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1、9.2.4 总体离散程度的估计学习目标1 .结合实例，能用样本估计总体的离散 程度参数（标准差、方差、极差）.（重点） 2.理解离散程度参数的统计含义.（重难点）.1 .通过对标准差、方差、极差概念的学 习，培养学生数学抽象素养.2 .通过利用标准差、方差、极差估计 总体的离散程度，培养学生数据分析素 养.自主预习。探新MlZIZHLJYCJXI TAZXIZNHI新知初探主. 一组数据XI, %2,，物的方差和标准差 门1 n数据为，X2,，咒的方差为上 （% -）2=上标准差为/x（X -X）2.1 .总体方差和标准差（1）总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为Yi, 丫2,，
2、4? （V j）2LYn,总体的平均数为Y ,那么称S2= N占 为总体方差,S=相为总体标准差.（2）总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（kN） 个，不妨记为Yi, 丫2,，Yk,其中Yi出现的频数为fi（i=l,2,，k）,V/.（y -y）2那么总体方差为S2=N.3 .样本方差和标准差如果一个样本中个体的变量值分别为yi, y2,，yn,样本平均数为亍，1_ V / _2那么称/=白 九 为样本方差,S=正为样本标准差.解 这10个学生体重数据的平均数为1 =品(74+71+72+68+76+ 73 + 67 + 70 + 65 + 74) = 71.这10个学
3、生体重数据从小到大依次为 65,67,68,70,71,72,73,74,74,76,位于中间的两个数是71,72, 这10个学生体重 71+72数据的中位数为-5一=715这10个学生体重数据的方差为$2=x(7471)2 + (7171)2+(7271)2 + (68 71)2 + (76 71尸 + (73 71)2 + (67 71)2 + (70 71)2 + (65 71)2 + (74 71)2 = 11,这10个学生体重数据的标准差为s=y?=yA.(2)由样本估计总体得高一所有学生体重数据的平均数为71,中位数为71.5, 方差为11,标准差为yn.104 .标准差的意义标准
4、差刻画了数据的离散程度或波动幅度,标准差越大，数据的离散程度越 大；标准差越小，数据的离散程度越小.5 .分层随机抽样的方差设样本容量为n,平均数为7,其中两层的个体数量分别为m, D2,两层的平均数分别为Gi,32,方差分别为s+, s2,那么这个样本的方差为s2=和1三二五1士和土岛二五!思考1：甲班和乙班各有学生20人、40人，甲班的数学成绩的平均数为80 分，方差为2,乙班的数学成绩的平均数为82分，方差为4,那么甲班和乙班这onJ-QOo -L460人的数学成绩的平均分是一=81分吗？方差是一厂=3吗？为什么？提示不是，因为甲班和乙班在这60人中的权重是不同的.思考2：数据XI, X
5、2,，Xn的平均数是X,方差为s2,数据Xl, X2,，Xn, X的方差为S?,那么S?与S?的大小关系如何?提示因为数据XI, X2,，Xn, X比数据XI, X2,，Xn更加相对集中， 所以方差变小了，即S+Vs2.g初试1 .在教学调查中，甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如图1、2、3, 假设三个班的平均分都是75分，SI, S2, S3分别表示甲、乙、丙三个班数学测试 成绩的标准差，那么有()/(%) I I I I I I I I I I I I5075 100 图3A. S3S1S2B. S2S1S3C. S1S2S3D. S3S2S1D 所给图是成绩分布图，平均分是75分，在图
6、1中，集中在75分附近的 数据最多，图3中从50分到100分均匀分布，所有成绩不集中在任何一个数据 附近，图2介于两者之间.由标准差的意义可得S3S2S1.2 .一个样本中的数据为123,4,5,那么该样本的标准差为()A. 1B.2 C币 D. 2B 样本容量 =5, A T =1(1+2+3+4+5) = 3,y|(l-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2=V2.3.某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,954,9,10,7,4, 那么：(1)平均命中环数为；(2)命中环数的标准差为.7 (2)2 x =-7 + 8+7+9+5+4+9+10
7、+7+410=7.(2) ; ?=(7 - 7)2+(8-7)2 + (7-7)2+(9 7)2+(5 7)2+(47)2 + (9 7)2 + (10-7)2+(7-7)2+(4-7)2=4, ：.s=2.合作探究。提素养HEZUOTANJIU TISUYANC4支型1方差和标准差的计算【例1】 甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各 从中抽取6件测量，数据为甲：99 100 98 100 100 103乙：99 100 102 99 100 100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.角我(1)7 甲=t(99+10
