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1、专题六立体几何专题六立体几何第16讲空间几何体川川川/川品,川川川/川品,真题回放师川川川/川*/“/川小感悟真题体验高考（授课提示：见学生用书P36）1 .（2021新高考卷I）圆锥的底面半径为地，其侧面展开图为一个半圆，那么该圆锥 的母线长为（）A.2 B.2y/2C.4 D.42解析：B 设圆锥的母线长为1,由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，那么nl = 2nX 也，解得1 = 2寸12 .（2021新高考卷II）正四棱台的上、下底面的边长分别为2, 4,侧棱长为2,那么其体 积为（）A.20+12V3B.28V256 282J 33解析：D 作出图形，连接该正四棱台上、下底面的中心，
2、如图.因为该四棱台上、下底面的边长分别为2, 4,侧棱长为2,所以该棱台的高卜=山2（2吸陋）2=隹下底面面积Si = 16,上底面面积S2=4,所以该棱台的体积V=h（S + S2+啊豆）=；X&X应选D.3.（2021，全国甲卷）已如A, B, C是半径为1的球O的球面上的三个点，且ACBC, AC = BC=1,那么三棱锥O-ABC的体积为（ ）解析：A 因为 ACLBC, AC = BC=1, 所以aABC为等腰直角三角形，所以AB=，L那么4ABC外接圆的半径为方又球的半径为1,设0到平面ABC的距离为d,范=走2 - 12-那么 d=A /12-（乎）2=乎，所以 Vo- ABC
3、= SzABC d=1XX 1 X 1 X应选A.4.（2021全国甲卷）一个圆锥的底面半径为6,其体积为30兀，那么该圆锥的侧面积 为.解析：39 n 因为 V=；ti62 h = 30n ,所以h=*所以 1=1|? +12=4 (1) 2 + 62=,13所以 S 侧=n rl= n X6X=39 n .一回一考情提示：高考对本节知识的考查主要是对于空间几何体的外表积与体积的考查，由原来的简单公 式套用渐渐变为柱、锥与球的接切问题相结合，题型一般为选择题或填空题.近两年，利用 实物模型考查空间几何体的外表积与体积较多，应重点关注.，/师东考点诠释丽/*/“/川/发散思维-突破难点（授课提
4、示：见学生用书P36）1y1y几何体的外表积及体积常见的一些简单几何体的外表积和体积公式圆柱的外表积公式：S = 2兀於+2 Jirl = 2 nr（r+l）（其中r为底面半径，1为圆柱的高）.圆锥的外表积公式：5=兀於+冗1=119+1）（其中为底面半径，1为母线长）.圆台的外表积公式：S=n（”+r2+r1+rl）（其中r和P分别为圆台的上、下底面半径，1 为母线长）.柱体的体积公式：V = Sh（S为底面面积，h为高）.锥体的体积公式：V=；Sh（S为底面面积，h为高）.台体的体积公式：v=g（S，+住+ S）h（S1 S分别为上、下底面面积，h为高）.4球的外表积和体积公式：S=4hR
5、2, V=1hR3（R为球的半径）.（1）（2021四川省乐至中学高三月考）圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形,那么该圆锥的侧面积为（）A.坐C.3 JiD.4 n解析：B 由题意，圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，即圆锥的底面圆的半径为r=l,母线长为1 = 2,所以该圆锥的侧面积为S= n rl= n X 1 X2 = 2 n .应选B.（2）（2021 广东模拟）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正4四棱锥.现该四棱锥的高与斜高的比值为治那么该四棱锥的底面面积与侧面面积的比值是-12n 5CTDl2解析：B 设该正四棱锥底面的边长为2a,高为h,斜高为山, fh
6、4那么有 h 5,解得 a=,|h,h312h312 侧面面积为 4X-X2ahr=4X-hf2=rhf2, LJJ+a2=hA2故该正四棱锥的底面面积与侧面面积的比值是应选B.（3）（2021湖北高三月考）某班科技兴趣小组研究在学校的图书馆顶上安装太阳能板的发 电量问题，要测量顶部的面积，将图书馆看成是一个长方体与一个等底的正四棱锥组合而成, 经测量长方体的底面正方形的边长为26米，高为9米，当正四棱锥的顶点在阳光照射下的 影子恰好落在底面正方形的对角线的延长线上时，测的光线与底面夹角为30 ,正四棱锥 顶点的影子到长方体下底面最近顶点的距离为11.8米，那么图书馆顶部的面积大约为（） 平方
7、米（注：721.4,小nL7, 23315.2）A.990 B.890C.790 D.690解析：C 如图 1,根据题意得NPSO = 30 , CCi=9, SCi = 11.8, AB = 26,所以CQ=13也仁182故 SO = SC1 + C1O= 11.8+18.2 = 30.在 RtZPSO 中，设 PO = x,那么 PS = 2x, SO = 30,所以 IsoF+|op|2=|sp|2,900+x2=4x2,解得 *=1力仁17.所以如图2,在正四棱锥P-ABCD中，P0z =17-9 = 8, AB = 26,取BC的中点E,连接EP, EO7 ,所以E0=13.由正四棱
