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1、第六节离散型随机变量及其分布列课程标准解读通过具体实例，了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量的分布列.蕉蕉,必备知识 新学法基础落实 m知识排查微点淘金知识点一随机变量1 .随机变量及表示一般地，如果随机试验的样本空间为0,而且对于0中的每一个样本点,变量X都对 应有唯一确定的实数值,就称X为一个随机变量.2 .随机变量的取值范围随机变量所有可能的取值组成的集合,称为这个随机变量的取值范围.随机变量的取值 由随机试验的结果决定.3 .随机变量之间的关系一般地，如果X是一个随机变量，a, b都是实数且qWO,那么y=aX+b也是一个随机 变量,由于X=f的充要条件是因此，P(X= t)
2、= P(Y=at+h).知识点二离散型随机变量的分布列1 .一般地,当离散型随机变量X的取值范围是加,初,%时,如果对任意ke 12, ,概率尸率=3=以都是的,那么称X的概率分布是的.离散型随机变量X的概率 分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为离散型随机变量X的概率分布或分布列.2 .离散型随机变量的分布列满足的条件(l)pz2Q, k= 1,2,，；n(2)Zk=Pl +，2+ = j_.i=l知识点三两点分布一般地，如果随机变量的分布列能写成如下表格的形式：X10PP-p那么称这个随机变量服从参数为P的两点分布(或01分布).微思考某电子元件的使用寿命汨，掷一枚骰子，正面向上的点数
3、X2,思考为，可作为离散型 随机变量吗？提示：为不可作为离散型随机变量，可作为离散型随机变量.小试牛刀自我诊断1 .思维辨析（在括号内打“ J ”或“义”）（1）离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1.（）（2）对于某个试验，离散型随机变量的取值可能有明确的意义，也可能不具有实际意 义.（）（3）如果随机变量X的分布列由下表给出，那么它服从两点分布.（）X25p0.30.7答案：（1）X （2）X （3）X2 .（链接人B选择性必修第二册P68例2）假设某一射手射击所得环数X的分布列为X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22那么此射手“射击一次
4、命中环数XN7”的概率是（）A. 0.88 B. 0.12C. 0.79 D. 0.09答案：A3 .（链接人B选择性必修第二册P70AT4）设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机 变量X去描述1次试验的成功次数，那么P（X=0）等于（）A. 0 b412C.TD.T答案：C4 .（链接人B选择性必修第二册P65AT2）抛掷2枚骰子，所得点数之和记为。那么。 =4表示的随机试验的结果是（）A. 2枚都是4点B. 1枚是1点，另1枚是3点C. 2枚都是2点D.1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点答案：D*5.（分布列的性质使用不当）随机变量X的分布规律为p（x=，）=/（，= 1,2,3
5、）,那么P（X=2）=解析：由分布列性质知2a 2a 2a2a 2a 2a1, .a=32 1（X=2）=五方答案：I关键能力 新探究思维拓展注三数三连色一、基础探究点随机变量的意义(题组练透)1.袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是()A.至少取到1个白球B.至多取到1个白球C.取到白球的个数D.取到的球的个数解析：选C 选项A、B表述的都是随机事件；选项D是确定的值2,并不随机；选项 C是随机变量，可能取值为0,1,2.2.(多项选择题)以下结论正确的有()A.离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象B.离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个
6、值的概率之和可以小于1c.如果x是一个离散型随机变量且y=x+A其中Q,匕是常数且那么丫必是 离散型随机变量D.随机变量的各个可能取值之间彼此互斥答案：ACD3.写出以下各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果:(1)抛掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，所得点数之和X(2)盒中装有6支白粉笔和2支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数X, 所含红粉笔的支数K解：(1)丫的可能取值为2,3,4,，12.假设以(。力表示抛掷甲、乙两枚骰子后骰子甲得i点且骰子乙得/点，贝1丫=2表示(1,1)； 丫=3表示(1,2), (2,1)； 丫=4表示(1,3), (2,2), (
7、3,1)；丫=12表示(6,6).(2)X可取l,2,3.X=i表示“取出i支白粉笔，3 i支红粉笔，其中i=l,2,3.丫 可取 0,1,2.丫=/表示“取出/支红粉笔，3一/支白粉笔”，其中./=0,2.解思反后用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果.注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果.二、综合探究点离散型随机变量分布列的性质(思维拓展)典例剖析例1 (1)离散型随机变量X的概率分布规律为P(X=)=()(=1,2,3,4),其中a解析选D
8、因为尸(X= )=.(：_)( =123,4),所以嵩+/=屋 所以。=* 所以 pgvXvDMaxMD+PiXMZL/xT+txtn.应选 D.(2)设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求2X+1的分布列.解由分布列的性质知,0.2+0.1+0.1+0.3+/n=l,得冽=03列表为从而2X+1的分布列为2X+113579P0.20.10.10.30.3拓展变式支问法假设本例中条件不变，求随机变量 = |X1|的分布列.解：由本例(2)知m=0.3,列表为X01234IX-1|10123所以 P(=l) = P(X=0) + P(X=2)=0.2+0.l=0.
