积数值）；分别见于图114、115和116。最后一种选择为最佳；图116上的四个点近似地排列在一条直线上。工程师察觉到这一点，便把该直线延长到它与垂直轴相交为止，并且把交点的纵坐标当成为Q的“理想的”近似值。(a)为什么？这是以什么思想为依据的？(b)以数值检验图116：用直线段连结相邻的各点，并且计算三个倾斜角。(c)在图116上选择最可靠的两个点，在工程师的作法中应用一条穿过这两点的直线，计算最后获得的Q的近似值，并且把它同Q的真值0.1406进行比较。-