8、锥的性质得PEO为直角三角形，故|PE|2=|P（y F+Q，E|2=132+82=233,所以 |PE|=p5215.2,所以正四棱锥 P-ABCD 的侧面积为 S=4XSapbc=4x1x 15.2X26 = 790.4790.应选C.（4）（2021云南师大附中高三月考）如图，E, F分别是正方体ABCD-AiBiCQi的棱 BC, CCi的中点，平面AEFD将正方体分成两局部，那么此两局部的体积之比为（）解析：B 如图，设正方体ABCD-AiBiCiDi的棱长为2a,连接AF, AC,那么V三棱台ECF-ADDi = V四棱锥A-DCFDi+V三棱锥a-ecf=|s 四边形 DCFDi
9、 AD+|saecf AB=7 x 3 a2 X 2a+： X a2 X 2a所以所求两局部的体积之比为V三棱台ECF-ADD1V三棱台ECF-ADD18a3V 正方体 ABCD-AiBiCiDi - V 三棱台 ECF-ADDi应选B.I求几何体的外表积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在.求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转换原那么是其高易求，底面放在 几何体的某一面上.（2）求不规那么几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规那么几何体转化为规那么几何 体以易于求解.多面体与球处理球与棱柱、棱锥切、接问题的思路过球及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，
10、化空间问题为平面问题.利用平面几何知识寻找几何体中元素间关系，确定球心位置.建立几何量间关系求半径r.（1）（2021天津滨海新区高三期末）在正方体ABCD-AiBiCiD1中，三棱锥A-BiCDi的外表积为4小，那么正方体外接球的体积为（）A.4、/兀 B.加兀C.32小n D.8加兀解析：B设正方体的棱长为a,那么 BiDi = AC = ABi = AD!=BiC = DiC=V2a, 由于三棱锥A-B1CD1的外表积为45，1所以 S=4SAABIC=4XyX（V2a）2=4V3,所以a=V2.y6所以正方体的外接球的半径为 q（6）2+（6）2+（W）a所以正方体的外接球的体积为gn
11、 Xpg3=#n.应选B.（2）（2021北京海淀区高三期中）我国魏晋时期的数学家刘徽创造了一个称为“牟合方盖” 的立体图形来推算球的体积.如图1,在一个棱长为2a的立方体内作两个互相垂直的内切圆 柱，其相交的局部就是牟合方盖，如图2,设平行于水平面且与水平面距离为h的平面为a, 记平面a截牟合方盖所得截面的面积为S,那么函数S = f（h）的图象是（）CCD解析：D 正方体的内切球也是“牟合方盖”的内切球，用任意平行于水平平面的平面 去截“牟合方盖”，截面均为正方形，并且此正方形是平面截内切球的截面圆的外接正方形, 内切球的半径为a,设截面圆的半径为r,那么（ah）2+a=a2,解得 r2=
12、 h2+2ah,设截面圆的外接正方形的边长为b,那么b=2r,正方形的面积S = b2=4r2= 4h2+8ah, heO, 2a,由函数形式可知，图象应是开口向下的抛物线.应选D.（3）（2021全国高三专题练习）现有一批大小不同的球体原材料，某工厂要加工出一个四 棱锥零件，要求零件底面ABCD为正方形，AB = 2,侧面4PAD为等边三角形，线段BC 的中点为E,假设PE=1,那么所需球体原材料的最小体积为（）C.9 n解析:如图,解析:如图,所需原材料体积最小的球体即为四棱锥P- ABCD的外接球,设F为AD的中点，G为正方形ABCD的中心P因为4PAD为边长为2的等边三角形，所以PF=
13、小，又 PE=1, EF=AB = 2,所以 PFLPE,所以NPEF=60。,又PE=BE=CE=1,所以E为PBC的外心，那么球心O 一定在过点E且垂直于侧面PBC的垂线上.因为 NOEG=NOEPNFEP=90。-60 =30 ,又GE=1,所以在RtaOGE中求出OG=V，又 RtZkOAG 中，AG= 所以 0A=等，即球半径R= 军，所以V珠=gnR3=第gn.由于此时四棱锥P-ABCD在球心同侧，不是最小球，可让四棱锥下移到面ABCD过球 心时，即球半径R=AC=小时，原材料最省.此时V球=/n （陋）3=2n.应选A.多面体与球接、切问题的求解策略:（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、 切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间 的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体量的关系，列方程(组)求解.(2)假设球面上四点P, A, B, C构成的三条线段PA, PB, PC两两互相垂直，且PA = a, PB=b, PC=c, 一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，用4R2=a2 + b?+c2求解.