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1、问题在直线与圆的综合考查中，有时题设条件并没有直接给出相关圆的信息，而是隐含在题目 中，要通过分析和转化，发现圆的方程或圆的定义，从而可以利用圆的知识来求解，这类 问题常被称为“隐圆”问题.此类问题在高考中出现的频率比拟高，通过对以往考题的分析 与研究，可以总结为如下的几种题型.1.利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）可确定隐圆题目中假设到定点的距离等于定长或者能求出到定点的距离为定常数，那么可以得到点的 轨迹为圆.例1圆0 ： / += 1 ,圆M ：（工一）2 +（y 一。+ 4）2 = 1 .假设圆例上存在点P,过点尸作圆。的两条切线，切点为A, B,使得NA依= 60。，那么
2、实数。的取值范围为解由题意得，圆心（a, Q4）在直线xy 4 =。上运动， 那么动圆M是圆心在直线 y 4 = 0上，半径为1的圆.又因为圆上存在点P,使经过点P作圆。的两条切线，切点为A, B,使 ZAPB = 6Q, 所以。尸=2,即点。也在Y + 9 =4上，记为圆巴 那么圆E与圆。一定有公共点.于是 2 -1 J a? + （a -4）2 2 +1 , 即W 片 +（ 4）2 0, y N 0 ,原问题可化为在条件?21x + y=lx0, y0?21x + y=lx0, y0下,求z = x + Qy的最大值问题，利用线性规划思想求得最大值.【详解】令 Ja-3 = x,j4- =
3、 y ,那么 2 + y2=, x 0, y0 ,/ (a) = y/a3 + a/3 d4 Q = x+y2y .原问题可化为在条件x2 + y2 =x0, yQ下,求z = x +的最大值问题.将目标函数化为、=-曰x + #z其图象是一条与 平行的直线.当直线y = Wx + Xlz与圆弧相切时，Z取最大值, 33此时，由圆心到直线的距离等于半径，易知目=1,得z = 2 (舍去负值), 所以函数/()的最大值为2.故答案为：2.5 .在平面直角坐标系兀。中，点4(0,3),直线/：y = 2%-4,设圆C的半径为1, 圆心在/上，假设圆。上存在点M,使|M4| = 2|MO|,求圆心。
4、的横坐标”的取值范 围.八12【答案】0,【解析】【分析】设M（x，y）,由阿川=21Moi得出M点的轨迹方程，轨迹是圆，由此圆与圆 。有公共点可得.【详解】因为圆心C在直线/：y = 2%-4.可设圆心c（。，2。4）,那么圆 c的方程为（a）2+y（2a4）2=l.设 M（x, y）, i MA = 2MO ,得产石f = 2 后于，化简整理得f+（y + l）2=4,所以点”在以。（0，-1）为圆心，2为半径的圆上，由题意得点M也在圆C上，所以圆。和圆C有公共局部，即 |2-1|CZ）|/2 + 2,(x + 2 V2x故当工=2%/5时，5/5MHC取得最大值2网考点：解三角形点评：主
5、要是考查了三角形的面积公式的运用，属于基础题.解法1直线4，2分别经过定点A（0,2）, 5（2,0）,且4平2,所以点P在以为直径的圆C.那么圆。的圆心为。（1,1）,半径厂=8.因为圆心C到直线/：xy 4 =。的距离为d11 4=T= 2e,所以，点P到直线/的距离的最大值为 + = 3收.解法2当上=0时，点P（2,2）到直线x 4 = 0的距离为2拒;当时，解方程组当时，解方程组依 _ y + 2 = 0, % + 6一2 = 0,得两直线交点尸的坐标为，2-2k .l + k22 + 2Q1 +尸,2 2k 2 + 2 攵,k44b 1所以，点尸到直线xy 4 =。的距离为1 +
6、/1 +/_1 + -2V2V2显然当人为正数时取得最大值,）34x 工一 =3卮V2综上可知，点P到直线/的距离的最大值为d + = 3j，.3 .两定点A, B,动点尸满足两方为定值可确定隐 两定点A, B,动点P满足西.而为定值的轨迹为圆.例3点A（1,0）, 5（1,0）,假设圆（% + l）2+（y 2）2=1上存在点加满足MA MB = 3那么实数取值范围是.解设 M（x, y）,因 MAMB = 3所以（一1_演_,）（1_入,_,） = 3,即/ + y2 = 4 ,表示圆.又因为点M在圆(x a + l)2+(y Q 2)2=1上，所以两圆必有交点，2-(0-a + l)2+