8、0+98+100+100+103)= 100, 1x 乙=5(99+100+102+99+100+100)= 100.4= 1(99 - 100)2 + (100-100)2 + (98-100)2 + (100-100)2 + (100-100)2 + (103-100)23，51=|(99-100)2 + (100-100)2 + (102-100)2 + (99-100)2 + (100-100)2 + (100-100)2=1.(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又slsl,所以乙机床加工 零件的质量更稳定.规律方法标准差、方差的意义(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波
9、动的大小.标准差、方差越 大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，标准差的 大小不会超过极差.(2)标准差、方差的取值范围：0, +8).标准差、方差为。时，样本各数据相等，说明数据没有波动幅度，数据没有 离散性.8甄嶙1.如图，样本A和3分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为乂4和*8,样本标准差分别为S4和S8,那么()A.XAX8, SASBB. X ASBC.XAX8, SAX8, SASBD. X A X By SASBB xa=(2.5 +10+5+7.5+2.5 +10) = 6.25,-135x b=(15 +10+12.5 +10+12.5 +1
10、0)=yl 1.67.久=|(2.5 - 6.25)2 + (10-6.25)2 + (5 6.25)2 + (7.5- 6.25)2 + (2.5 6.25)2 + (10-6.25)29.90,=1(15-11.67)2 + (10-11.67)2+(12.5 11.67)2+ (1011.67)2+(12.511.67)2+(1011.67)2弋 3.47.4誉型2分层随机抽样的方差【例2】 甲、乙两支田径队体检结果为：甲队的体重的平均数为60 kg, 方差为200,乙队体重的平均数为70 kg,方差为300,又甲、乙两队的队员 人数之比为1： 4,那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差
11、分别是什么？11解由题意可知X甲= 60,甲队队员在所有队员中所占权重为百7=彳， JL I J44x乙= 70,乙队队员在所有队员中所占权重为丁“=卓1 I什 J14那么甲、乙两队全部队员的平均体重为x =tX60+tX70=68 kg,甲、乙两队全部队员的体重的方差为52=1200+(60 - 68)2 +300+(70 - 68)2=296.规律方法计算分层随机抽样的方差?的步骤确定 X 1, X 2, 5?, si,(2)确定M；(3)应用公式 $2=牡+( XX )2+孑道+( X2 X )2.计算 S2.领遇甄I蜘2.某省二、三、四线城市数量之比为1 ： 3 ： 6,2019年8月
12、份调查得知 该省所有城市房产均价为L2万元/平方米，方差为20,二、三、四线城市的房 产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.8万元/平方米，三、四线城 市房价的方差分别为10,8,那么二线城市的房价的方差为.118. 52 设二线城市的房价的方差为$2,由题意可知20=+；+63 + (L22.4)2 + +：+610 +(L2_L8)2 + +；+618 +(L2-0.8)2,解答$2=118.52,即二线城市的房价的方差为118.52.、类型3数据的数字特征的综合应用探究问题1 .对一组数据进行统计分析，应该从哪几个方面进行？提示平均数反映数据的平均水平，用众数反映数据的
13、最大集中点，用中 位数反映数据的集中趋势和一般水平，用标准差或方差反映数据的离散程度.2 .比照两组数据时，要从哪几个方面进行？提示从众数、中位数、平均数和方差等几个方面.例3 在一次科技知识竞赛中，某学校的两组学生的成绩如下表：分数5060708090100人数甲组251013146乙组441621212请根据你所学过的统计知识，判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣， 并说明理由.思路探究分别求出这两组数据的众数、中位数、平均数和方差，从这几 个方面进行统计分析.解(1)甲组成绩的众数为90,乙组成绩的众数为70,从成绩的众数比拟 看，甲组成绩好些.(2)7 甲=1nlmqar(50X2
14、+60 +5+ 70X10 +80X13+ 90X14J I 1 Vz I I J I I I I yJ+ 100X6)=7X4 000=80,x 乙= .二4*4(50X4+ 60X4+ 70X16+ 80X2+ 90X12 + I i I JL J I 乙 I JL 乙 I L 乙100X12)=X4 000=80.端=2 + 5+0；13+14+62 *(5() 80)2 + 5X(60-80)2 +10X (70 - 8()2 + 13 X(80-80)2+14X(90-80)2 + 6X(100-80)2 = 172,si = 4+4+16；2+12+1214 X(50 - 80)2