9、3, P( = 0) = P(X=l)=0.1, P( = 2) =P(X=3)=0.3, P(=3) = P(X=4)=03故=|X1|的分布列为思维升华0123P0.10.30.30.31 .利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数.2 .求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的 概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式.三、应用探究点离散型随机变量分布列的综合问题（多向思维）典例剖析思维点1与古典概型有关的分布列例22件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检 测一件产品，检测后不放回，直到
10、检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.（1）求 第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（2）每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3 件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列.解（1）记第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件4那么P（A） = A3A，3Ag -10,X的可能取值为200,300,400,A2 1那么 P(X= 200) =7qP(X=300) =A什 CM A313 3P(X=400)= 1 - P(X= 200) - P(X= 300) = 1 一而一而=故X的分布列为X200300400P1103W35
11、方法规律1 .求古典概型的离散型随机变量的分布列，要注意应用计数原理、排列组合的知识求 基本领件的个数及事件A包含的基本领件的个数，然后应用古典概型的概率公式求概率.2 .求出分布列后，注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确.思维点2与互斥事件、独立事件有关的分布列例3甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召，决定各购置一辆纯电动汽车.经 了解目前市场上销售的主流纯电动汽车，按行驶里程数R（单位：公里）可分为三类车型：A： 80WRV150, B： 150WR250, C： RN250.甲从A, B,。三类车型中挑选，乙从3, C两类 车型中挑选，甲、乙二人选择各类车型的概率如表：乍
12、型 AABC甲15Pq乙1434假设甲、乙都选C类车型的概率为珠(1)求p, q的值；求甲、乙选择不同车型的概率；某市对购买纯电动汽车进行补贴，补贴标准如表:车型ABC补贴金额/(万元/辆)345记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和为X,求X的分布列. 解(1)由题意可知3 = 3_取=而22解得 p=, q=Mp+q+=l,设“甲、乙选择不同车型”为事件4,12 12 3 3|w=HxMxt=?3 所以甲、乙选择不同车型的概率是彳.(3)X可能取值为7,8,9,10.1 1 1P(X=7)=-X-=-,13,21 1尸(X=8)=/w+X /不八 2 1,232 P(X=9)=5X4+5X4=
13、5,3 3P(X=10)=-X-=-所以X的分布列为X78910P12014253 To方法规律1 .与互斥事件、独立事件有关的分布列一定要分清每一个事件是由哪几个基本领件组成 的，做到不重不漏.2 .区分事件的相互关系，是互斥，还是独立关系，确定所利用的公式，一般是P(A + 8) = P+ P(8), PG48) = P(A)P(8), P(7j=lP三个公式联用.在求复杂事件的概率时, 应学会对事件等价分解(互斥事件的和、几个独立事件同时发生)，或者考虑结合对立事件求 解，从而使问题变得更易解决.学会用活1. (2021 .河南新乡模拟)2021年元旦班级联欢晚会上，某班设计了一个摸球表
14、演节目的 游戏：在一个纸盒中装有1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外完全 相同，同学不放回地每次摸出1个球，假设摸到黑球，那么停止摸球，否那么就要将纸盒中的球全 部摸出才停止.规定摸到红球表演两个节目，摸到白球或黄球表演1个节目，摸到黑球不用表演节目.(1)求同学摸球三次后停止摸球的概率；(2)记X为。同学摸球后表演节目的个数，求随机变量X的分布列.a2 1解：(1)设同学摸球三次后停止摸球”为事件区 那么为=奇=? 故同学摸球三 次后停止摸球的概率为(2)随机变量X的可能取值为0,2,3,4.P(X=0)=(,尸(X=l)=t P(X=2)=太+簧=尢。(=3)=翳=/尸(
15、X=4)=落1所以随机变量X的分布列为X01234r)11111r466642.甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个工程，各单项通过考试的3 2 1概率依次为宗5.记甲同学三个工程中通过考试的个数为X,求随机变量X的分布列. 寸 14解：随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.尸(x=o)=(i加1)(1步表，111,12 13 111P(X=l)=4X-X-+-X-X-+-X-X-=-12 13 113 2 1 11P(X=2)=4X-X-+-X-X-+-X-X-=-3 2 11P(X=3)=4X-X-=-.随机变量X的分布列为四、综合探究点两点分布(师生共研)X0123P
16、1111244244典例剖析例4袋中有红球10个，白球5个，从中摸出2个球，如果只关心摸出两个红球的情 形，问如何定义随机变量X,才能使X满足两点分布，并求分布列.解从含有10个红球，5个白球的袋中摸出2个球，其结果是随机的，可能是一红一 白、两红、两白三种情况，为此我们定义随机变量如下：0,两球非全红，、Cto 3X=亦工4人乙 那么X显然服从两点勿布，且尸(X=l)=)=5, *.P(X=0)= 1 1,两球全红，55 /3=47 = 7?，X的分布列为方法规律X01P4737两点分布中只有两个对应的结果，因此在解答此类问题时，应先分析变量是否满足两点分布的条件，然后借助概率的知识，给予解决.