7、(0 2)2 W1 + 2,即-7V(2q + 1)2 49,解得一4 .两定点A, B,动点尸满足E2+p必为定值可确定隐 两定点A, B,动点。满足92+必2为定值的轨迹是圆.例4如图1,在平面直角坐标系X0Y中，圆。：/ + ,2-4元=。及点A(-LO), 3(1,2).在圆C上是否存在点P,使得942 + 032=12?假设存在，求点尸的解圆C的标准方程为(x 2)2 + 丁=4,所以圆心。(2,0),半径为2.假设圆C上存在点P,设P(x, y),那么(、 2)2 + V=4,又 PA2 + PB2 = (x +1)2 + (y - 0)2 + (%-1)2 + (y - 2)2
8、= 12 ,即2+(y 1)2 =%是圆心为(0,1),半径为2的圆.因为|2 - 2| (2 0)2+(0 1)2 0, iwl)的关系可确定隐 假设给定两定点A, B,动点尸满足AP = 2BP（；l0, 4 W1）的关系，那么P点的轨迹为隐 圆，我们称为阿波罗尼斯圆.例5。为原点，A（2,0）, 3（1,0）,假设MA = JiMO,那么M3的最大值为 解设(x, y),由肠4二及AfO，得(x 2y + y2 =2(%2 + ,2卜即(x + 2)2 + /=8,记为圆C所以M的轨迹的圆心为。（2,0）,半径为2加 的圆.又BC = 1,所以肥小.=5。+=1 + 2行.6 .利用轨迹
9、法确定所谓轨迹法就是通过设点，根据题目中所给的条件得到轨迹方程.常见求轨迹的方法有: 直接法、定义法、相关点法、参数法.例6在平面直角坐标系中，点A（1,0）, 5（5,0）,假设圆M：（x 4尸+（丁 附2=4上存在唯一点a 使得直线尸A在y轴上的截距之积为5,那么实数机的值为.解 设点p（x0, %）,那么直线24方程为y =7（x+i），它在V轴上的截距为同理依在y轴上的截距为-yr，x（）3由截距之积为5,得一上=化简得（/2y + y；=9,Xq D Xq -l 1又 A（-l,0）, 5（5,0）满足（。2/+ y； = 9,所以点P的轨迹是以（2,0）为圆心，半径为3的圆.由题意
10、尸的轨迹应与圆M恰有一个适合题意的点，那么： 假设A, B不在圆M上，那么两圆相切，所以圆心距等于半径之和或差，个展+而=5,解 得加= J5T；或7展+/2 =i,根无解；假设A或B在圆M上，把点A代入圆M可知不合题意，把点B代入圆解得 m = 73，经检验也成立.综上可知，加=+V21或2 = +a/3为所求.例7假设实数X、y满足X44=2万亍，那么X的取值范围是图1解析：令 a = 6, b = d*_y ,其中。之0, b0.那么 x= 丁 + （工一丁） = /+.方程 x-46 = 21x-y 可化为a? +52 4a = 2b，即（一2了+（。-=5（a0, /?0）,如图1,
11、在0。平面内，点(。，与的轨迹是以。(2,1)为圆心，、后为半径的圆在a0,人30的局部，即圆弧AQB与原点。的并集，其中，A、B分别为圆弧AQB与1 轴、y轴的交点，又因为 =。2+. =(Jq2+j)的几何意义是点(a, 5)与原点。两点 的距离的平方.易知42+4 2,2石,0,所以工二片+从的取值范围是 4,20.0.例8函数y = 5二二的值域是.X+2解析：设函数/(%)=，令y = J12 ,那么点/(%, y)位于一个单位圆X轴的上半局部，如图3所示.将函数/（=业二|1改写为/（%）=/代）,它表示定点A（-2,0）与点M（x, y）所连直线的斜率.直线M4与上半单位圆相切时
12、，在直角三角形MQ4 中，MO = 1, 04 = 2, ZMAO = 30 ,所以6M =3130。= # .又3o=。，所以/（x） 0，* .即函数y = 正己的值域为0，*._ 3 J ， x + 2 L 3 _.当两个定点到某直线的距离分别确定时例9假设点A（l,0）和点3（4,0）到直线的距离依次为1和2,那么这样的直线有 条.解析：如图1,分别以A, 8为圆心，1, 2为半径作圆依题意知，直线/是圆A的切线，A 到/的距离为1,直线/也是圆5的切线，8到/的距离为2,所以直线/是两圆的公切线， 共3条（2条外公切线，1条内公切线）.故满足题意的直线有3条.评注：此题条件中虽然没有