15、 + 4X(60-80)2 +16X(70-80)2 + 2X(80-80)2 +12X(90-80)2 +12X(100-80)2 = 256.1甲=%乙，s%s .二甲组成绩较乙组成绩稳定，故甲组好些.(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分.其中，甲组成绩在80分 以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人.从这 一角度看，甲组的成绩较好.(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩大于等 于90分的有24人，所以乙组成绩集中在高分段的人数多.同时，乙组得总分值的 人数比甲组得总分值的人数多6人.从这一角度看，乙组的成绩较好.母题
16、探究某校拟派一名跳高运发动参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运发动进行 了 8次选拔比赛，他们的成绩(单位：m)如下：甲：1.70.65,1.68,1.69,1.721.73,1.68,1.67；乙：1.60.73.721.611.62,1.71,1.70.75.经预测，跳高1.65 m就很可能获得冠军.该校为了获取冠军，可能选哪位 选手参赛？假设预测跳高1.70 m方可获得冠军呢？解甲的平均成绩和方差如下： 1x 甲=g(L70+1.65+1.68+1.69+1.72+1.73+1.68+1.67)=1.69,品=|(1.70-1.69)2+(1.65-1.69)2 +- + (1.67-1
17、.69)2=0.000 6.O乙的平均成绩和方差如下：- 1X c = Q(l.60+1.73 +1.72+1.61+ 1.62+1.71+ 1.70+1.75)= 1.68, o=1(1.60-1.68)2+(1.73-1.68)2+- + (1.75-1.68)2=0.003 15. o显然，甲的平均成绩高于乙的平均成绩，而且甲的方差小于乙的方差，说明 甲的成绩比乙稳定.由于甲的平均成绩高于乙，且成绩稳定，所以假设跳高1.65m 就很可能获得冠军，应派甲参赛.在这8次选拔赛中乙有5次成绩在1.70m以上，虽然乙的平均成绩不如甲， 成绩的稳定性也不如甲，但成绩突破1.70m的可能性大于甲，所
18、以假设跳高1.70m 方可获得冠军，应派乙参赛.规律方电数据分析的要点(1)要正确处理此类问题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必 要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好， 像这样的实际问题还得从实际的角度去分析，如本例的“总分值人数”；其次要在 恰当地评估后，组织好正确的语言作出结论.(2)在进行数据分析时，不同的标准没有对和错的问题，也不存在唯一解的 问题，而是根据需要来选择“好”的决策，至于决策的好坏，是根据提出的标准 而定的.匚课堂小结二1 .标准差的平方d称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散 程度.方差与标准差的测量效果是一致的，在实
19、际应用中一般多采用标准差.2 .现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知 的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样 本有较好的代表性.当堂达标。DANGTANGDABIAOGUSHUANGJI1 .判断正误计算分层随机抽样的均值与方差时，必须各层的权重.() (2)假设一组数据的值大小相等，没有波动变化，那么标准差为0.()(3)标准差越大，说明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小, 说明各个样本数据在样本平均数周围越分散.()提示正确.(2)正确.(3)错误.标准差越大，说明各个样本数据在样本平均数周围越分散；标准 差越小，说明各
20、个样本数据在样本平均数周围越集中.答案(1) V (2) V (3)X2 .假设样本数据1, %2,，Xio的标准差为8,那么数据2%i 1,2%21,， 2xio-l的标准差为()A. 8 B. 15 C. 16 D. 32C 样本数据xi, X2,，xio的标准差为s = 8,那么？=64,数据2x1 1,2121,，2x10-1的方差为22 = 22义64,所以其标准差为寸2264 = 2X8 = 16,应选C3 .在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：班级人数平均分数方差甲20X甲2乙30X乙3其中x甲=x乙，那么两个班数学成绩的方差为()A. 3B. 2 C. 2.6 D. 2.5C 由题意可知两个班的数学成绩平均数为工=三甲=1乙，那么两个班数学 成绩的方差为9202 = 20+30,2 +( x l x9202 = 20+30,2 +( x l x20 义2+ 320+3020+300 .30 9)+ 20+306 +(“乙X)=X3 = 2.6.4 .某校医务室抽查了高一 10位同学的体重(单位：kg)如下：74,71,72,68,76,73,67,70,65,74.(1)求这10个学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差；(2)估计高一所有学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差.