13、直接出现圆，但由题意并数形结合，把原问题转化为直线 与圆、圆与圆的位置关系问题.7 .“四点共圆”模型我们知道判定某一四边形有外接圆的常见方法有两个，一种方法是四边形的一组对角互 补，另一方法是某一边分别与其对边的两个端点构成的角大小相等，根据圆的内接四边形 的这两个性质，假设题中出现的向量可以构造出四边形且符合这两种情况，那么构造四点共 圆.那么p最大值为（A. 2B.V2C. 1例10向量加，满足：m = n =2, mn = -2,D. 4解析因为同=n =2及机 =一2,所以心 的夹角为120。.因为所以心 的夹角为120。.因为m-p x n-所以“一与一的夹角为60。.设 OA =
14、 m,OB =,OC = p ,那么 m - p = CA n- p = CB , 于是 NAQ3 = 120。，ZACB = 60.发现 NAQ3+NAC3 = 180。，且 NAO3 = 2NACB,故构造如图4、图5两个圆，易知两圆半径长均为2,点。均在优弧AB上，结合圆的性质 知|OC2,4,所以|p|的最大值为4.同步练习2=16上的2=16上的1 .在平面直角坐标系xOy中，A, 3为圆C （x+4） 2+（y两个动点，且AB=2jIT，假设直线/： y=2x上存在唯一的一个点P,使得PA + PB = OC 那么实数。的值为.【答案】2或一18【解析】【分析】由“圆。的弦AB长度
15、为定值AB=2而“知，弦的中点M的轨迹是以点。为圆 心的圆，PA+PB = OC 2PM = OC 可求得动点P的轨迹也在圆上，此时直线/上存在唯一的一个点P符合要求，故直线/和动点尸的轨迹（圆）相切.【详解】设AB的中点为河（怎”。）,尸（乂丁），那么由48=2而得，。加=71不开1 =石，即点M的轨迹为（xo + 4） 2+ （加一4）2 = 5.又因为中+而=工，所以 那么动点尸的轨迹方程为(x + 2)2+(y-1)2=5,又因为直线/上存在唯一的一个点4-P,所以直线/和动点P的轨迹(圆)相切，那么 2=氐,解得，。=2或百+5。=一18.故答案为：2或一18【点睛】此题考查直线与圆
16、的位置关系，结合弦长分析点的轨迹，转化成直线 与圆相切，充分表达了转化与化归思想.2 .在平面直角坐标系0y中，直线4 ：丘一丁 + 2 = 0与直线4： + 3-2 = 0相交于点P,那么当实数人变化时，点p到直线-y-4 =。的距离的最大值为【答案】372【解析】【详解】由题意得，直线4：京-y+2 = o的斜率为左，且经过点40,2),直线个工 + -2 = 0的斜率为-!，且经过点3(2,0),且直线k所以点P落在以AB为直径的圆。上，其中圆心坐标C(l/)，半径为=行,那么圆心到直线x-y-4 = 0的距离为d所以点P到直线X y 4 =。的最大距离为d + = 2血+夜=3后.3
17、.平面上两定点A、B,且45 = 2,动点P满足苏方假设点P 总不在以点3为圆心，!为半径的圆内，那么负数2的最大值为23【答案】-#-0.75 4【解析】【分析】利用解析方法，以所在直线为轴，线段A3的垂直平分线为y轴，建 立平面直角坐标系，得到动点P点的轨迹方程d + 9 = 1 + % ,分X = 一1和一1 % o 两种情况讨论，当-140时，利用两圆的位置关系得到关于4的不等式，进而求 解得到4的取值范围.【详解】以A3所在直线为轴，线段A3的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标 系，那么A（-1,0）, 5（1,0）.设P（%, y）,且动点尸满足苏.丽=丸，那么 x2 + y2 = 1 + 2 ,当a=-1时，满足题意；当-1a。时，点尸在以原点为圆心，”71为半径的圆上，同时点尸总不在以点6为圆心，不为半径的圆内，即圆2+ /=1 + ”_1/10）与圆（一1）2+,2=；相离或外切内切或内含,所以11 + 2 H W 1 或 + % 21, 223 、5解得一 1 4 4 一-或4 2 7（舍去）， 44所以负数丸的最大值为3故答案为：一二.44.函数/（） =而与+J123的最大值为.【答案】2